1、专题 6 直线与圆的位置关系题型一 直线与圆的位置关系例 1 2017余杭区一模在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(sin45，cos30)的直线，与以原点为圆心，2 为半径的圆的位置关系是( A )A相交 B相切C相离 D以上三者都有可能【解析】 如答图，设直线经过的点为 A，例 1 答图点 A 的坐标为(sin45，cos30)， OA ，圆的半径为(22)2 (32)2 522， OA2，点 A 在圆内，直线和圆一定相交变式跟进12017市北区二模 O 的半径 r5 cm，直线 l 到圆心 O 的距离 d4，则 l 与 O 的位置关系是( C )A相离 B相切 C相交 D重合【解析】
2、O 的半径为 5 cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 4 cm，54，即 d r，直线 l与 O 的位置关系是相交22017阳谷一模已知等腰三角形的腰长为 6 cm，底边长 4 cm，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心 5 cm 为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是( A )A相离 B相切C相交 D不能确定【解析】 如答图，在等腰三角形 ABC 中，作 AD BC 于 D，则 BD CD BC2， AD12 4 5，即 d r，该圆与底边的位置关系是相离AB2 BD2 62 22 2第 2 题答图题型二 切线的性质例 2 2016天津在 O 中， AB 为直径， C 为 O 上一点(1)如图
3、1，过点 C 作 O 的切线，与 AB 的延长线相交于点 P，若 CAB27，求 P 的大小；(2)如图， D 为弧 AC 上一点，且 OD 经过 AC 的中点 E，连结 DC 并延长，与 AB 的延长线相交于点 P，若 CAB10，求 P 的大小图 1解： (1)如答图，连结 OC， O 与 PC 相切于点 C，例 2 答图 OC PC，即 OCP90， CAB27， COB2 CAB54，在 Rt COP 中， P COP90， P90 COP36；(2) E 为 AC 的中点， OD AC，即 AEO90，在 Rt AOE 中，由 EAO10，得 AOE90 EAO80， ACD AOD
4、40，12 ACD 是 ACP 的一个外角， P ACD A401030.【点悟】 已知切线，常常连结切点和圆心作半径变式跟进3已知 BC 是 O 的直径， AD 是 O 的切线，切点为 A， AD 交 CB 的延长线于点 D，连结AB， AO.(1)如图 2，求证： OAC DAB；(2)如图， AD AC，若 E 是 O 上一点，求 E 的大小图 2解：(1)证明： AD 是 O 的切线，切点为 A， DA AO， DAO90， DAB BAO90， BC 是 O 的直径， BAC90， BAO OAC90， OAC DAB；(2) OA OC， OAC C， AD AC， D C， OA
5、C D， OAC DAB， DAB D， ABC D DAB， ABC2 D， D C， ABC2 C， BAC90， ABC C90，2 C C90， C30， E C30.题型三 切线的判定例 3 如图 3， AB 是 O 的直径， BC AB 于点 B，连结 OC 交 O 于点 E，弦 AD OC，弦 DF AB 于点 G.(1)求证：点 E 是弧 BD 的中点；(2)求证： CD 是 O 的切线图 3 例 3 答图证明：(1)如答图，连结 OD， AD OC，1 A，2 ODA， OA OD， A ODA，12， ，即点 E 是 的中点；BE DE BD (2)在 OCD 和 OCB
6、中， OD OB， 2 1，OC OC， ) OCD OCB， ODC OBC90， OD CD， CD 是 O 的切线【点悟】 证某直线为圆的切线时，如果已知直线与圆有公共点，即可作出过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“作半径，证垂直” ；如果不能确定某直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明它到圆心的距离等于半径，即“作垂直，证半径” 在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角变式跟进4如图 4， AB 是 O 的直径， C， D 为半圆 O 上的两点， CD AB，过点 C 作 CE AD，交 AD的延长线于点 E， A60.(1)求证： CE 是 O 的切线；(2)猜想四
