1、专题10：二次函数一、单选题1已知抛物线y=ax2 +bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：abc 0；2c3b 0；5a +b+2c=0；若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1y2y3其中正确结论的个数有（）A1B2C3D4【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质一一判断即可【详解】解：由图像可知，开口向上，图像与y轴负半轴有交点，则，对称轴为直线，则，故正确；当时，即，故正确；对称轴为直线，抛物线与x轴负半轴的交点为（，0），两式相加，则，故错误；，根据开口向上，离对称轴越近其对应的函数值越小，则
2、有，故正确；正确的结论有3个，故选：C【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象及性质，能够通过函数图象提取信息是解题的关键2二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为直线以下结论：；对于任意实数m，都有成立；若，在该函数图象上，则；方程（，k为常数）的所有根的和为4其中正确结论有（）A2B3C4D5【答案】A【解析】【分析】根据图象可判断，即可判断正确；令，解得，根据图得，即可求出a的范围，即可判断错误；由代入变形计算即可判断错误；由抛物线的增减性和对称性即可判断错误；将所求的方程解的问题转化为抛物线与两直线的交点问题，根据交点的个数，以及抛物线的对称性可知错误【详解
3、】二次函数的部分图象与y轴交于，对称轴为直线，抛物线开头向上，故正确；令，解得，由图得，解得，故正确；，可化为，即，若成立，则，故错误；当时，随的增大而减小，对称轴为直线，时与时所对应的值相等，故错误；（，k为常数）的解，是抛物线与直线y=k的交点的横坐标，则（，k为常数）解的个数可能有2个，3个或4个，根据抛物线的对称性可知，当有3个或4个交点时，（，k为常数）的所有解的和是4，当有2个交点时，即k=0时，（，k为常数）的所有解的和是2，故错误；综上，正确的个数为2，故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，一元二次方程求根公式，根与系数的关系等，熟练掌握知识点，能够运用数形结合的思想是
4、解题的关键3（2020四川眉山）已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式0，从而解得a-2，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得a3，从而得出选项【详解】解：图象与x轴有交点，=（-2a）2-4（a2-2a-4）0解得a-2；抛物线的对称轴为直线抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，a3，实数a的取值范围是-2a3故选：D【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键二、填空题4（2
5、021四川巴中）y与x之间的函数关系可记为yf（x）例如：函数yx2可记为f（x）x2若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（x）f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（x）f（x），则f（x）是奇函数例如：f（x）x2是偶函数，f（x）是奇函数若f（x）ax2+（a5）x+1是偶函数，则实数a_【答案】5【解析】【分析】由f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函数，得a（-x）2+（a-5）（-x）+1=ax2+（a-5）x+1，解得a=5【详解】解：f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函数，对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），
6、即a（-x）2+（a-5）（-x）+1=ax2+（a-5）x+1，（10-2a）x=0，可知10-2a=0，a=5，故答案为：5【点睛】本题考查新定义：偶函数与奇函数，解题的关键是理解偶函数定义，列出a（-x）2+（a-5）（-x）+1=ax2+（a-5）x+15（2020四川巴中）现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y轴对称其中半圆交y轴于点E，直径，；两支抛物线的顶点分别为点A、点B与x轴分别交于点C、点D；直线BC的解析式为：则零件中BD这段曲线的解析式为_【答案】【解析】【分析】记AB与y轴的交点为F，根据图象关于y轴对称且直径AB2，O
7、E2得出点B（1，1），由点B坐标求出直线BC解析式，据此得出点C坐标，继而得出点D坐标，将点D坐标代入右侧抛物线解析式ya（x1）2+1，求出a的值即可得出答案【详解】解：记AB与y轴的交点为F，AB2，且半圆关于y轴对称，FAFBFE1，OE2，则右侧抛物线的顶点B坐标为，将点代入得，解得，当时，解得，则，设右侧抛物线解析式为，将点代入解析式得，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据轴对称图形的性质得出点B坐标及熟练运用待定系数法求函数解析式6（2022四川成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满
8、足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_；当时，的取值范围是_【答案】 【解析】【分析】根据题意，得-45+3m+n=0，确定m，n的值，从而确定函数的解析式，根据定义计算确定即可【详解】根据题意，得-45+3m+n=0， ， ，解得m=50，m=10，当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；抛物线与y轴交于正半轴，n0，对称轴为t=1，a=-50，时，h随t的增大而增大，当t=1时，h最大，且（米）；当t=0时，h最最小，且（米）；w=，w的
9、取值范围是，故答案为：当时，的取值范围是对称轴为t=1，a=-50，时，h随t的增大而减小，当t=2时，h=15米，且（米）；当t=3时，h最最小，且（米）；w=，w=，w的取值范围是，故答案为：【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键7（2021四川德阳）已知函数y的图象如图所示，若直线ykx3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 _【答案】17【解析】【分析】根据题意可知，当直线经过点（1，12）时，直线y=kx-3与该图象有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=
10、kx-3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它们的和为17【详解】解：当直线经过点（1，12）时，12=k-3，解得k=15；当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，整理得x2-（10+k）x+36=0，10+k=12，解得k=2或k=-22（舍去），k的最大值是15，最小值是2，k的最大值与最小值的和为15+2=17故答案为：17【点睛】本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k的最大值和最小值是解题的关键8（2021四川南充）关于抛物线，给出下列结论：当时，抛物线与直线没有交点；若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，
