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【浙教版】九年级数学下册期末高效复习专题4:相似三角形(含解析)

1、专题 4 相似三角形题型一 比例线段、平行线分线段成比例定理例 1 如图 1,已知 AB CD EF, AD AF35, BE12,那么 CE 的长等于_ _245图 1【解析】 AB CD EF, ,即 , BC , CE BE BC12 .ADAF BCBE 35 BC12 365 365 245【点悟】 利用平行线分线段成比例定理解题时,要注意找好对应线段,通常用 , 等关系分段寻找左 上左 下 右 上右 下 左 上左 全 右 上右 全变式跟进12017镇江如图 2, ABC 中, AB6, DE AC,将 BDE 绕点 B 顺时针旋转得到BD E,点 D 的对应点落在边 BC 上,已知

2、 BE5, D C4,则 BC 的长为_2 _34图 2【解析】 由条件“ DE AC”可得 BDE BAC,即有 ;由题意可得BDBA BEBCBE BE5, BD BD BC D C BC4, AB6.设 BC x,由,可列方程: x 46,解得 x2 (负值舍去),故 BC 的长为 2 .5x 34 34题型二 相似三角形的判定例 2 2017祁阳期末已知:如图 3,12, ABAC ADAE.图 3求证: C E.证明:在 ABE 和 ADC 中, ABAC ADAE, ,又12,ABAD AEAC ABE ADC, C E.【点悟】 判定三角形相似的几条思路:(1)条件中若有平行线,

3、可采用相似三角形的预备定理;(2)条件中若有一对等角,可再找一对等角(用判定 3)或找夹边成比例(用判定 2);(3)条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等;(4)条件中若有一对直角,可考虑一对等角或证明斜边、直角边对应成比例;(5)条件中若有等腰关系,可找顶角相等,可找一对底角相等,也可找底和腰对应成比例变式跟进22017随州在 ABC 中, AB6, AC5,点 D 在边 AB 上,且 AD2,点 E 在边 AC 上,当 AE_ 或 _时,以 A, D, E 为顶点的三角形与 ABC 相似53 125【解析】 A A,分两种情况:当 时, ADE ABC,即ADAE ABAC , AE ;

4、当 时, ADE ACB,即 , AE .综上所述,当 AE2AE 65 53 ADAE ACAB 2AE 56 125或 时,以 A, D, E 为顶点的三角形与 ABC 相似53 12532017嘉兴模拟已知:如图 4,四边形 ABCD 是正方形, PAQ45,将 PAQ 绕着正方形的顶点 A 旋转,使它与正方形 ABCD 的两个外角 EBC 和 FDC 的平分线分别交于点 M和 N,连结 MN.图 4(1)求证: ABM NDA;(2)连结 BD,当 BAM 的度数为多少时,四边形 BMND 为矩形,并加以证明解:(1)证明:四边形 ABCD 是正方形, ABC ADC BAD90, B

5、M, DN 分别是正方形的两个外角平分线, ABM ADN135, MAN45, BAM AND45 DAN, ABM NDA;(2)当 BAM22.5时,四边形 BMND 为矩形证明: BAM22.5, EBM45, AMB22.5, BAM AMB, AB BM,同理 AD DN, AB AD, BM DN,四边形 ABCD 是正方形, ABD ADB45, BDN DBM90, BDN DBM180, BM DN,四边形 BMND 为平行四边形, BDN90,四边形 BMND 为矩形题型三 相似三角形的性质例 3 如图 5,把 ABC 沿 AB 边平移到 A B C的位置,它们的重叠部分

6、(即图中的阴影部分)的面积是 ABC 的面积的一半,若 AB ,则此三角形移动的距离2AA_ 1_2图 5【解析】 设 BC 与 A C交于点 E,由平移的性质知, AC A C, BEABCA, S BEA SBCA A B2 AB212, AB , A B1, AA AB A B 1.2 2【点悟】 (1)相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方;(2)相似三角形对应高线、中线、角平分线的比等于相似比变式跟进42017自贡如图 6,在 ABC 中, MN BC,分别交 AB, AC 于点 M, N,若AM1, MB2, BC3,则 MN 的长为_1_图 6【解析】 MN BC,

7、 AMN ABC, . AM1, MB2, BC3, ,AMAB MNBC 11 2 MN3解得 MN1.5如图 7,有一块三角形的余料 ABC,要把它加工成矩形的零件,已知: BC8 cm,高AD12 cm,矩形 EFGH 的边 EF 在 BC 边上, G, H 分别在 AC, AB 上,设 HE 的长为 y cm, EF的长为 x cm.(1)写出 y 与 x 的函数关系式;(2)当 x 取多少时,四边形 EFGH 是正方形?图 7解:(1) BC8 cm,高 AD12 cm, HE 的长为 y cm, EF 的长为 x cm,四边形 EFGH 是矩形, AK AD y12 y, HG E

