1、专题 4 相似三角形题型一 比例线段、平行线分线段成比例定理例 1 如图 1，已知 AB CD EF， AD AF35， BE12，那么 CE 的长等于_ _245图 1【解析】 AB CD EF， ，即 ， BC ， CE BE BC12 .ADAF BCBE 35 BC12 365 365 245【点悟】 利用平行线分线段成比例定理解题时，要注意找好对应线段，通常用 ， 等关系分段寻找左 上左 下 右 上右 下 左 上左 全 右 上右 全变式跟进12017镇江如图 2， ABC 中， AB6， DE AC，将 BDE 绕点 B 顺时针旋转得到BD E，点 D 的对应点落在边 BC 上，已知
2、 BE5， D C4，则 BC 的长为_2 _34图 2【解析】 由条件“ DE AC”可得 BDE BAC，即有 ；由题意可得BDBA BEBCBE BE5， BD BD BC D C BC4， AB6.设 BC x，由，可列方程： x 46，解得 x2 (负值舍去)，故 BC 的长为 2 .5x 34 34题型二 相似三角形的判定例 2 2017祁阳期末已知：如图 3，12， ABAC ADAE.图 3求证： C E.证明：在 ABE 和 ADC 中， ABAC ADAE， ，又12，ABAD AEAC ABE ADC， C E.【点悟】 判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，
3、可采用相似三角形的预备定理；(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定 3)或找夹边成比例(用判定 2)；(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4)条件中若有一对直角，可考虑一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；(5)条件中若有等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例变式跟进22017随州在 ABC 中， AB6， AC5，点 D 在边 AB 上，且 AD2，点 E 在边 AC 上，当 AE_ 或 _时，以 A， D， E 为顶点的三角形与 ABC 相似53 125【解析】 A A，分两种情况：当 时， ADE ABC，即ADAE ABAC ， AE ；
4、当 时， ADE ACB，即 ， AE .综上所述，当 AE2AE 65 53 ADAE ACAB 2AE 56 125或 时，以 A， D， E 为顶点的三角形与 ABC 相似53 12532017嘉兴模拟已知：如图 4，四边形 ABCD 是正方形， PAQ45，将 PAQ 绕着正方形的顶点 A 旋转，使它与正方形 ABCD 的两个外角 EBC 和 FDC 的平分线分别交于点 M和 N，连结 MN.图 4(1)求证： ABM NDA；(2)连结 BD，当 BAM 的度数为多少时，四边形 BMND 为矩形，并加以证明解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形， ABC ADC BAD90， B
5、M， DN 分别是正方形的两个外角平分线， ABM ADN135， MAN45， BAM AND45 DAN， ABM NDA；(2)当 BAM22.5时，四边形 BMND 为矩形证明： BAM22.5， EBM45， AMB22.5， BAM AMB， AB BM，同理 AD DN， AB AD， BM DN，四边形 ABCD 是正方形， ABD ADB45， BDN DBM90， BDN DBM180， BM DN，四边形 BMND 为平行四边形， BDN90，四边形 BMND 为矩形题型三 相似三角形的性质例 3 如图 5，把 ABC 沿 AB 边平移到 A B C的位置，它们的重叠部分
6、(即图中的阴影部分)的面积是 ABC 的面积的一半，若 AB ，则此三角形移动的距离2AA_ 1_2图 5【解析】 设 BC 与 A C交于点 E，由平移的性质知， AC A C， BEABCA， S BEA SBCA A B2 AB212， AB ， A B1， AA AB A B 1.2 2【点悟】 (1)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；(2)相似三角形对应高线、中线、角平分线的比等于相似比变式跟进42017自贡如图 6，在 ABC 中， MN BC，分别交 AB， AC 于点 M， N，若AM1， MB2， BC3，则 MN 的长为_1_图 6【解析】 MN BC，
7、 AMN ABC， . AM1， MB2， BC3， ，AMAB MNBC 11 2 MN3解得 MN1.5如图 7，有一块三角形的余料 ABC，要把它加工成矩形的零件，已知： BC8 cm，高AD12 cm，矩形 EFGH 的边 EF 在 BC 边上， G， H 分别在 AC， AB 上，设 HE 的长为 y cm， EF的长为 x cm.(1)写出 y 与 x 的函数关系式；(2)当 x 取多少时，四边形 EFGH 是正方形？图 7解：(1) BC8 cm，高 AD12 cm， HE 的长为 y cm， EF 的长为 x cm，四边形 EFGH 是矩形， AK AD y12 y， HG E
8、F x， HG BC， AHG ABC， ，即 ，AKAD HGBC 12 y12 x8 y12 x；32(2)由(1)可知， y 与 x 的函数关系式为 y12 x，32四边形 EFGH 是正方形， HE EF，即 x y， x12 x，解得 x .32 245答：当 x 时，四边形 EFGH 是正方形245题型四 位似图形及其画法例 4 如图 8，在平面直角坐标系中有 ABC，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将ABC 放大，则它的对应顶点的坐标为( C )图 8A. ， ，(2，32) (32， 12) (12， 1)B(8，6)，(6，2)，(2，4)C(8，6)，(6，2)，(2，