7、边形 AOCD 是什么特殊的四边形，并证明你的猜想图 4 第 4 题答图解：(1)证明：连结 OD，如答图所示 A60， OA OD， OAD 是等边三角形， ADO AOD60， CD AB， ODC60， OC OD， COD 是等边三角形， COD60 ADO， OC AE， CE AE， CE OC， CE 是 O 的切线；(2)四边形 AOCD 是菱形证明：由(1)得 OAD 和 COD 是等边三角形， OA AD CD OC，四边形 AOCD 是菱形题型四 切线长定理及三角形的内切圆例 4 2017邹平模拟Rt ABC 中， C90， AB5，内切圆半径为 1，则三角形的周长为(
8、B )A15 B12 C13 D14【解析】如答图，连结 OA， OB， OC， OD， OE， OF， O 是 ABC 的内切圆，切点分别是D， E， F， OD AC， OE AB， OF BC， AD AE， BE BF， ODC OFC ACB90， OD OF，四边形 ODCF 是正方形， CD OD OF CF1， AD AE， BF BE，且AE BE AB5， AD BF5， ABC 的周长是AC BC AB AD CD CF BF AB511512.例 4 答图【点悟】 (1)求证三角形内切圆的问题时，常用到面积法： S ABC (a b c)r，其中 r12为 ABC 的内
9、切圆半径， a， b， c 为 ABC 的三条边的长度；(2)已知直角三角形的三边长a， b， c(其中 c 为斜边)，则内切圆半径 r ；(3)解三角形与圆相切的问题时，常a b c2利用切线长定理及勾股定理等列方程(组)来求半径长变式跟进5在 ABC 中， ABC60， ACB50，如图 5 所示， I 是 ABC 的内心，延长 AI 交 ABC 的外接圆于点 D，则 ICD 的度数是( C )A50 B55 C60 D65图 5【解析】 ABC 中， BAC180 ACB ABC180506070，又 I是 ABC 的内心， BCD BAD BAC35， BCI ACB25，12 12
10、BCD BCI352560，即 ICD60.6如图 6， PA， PB 是 O 的切线， A， B 为切点， AC 是 O 的直径， P60.(1)求 BAC 的度数；(2)当 OA2 时，求 AB 的长图 6 第 6 题答图解：(1) PA， PB 是 O 的切线， AP BP， P60， PAB60， PA 是 O 的切线， PAC90， BAC906030；(2)如答图，连结 OP，则在 Rt AOP 中， OA2， APO30， OP4，由勾股定理得 AP2 ，3 AP BP， APB60， APB 是等边三角形， AB AP2 .3过关训练1同学们玩过滚铁环吗？铁环的半径是 30 c
11、m，手柄长 40 cm.当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为 50 cm 时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为( C )A相离 B相交C相切 D不能确定【解析】 根据题意画出图形，如答图所示第 1 题答图由已知得 BC30 cm， AC40 cm， AB50 cm， BC2 AC230 240 29001 6002 500， AB250 22 500， BC2 AC2 AB2， ACB90，即 AC BC， AC 为圆 B 的切线，即此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切22017临沂模拟如图 1， MBC 中， B90， C60， MB2 ，点 A 在 MB 上
12、，3以 AB 为直径作 O 与 MC 相切于点 D，则 CD 的长为( C )图 1A. B.2 3C2 D3【解析】 在 Rt BCM 中，tan60 ，得到 BC 2， AB 为 O 的直径，且3MBBC 233AB BC， BC 为 O 的切线，又 CD 也为 O 的切线， CD BC2.32017西湖区校级二模如图 2，用一把带有刻度的角尺：(1)可以画出两条平行的直线a 与 b，如图；(2)可以画出 AOB 的平分线 OP，如图所示；(3)可以检验工件的凹面是否为半圆，如图所示；(4)可以量出一个圆的半径，如图所示这四种说法中正确的个数有( D )图 2A1 B2 C3 D4【解析】
13、 (1)根据平行线的判定：同位角相等，两直线平行，可知正确；(2)可以画出 AOB的平分线 OP，可知正确；(3)根据 90的圆周角所对的弦是直径，可知正确；(4)此作法正确所以正确的有 4 个42017金乡三模已知 AC BC 于 C， BC a， CA b， AB c，下列选项中 O 半径为的是( A )a b c2A B C D【解析】 B设 AB 切 O 于 F，圆的半径是 y，连结 OF，则 BCAOFA，得出 ，代入求出 y ；C.设 AC， BC 分别切 O 于 E， D，连结 OE， OD，得到OFBC AOAB aba c OEC ODC C90，证出四边形 OECD 是正方