8、F x, HG BC, AHG ABC, ,即 ,AKAD HGBC 12 y12 x8 y12 x;32(2)由(1)可知, y 与 x 的函数关系式为 y12 x,32四边形 EFGH 是正方形, HE EF,即 x y, x12 x,解得 x .32 245答:当 x 时,四边形 EFGH 是正方形245题型四 位似图形及其画法例 4 如图 8,在平面直角坐标系中有 ABC,以点 O 为位似中心,相似比为 2,将ABC 放大,则它的对应顶点的坐标为( C )图 8A. , ,(2,32) (32, 12) (12, 1)B(8,6),(6,2),(2,4)C(8,6),(6,2),(2,

9、4)或(8,6),(6,2),(2,4)D(8,6),(6,2),(2,4)或(8,6),(6,2),(2,4)【解析】 由坐标系可知,点 A,点 B,点 C 的坐标分别为(4,3),(3,1),(1,2),以点O 为位似中心,相似比为 2,将 ABC 放大,则它的对应顶点的坐标为(42,32),(32,12),(12,22)或(42,32),(32,12),(12,22),即(8,6),(6,2),(2,4)或(8,6),(6,2),(2,4)【点悟】 如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为 k,那么位似图形与原图形对应点的坐标比等于 k 或 k.变式跟进62017烟台如图 9,在直角坐标

10、系中,每个小方格的边长均为 1. AOB 与 A OB是以原点 O 为位似中心的位似图形,且相似比为 32,点 A, B 都在格点上,则点 B 的坐标是 ( 2,43)图 9【解析】 由题意,将点 B 的横、纵坐标都乘以 ,得点 B的坐标由 B 的坐标(3,2),23得 B的坐标 .( 2,43)7如图 10,在平面直角坐标系中, ABC 的三个顶点坐标分别为 A(2,4), B(3,2),C(6,3)(1)画出 ABC 关于 x 轴对称的 A1B1C1;(2)以 M 点为位似中心,在网格中画出 A1B1C1的位似图形 A2B2C2,使 A2B2C2与 A1B1C1的相似比为 21;(3)求出

11、 A2, B2, C2三点的坐标图 10 第 7 题答图解:(1)如答图所示, A1B1C1即为所求;(2)如答图所示, A2B2C2即为所求;(3)A2(3,6); B2(5,2); C2(11,4)题型五 相似三角形的综合例 5 2017泰安如图 11,四边形 ABCD 中, AB AC AD, AC 平分 BAD,点 P 是 AC延长线上一点,且 PD AD.(1)证明: BDC PDC;(2)若 AC 与 BD 相交于点 E, AB1, CE CP23,求 AE 的长图 11 例 5 答图解:(1)证明: AB AD, AC 平分 BAD, AC BD, ACD BDC90, AC A

12、D, ACD ADC, PD AD, ADC PDC90, BDC PDC;(2)如答图,过点 C 作 CM PD 于点 M, BDC PDC, CE CM, CMP ADP90, P P, CPM APD, ,CMAD PCPA设 CM CE x, CE CP23, PC x, AB AD AC1,32 ,解得 x , AE1 .x132x32x 1 13 13 23变式跟进82017甘肃如图 12, ABC 和 DEF 是两个全等的等腰直角三角形, BAC EDF90, DEF 的顶点 E 与 ABC 的斜边 BC 的中点重合,将 DEF 绕点 E 旋转,旋转过程中,线段 DE 与线段 A

13、B 相交于点 P,线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q.(1)如图,当点 Q 在线段 AC 上,且 AP AQ 时,求证: BPE CQE;(2)如图,当点 Q 在线段 CA 的延长线上时,求证: BPE CEQ,并求当 BP2, CQ9时 BC 的长图 12解:(1)证明: ABC 是等腰直角三角形, B C45, AB AC, AP AQ, BP CQ, E 是 BC 的中点, BE CE,在 BPE 和 CQE 中, BPE CQE(SAS);BE CE, B C,BP CQ, )(2) ABC 和 DEF 是两个全等的等腰直角三角形, B C DEF45, BEQ EQC C,即 B

14、EP DEF EQC C, BEP45 EQC45, BEP EQC, BPE CEQ, , BP2, CQ9, BE CE,BPCE BECQ BE218, BE CE3 , BC6 .2 2过关训练12017兰州模拟若 ABC A B C,已知 AB6 cm, A B3 cm,则 ABC 与 A B C的面积比为( D )A12 B21 C14 D41【解析】 ABC A B C, AB6 cm, A B3 cm,其相似比 , ABC 与 A B C的面积比( AB A B) 241.ABA B 63 2122017常熟期末如图 1, ABC 中, D, E 分别在 AB, AC 上,下列

15、条件中不能判断ADE ACB 的是( D )A ADE C B AED BC. D. ADAC AEAB ADAC DEBC图 1 图 232017潍坊如图 2,在 ABC 中, AB AC, D, E 分别为边 AB, AC 上的点,AC3 AD, AB3 AE,点 F 为 BC 边上一点,添加一个条件:_ A BFD(答案不唯一,合理即可)_,可以使 FDB 与 ADE 相似(只需写出一个)【解析】 AC3 AD, AB3 AE, ,又 A A, ADEADAC AEAB 13ACB, AED B.故要使 FDB 与 ADE 相似,只需再添加一组对应角相等,或夹角的两边成比例即可42017