9、4)或(8，6)，(6，2)，(2，4)D(8，6)，(6，2)，(2，4)或(8，6)，(6，2)，(2，4)【解析】 由坐标系可知，点 A，点 B，点 C 的坐标分别为(4，3)，(3，1)，(1，2)，以点O 为位似中心，相似比为 2，将 ABC 放大，则它的对应顶点的坐标为(42，32)，(32，12)，(12，22)或(42，32)，(32，12)，(12，22)，即(8，6)，(6，2)，(2，4)或(8，6)，(6，2)，(2，4)【点悟】 如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形与原图形对应点的坐标比等于 k 或 k.变式跟进62017烟台如图 9，在直角坐标
10、系中，每个小方格的边长均为 1. AOB 与 A OB是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为 32，点 A， B 都在格点上，则点 B 的坐标是 ( 2，43)图 9【解析】 由题意，将点 B 的横、纵坐标都乘以 ，得点 B的坐标由 B 的坐标(3，2)，23得 B的坐标 .( 2，43)7如图 10，在平面直角坐标系中， ABC 的三个顶点坐标分别为 A(2，4)， B(3，2)，C(6，3)(1)画出 ABC 关于 x 轴对称的 A1B1C1；(2)以 M 点为位似中心，在网格中画出 A1B1C1的位似图形 A2B2C2，使 A2B2C2与 A1B1C1的相似比为 21；(3)求出
11、 A2， B2， C2三点的坐标图 10 第 7 题答图解：(1)如答图所示， A1B1C1即为所求；(2)如答图所示， A2B2C2即为所求；(3)A2(3，6)； B2(5，2)； C2(11，4)题型五 相似三角形的综合例 5 2017泰安如图 11，四边形 ABCD 中， AB AC AD， AC 平分 BAD，点 P 是 AC延长线上一点，且 PD AD.(1)证明： BDC PDC；(2)若 AC 与 BD 相交于点 E， AB1， CE CP23，求 AE 的长图 11 例 5 答图解：(1)证明： AB AD， AC 平分 BAD， AC BD， ACD BDC90， AC A
12、D， ACD ADC， PD AD， ADC PDC90， BDC PDC；(2)如答图，过点 C 作 CM PD 于点 M， BDC PDC， CE CM， CMP ADP90， P P， CPM APD， ，CMAD PCPA设 CM CE x， CE CP23， PC x， AB AD AC1，32 ，解得 x ， AE1 .x132x32x 1 13 13 23变式跟进82017甘肃如图 12， ABC 和 DEF 是两个全等的等腰直角三角形， BAC EDF90， DEF 的顶点 E 与 ABC 的斜边 BC 的中点重合，将 DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 A
13、B 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q.(1)如图，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP AQ 时，求证： BPE CQE；(2)如图，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证： BPE CEQ，并求当 BP2， CQ9时 BC 的长图 12解：(1)证明： ABC 是等腰直角三角形， B C45， AB AC， AP AQ， BP CQ， E 是 BC 的中点， BE CE，在 BPE 和 CQE 中， BPE CQE(SAS)；BE CE， B C，BP CQ， )(2) ABC 和 DEF 是两个全等的等腰直角三角形， B C DEF45， BEQ EQC C，即 B
14、EP DEF EQC C， BEP45 EQC45， BEP EQC， BPE CEQ， ， BP2， CQ9， BE CE，BPCE BECQ BE218， BE CE3 ， BC6 .2 2过关训练12017兰州模拟若 ABC A B C，已知 AB6 cm， A B3 cm，则 ABC 与 A B C的面积比为( D )A12 B21 C14 D41【解析】 ABC A B C， AB6 cm， A B3 cm，其相似比 ， ABC 与 A B C的面积比( AB A B) 241.ABA B 63 2122017常熟期末如图 1， ABC 中， D， E 分别在 AB， AC 上，下列
15、条件中不能判断ADE ACB 的是( D )A ADE C B AED BC. D. ADAC AEAB ADAC DEBC图 1 图 232017潍坊如图 2，在 ABC 中， AB AC， D， E 分别为边 AB， AC 上的点，AC3 AD， AB3 AE，点 F 为 BC 边上一点，添加一个条件：_ A BFD(答案不唯一，合理即可)_，可以使 FDB 与 ADE 相似(只需写出一个)【解析】 AC3 AD， AB3 AE， ，又 A A， ADEADAC AEAB 13ACB， AED B.故要使 FDB 与 ADE 相似，只需再添加一组对应角相等，或夹角的两边成比例即可42017