14、形，设 O 的半径是 r，证 ODBAEO，得出 ，代入即可求出 r ；D.设 O 的半径是 x，圆切 AC 于 E，切 BC 于OEBD AEOD aba bD，切 AB 于 F，同样得到正方形 OECD，根据 a x c b x，求出 x .b c a252017溧水区一模如图 3，在 Rt ABC 中， C90， B60，内切圆 O 与边AB， BC， CA 分别相切于点 D， E， F，则 DEF 的度数为_75_图 3【解析】 如答图，连结 DO， FO，第 5 题答图在 Rt ABC 中， C90， B60， A30，内切圆 O 与边 AB， BC， CA 分别相切于点 D， E，
15、 F， ODA OFA90， DOF150， DEF 的度数为 75.6如图 4，在 Rt ABC 中， ACB90，以 AC 为直径的 O 与 AB 边交于点 D，过点 D 作 O 的切线，交 BC 于 E.(1)求证：点 E 是边 BC 的中点；(2)当 B_45_时，四边形 ODEC 是正方形图 4 第 6 题答图解：(1)证明：如答图，连结 DO， ACB90， AC 为直径， EC 为 O 的切线又 ED 也为 O 的切线， EC ED，又 EDO90， BDE ADO90， BDE A90，又 B A90， BDE B， EB ED， EB EC，即点 E 是边 BC 的中点；(2
16、)当 B45时，四边形 ODEC 是正方形， ACB90， A45， OA OD， ADO45， AOD90， DOC90， ODE90，四边形 ODEC 是矩形， OD OC，矩形 ODEC 是正方形7如图 5， O 的直径 AB6， ABC30， BC6 ， D 是线段 BC 的中点3(1)试判断点 D 与 O 的位置关系，并说明理由；(2)过点 D 作 DE AC，垂足为点 E，求证：直线 DE 是 O 的切线图 5 第 7 题答图解：(1)点 D 与 O 的位置关系是 D 在 O 上，理由：设 BC 交 O 于 F，如答图，连结 AF， AB 为 O 的直径， AFB90， AB6，
17、ABC30， AF AB3，12由勾股定理得 BF3 ，3 BC6 ， D 为 BC 的中点， BD3 ，3 3即 D， F 互相重合， D 在 O 上；(2)证明：连结 OD， D 为 BC 的中点， AO BO， OD AC， DE AC， OD DE， OD 为半径，直线 DE 是 O 的切线8如图 6，已知 PA， PB 分别切 O 于 A， B， E 为劣弧 AB 上一点，过 E 点的切线交 PA 于C，交 PB 于 D.(1)若 PA6，求 PCD 的周长；(2)若 P50，求 DOC 的大小图 6 第 8 题答图解：(1)如答图，连结 OE， PA， PB 与 O 相切， PA
18、PB6，同理可得 AC CE， BD DE， PCD 的周长 PC PD CD PC PD CE DE PA PB12；(2) PA， PB 与 O 相切， OAP OBP90， P50， AOB360909050130，在 Rt AOC 和 Rt EOC 中， OA OE，OC OC， )Rt AOCRt EOC(HL)， AOC COE，同理： DOE BOD， DOC AOB65.1292017曲靖模拟如图 7， C 为以 AB 为直径的 O 上一点， AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为点 D.(1)求证： AC 平分 BAD；(2)若 CD3， AC3 ，求 O 的半径长5图 7
19、 第 9 题答图解：(1)证明：如答图，连结 OC， OA OC， ACO CAO， CD 切 O 于 C， CO CD.又 AD CD， AD CO， DAC ACO， DAC CAO， AC 平分 BAD；(2)过点 O 作 OE AC 于 E， CD3， AC3 ，5在 Rt ADC 中， AD 6，AC2 CD2 OE AC， AE AC ，12 352 CAO DAC， AEO ADC90， AEO ADC， ，即 ，解得 AO ，ADAE ACAO 6352 35AO 154 O 的半径为 .154102017广安模拟如图 8，在 ABC 中， AB AC，以 AC 为直径作 O
20、交 BC 于点 D，过点D 作 O 的切线 EF，交 AB 和 AC 的延长线于 E， F.(1)求证： FE AB；(2)当 AE6，sin F 时，求 EB 的长35图 8 第 10 题答图解：(1)证明：如答图，连结 OD. OC OD， OCD ODC， AB AC， ACB B， ODC B， OD AB， ODF AEF， EF 与 O 相切， OD EF， EF AB；(2)设 OA OD OC r，由(1)知， OD AB， OD EF，在 Rt AEF 中，sin F ， AE6，AEAF 35 AF10， OD AB， ODF AEF， ，OFAF ODAE ，解得 r ，10 r10 r6 154 AB AC2 r ，152 EB AB AE 6 .152 32