16、六盘水如图 3,在 ABCD 中,对角线 AC, BD 相交于点 O,在 BA 的延长线上取一点 E,连结 OE 交 AD 于点 F.若 CD5, BC8, AE2,则 AF_ _169图 3 第 4 题答图【解析】 如答图,过 O 点作 OM AD,四边形 ABCD 是平行四边形, OB OD, OM 是ABD 的中位线, AM BM AB , OM BC4, AF OM, AEF12 52 12MEO, , , AF .AEEM AFOM 22 52 AF4 1695如图 4,在 ABC 中, BAC90, AB AC,点 D, E 分别在 BC, AC 上,且 ADE45.(1)求证:

17、ABD DCE;(2)若 AB2, BD1,求 CE 的长图 4解:(1)证明: BAC90, AB AC, B C45,又 DEC ADE CAD45 CAD,同理 ADB C CAD45 CAD, DEC ADB,又 B C45, ABD DCE;(2) AB2, BC2 ,2 ABD DCE, ,ABBD CDCE , CE .21 22 1CE 22 126如图 5,在正方形 ABCD 中, E 是 BC 的中点, F 是 CD 上一点, AE EF,有下列结论: BAE30; S ABE4 S ECF; CF CD; ABE AEF.正确结论的个数是( B )13图 5A1 个 B2

18、 个 C3 个 D4 个【解析】 先根据正方形的性质与同角的余角相等,证得 BAE CEF,则可证得正确,错误;利用有两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可证得 ABE AEF,正确故选 B.7如图 6,在 Rt ABC 中, BAC90, AB15, AC20,点 D 在边 AC 上,AD5, DE BC 于点 E,连结 AE,则 ABE 的面积等于_78_图 6 第 7 题答图【解析】 如答图,连结 AE.在 Rt ABC 中, BAC90, DE BC 于点E, BAC CED90, CDE CBA, ,故CECA CDCB 20 525CE12, BE251213, S ABE S

19、ABC, S ABC150, S ABE 15078.1325 132582017内江如图 7,四边形 ABCD 中, AD BC, CM 是 BCD 的平分线,且 CM AB, M 为垂足, AM AB.若四边形 ABCD 的面积为 ,则四边形 AMCD 的面积是_1_13 157图 7 第 8 题答图【解析】 如答图,分别延长 BA 和 CD 交于点 E. AM AB, AM BM. CM 是 BCD 的平13 12分线, CM AB, EM BM. AM EM, AE EM, AE BE. AD BC, EAD12 12 14EBC, ,即 ,解得 S EAD , S EBC , SS

20、EADS EBC (14)2 S EADS EAD 157 116 17 17 157 167四边形 AMCD S EBC S EAD 1.12 12 167 1792017门头沟区期末在一节数学课上,老师出示了这样一个问题让学生探究:已知:如图 8,在 ABC 中,点 D 是 BA 边延长线上一动点,点 F 在 BC 上,且 ,连结CFBF 12DF 交 AC 于点 E.图 8(1)当点 E 恰为 DF 的中点时,请求出 的值;ADAB(2)当 a(a0)时,请求出 的值(用含 a 的代数式表示)DEEF ADAB思考片刻后,同学们纷纷表达自己的想法:甲:过点 F 作 FG AB 交 AC

21、于点 G,构造相似三角形解决问题;乙:过点 F 作 FG AC 交 AB 于点 G,构造相似三角形解决问题;丙:过点 D 作 DG BC 交 CA 延长线于点 G,构造相似三角形解决问题;老师说:“这三位同学的想法都可以” 请参考上面某一种想法,完成第(1)问的求解过程,并直接写出第(2)问 的值ADAB解:(1)甲同学的想法:如答图,过点 F 作 FG AB 交 AC 于点 G. GFE ADE, FGE DAE, AED GEF, .ADGF EDEF E 为 DF 的中点, ED EF, AD GF. FG AB, CGF CAB, , , .GFAB CFCB CFBF 12 CFCB

22、 13 .ADAB GFAB CFCB 13第 9 题答图 第 9 题答图乙同学的想法:如答图,过点 F 作 FG AC 交 AB 于点 G,则 .ADAG EDEF E 为 DF 的中点, ED EF, AD AG, FG AC, .AGAB CFCB , . .CFBF 12 CFCB 13 ADAB AGAB CFCB 13丙同学的想法:如答图,过点 D 作 DG BC 交 CA 延长线于点 G. C G, CFE GDE, GDE CFE, ,GDCF EDEF E 为 DF 的中点, ED EF. DG FC. DG BC, C G, B ADG, ADG ABC, .ADAB DGBC , , ;CFBF 12 CFBC 13 ADAB DGBC CFBC 13第 9 题答图 第 9 题答图(2)如答图,过点 D 作 DG BC 交 CA 延长线于 G. C G, CFE GDE, GDE CFE, . a, ED aEF, DG aFC.GDCF EDEF DEEF DG BC, C G, B ADG, ADG ABC. . ,ADAB DGBC CFBF 12 ,即 BC3 CF. .CFBC 13 ADAB DGBC aCF3CF a3