16、六盘水如图 3，在 ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点 O，在 BA 的延长线上取一点 E，连结 OE 交 AD 于点 F.若 CD5， BC8， AE2，则 AF_ _169图 3 第 4 题答图【解析】 如答图，过 O 点作 OM AD，四边形 ABCD 是平行四边形， OB OD， OM 是ABD 的中位线， AM BM AB ， OM BC4， AF OM， AEF12 52 12MEO， ， ， AF .AEEM AFOM 22 52 AF4 1695如图 4，在 ABC 中， BAC90， AB AC，点 D， E 分别在 BC， AC 上，且 ADE45.(1)求证：
17、ABD DCE；(2)若 AB2， BD1，求 CE 的长图 4解：(1)证明： BAC90， AB AC， B C45，又 DEC ADE CAD45 CAD，同理 ADB C CAD45 CAD， DEC ADB，又 B C45， ABD DCE；(2) AB2， BC2 ，2 ABD DCE， ，ABBD CDCE ， CE .21 22 1CE 22 126如图 5，在正方形 ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 是 CD 上一点， AE EF，有下列结论： BAE30； S ABE4 S ECF； CF CD； ABE AEF.正确结论的个数是( B )13图 5A1 个 B2
18、 个 C3 个 D4 个【解析】 先根据正方形的性质与同角的余角相等，证得 BAE CEF，则可证得正确，错误；利用有两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可证得 ABE AEF，正确故选 B.7如图 6，在 Rt ABC 中， BAC90， AB15， AC20，点 D 在边 AC 上，AD5， DE BC 于点 E，连结 AE，则 ABE 的面积等于_78_图 6 第 7 题答图【解析】 如答图，连结 AE.在 Rt ABC 中， BAC90， DE BC 于点E， BAC CED90， CDE CBA， ，故CECA CDCB 20 525CE12， BE251213， S ABE S
19、ABC， S ABC150， S ABE 15078.1325 132582017内江如图 7，四边形 ABCD 中， AD BC， CM 是 BCD 的平分线，且 CM AB， M 为垂足， AM AB.若四边形 ABCD 的面积为 ，则四边形 AMCD 的面积是_1_13 157图 7 第 8 题答图【解析】 如答图，分别延长 BA 和 CD 交于点 E. AM AB， AM BM. CM 是 BCD 的平13 12分线， CM AB， EM BM. AM EM， AE EM， AE BE. AD BC， EAD12 12 14EBC， ，即 ，解得 S EAD ， S EBC ， SS
20、EADS EBC (14)2 S EADS EAD 157 116 17 17 157 167四边形 AMCD S EBC S EAD 1.12 12 167 1792017门头沟区期末在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：已知：如图 8，在 ABC 中，点 D 是 BA 边延长线上一动点，点 F 在 BC 上，且 ，连结CFBF 12DF 交 AC 于点 E.图 8(1)当点 E 恰为 DF 的中点时，请求出 的值；ADAB(2)当 a(a0)时，请求出 的值(用含 a 的代数式表示)DEEF ADAB思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：甲：过点 F 作 FG AB 交 AC
21、于点 G，构造相似三角形解决问题；乙：过点 F 作 FG AC 交 AB 于点 G，构造相似三角形解决问题；丙：过点 D 作 DG BC 交 CA 延长线于点 G，构造相似三角形解决问题；老师说：“这三位同学的想法都可以” 请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问 的值ADAB解：(1)甲同学的想法：如答图，过点 F 作 FG AB 交 AC 于点 G. GFE ADE， FGE DAE， AED GEF， .ADGF EDEF E 为 DF 的中点， ED EF， AD GF. FG AB， CGF CAB， ， ， .GFAB CFCB CFBF 12 CFCB
22、 13 .ADAB GFAB CFCB 13第 9 题答图 第 9 题答图乙同学的想法：如答图，过点 F 作 FG AC 交 AB 于点 G，则 .ADAG EDEF E 为 DF 的中点， ED EF， AD AG， FG AC， .AGAB CFCB ， . .CFBF 12 CFCB 13 ADAB AGAB CFCB 13丙同学的想法：如答图，过点 D 作 DG BC 交 CA 延长线于点 G. C G， CFE GDE， GDE CFE， ，GDCF EDEF E 为 DF 的中点， ED EF. DG FC. DG BC， C G， B ADG， ADG ABC， .ADAB DGBC ， ， ；CFBF 12 CFBC 13 ADAB DGBC CFBC 13第 9 题答图 第 9 题答图(2)如答图，过点 D 作 DG BC 交 CA 延长线于 G. C G， CFE GDE， GDE CFE， . a， ED aEF， DG aFC.GDCF EDEF DEEF DG BC， C G， B ADG， ADG ABC. . ，ADAB DGBC CFBF 12 ，即 BC3 CF. .CFBC 13 ADAB DGBC aCF3CF a3