11、0）与（1，0）之间；若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则其中正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】先联立方程组，得到，根据判别式即可得到结论；先求出a1，分两种情况：当0a1时，当a0时，进行讨论即可；求出抛物线的顶点坐标为：，进而即可求解【详解】解：联立，得，=，当时，有可能0，抛物线与直线有可能有交点，故错误；抛物线的对称轴为：直线x=，若抛物线与x轴有两个交点，则=，解得：a1，当0a1时，则1，此时，x，y随x的增大而减小，又x=0时，y=10，x=1时，y=a-10，抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，当a0时，则
12、0，此时，x，y随x的增大而减小，又x=0时，y=10，x=1时，y=a-10，抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，综上所述：若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，故正确；抛物线的顶点坐标为：，抛物线的顶点所在直线解析式为：x+y=1，即：y=-x+1，抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），解得：，故正确故答案是：【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数与二次方程的联系，熟练应用判别式判断一元二次方程根的情况，是解题的关键9（2020四川内江）已知抛物线（如图）和直线我们规定：当x取
13、任意一个值时，x对应的函数值分别为和若，取和中较大者为M；若，记当时，M的最大值为4；当时，使的x的取值范围是；当时，使的x的值是，；当时，M随x的增大而增大上述结论正确的是_（填写所有正确结论的序号）【答案】【解析】【分析】根据题目中的较大者M的定义逐个分析即可【详解】解：对于：当时，显然只要，则M的值为，故错误；对于：当时，在同一直角坐标系内画出的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，联立的函数表达式，即，求得交点横坐标为和，观察图形可知的x的取值范围是，故正确；对于：当时，在同一直角坐标系内画出的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，联立的函数表达式，即，求得其交点的横坐标为和，故M
14、=3时分类讨论：当时，解得或，当时，解得，故错误；对于：当时，函数，此时图像一直在图像上方，如下图所示，故此时M=，故M随x的增大而增大，故正确故答案为：【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图像性质及交点坐标，本题的关键是要能理解M的含义，学会用数形结合的方法分析问题10（2020四川乐山）我们用符号表示不大于的最大整数例如：，那么：（1）当时，的取值范围是_；（2）当时，函数的图象始终在函数的图象下方则实数的范围是_【答案】 或【解析】【分析】（1）首先利用的整数定义根据不等式确定其整数取值范围，继而利用取整函数定义精确求解x取值范围（2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式
15、判别新函数的正负，继而根据函数性质反求参数【详解】（1）因为表示整数，故当时，的可能取值为0,1,2当取0时， ；当取1时， ；当=2时，故综上当时，x的取值范围为：（2）令，由题意可知：，当时，=，在该区间函数单调递增，故当时， ，得当时，=0， 不符合题意当时，=1， ，在该区间内函数单调递减，故当取值趋近于2时，得，当时，因为 ，故，符合题意故综上：或【点睛】本题考查函数的新定义取整函数，需要有较强的题意理解能力，分类讨论方法在此类型题目极为常见，根据不同区间函数单调性求解参数为常规题型，需要利用转化思想将非常规题型转化为常见题型三、解答题11（2021四川内江）如图，抛物线与轴交于、两
16、点，与轴交于点直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为（1）求抛物线的解析式与直线的解析式；（2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值；（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为；（2）的面积的最大值为，（3）的坐标为或【解析】【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可（2）如图1中，过点P作PEy轴交AD于点E设P（m，-m2+m+3），则E（m，m+1）因为SPAD=（xD-xA）PE=3PE，所以PE的值最大值时，PAD的面积最大，求出PE的最大值即可（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90得到A
17、T，则T（-5，6），设DT交y轴于点Q，则ADQ=45，作点T关于AD的对称点T（1，-6），设DQ交y轴于点Q，则ADQ=45，分别求出直线DT，直线DT的解析式即可解决问题【详解】解：（1）抛物线与轴交于、两点，设抛物线的解析式为，解得，或，在抛物线上，解得，抛物线的解析式为，直线经过、，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为；（2）如图1中，过点作轴交于点设，则，的值最大值时，的面积最大，时，的值最大，最大值为，此时的面积的最大值为，（3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，则，设交轴于点，则，直线的解析式为，作点关于的对称点，则直线的解析式为，设交轴于点，则，综上所述，满足条件的
18、点的坐标为或【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题12（2022四川广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，4），点C坐标为（2，0）(1)求此抛物线的函数解析式(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得PAB为直角三角形，请求出点P的坐标
19、【答案】(1)(2)（-2，-4）(3)P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），【解析】【分析】（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代入，即可求出解析式；（2）先求出直线AB关系式为：，直线AB平移后的关系式为：，当其与抛物线只有一个交点时，此时点D距AB最大，此时ABD的面积最大，由此即可求得D点坐标；（3）分三种情况讨论，当PAB=90时，即PAAB，则设PA所在直线解析式为：，将A（-4,0）代入得，解得：，此时P点坐标为：（-1,3）；当PBA=90时，即PBAB，则设PB所在直线解析式为：，将B（0，-4）代入得，此时P点坐标为：（-1,-5）；当APB=90时，设P点坐标为：
20、，由于PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，=-1，则此时P点坐标为：，(1)解：将B（0，-4），C（2，0）代入， 得：，解得：，抛物线的函数解析式为：(2)向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时ABD的面积最大，时，A点坐标为：（-4,0），设直线AB关系式为：，将A（-4,0），B（0，-4），代入，得：，解得：，直线AB关系式为：，设直线AB平移后的关系式为：，则方程有两个相等的实数根，即有两个相等的实数根，即的解为：x=-2，将x=-2代入抛物线解析式得，点D的坐标为：（-2，-4）时，ABD的面积最大；(3)当PAB=90时，即PAAB，则设PA所在直线解析式为：，将A（-4,0）代入得，解得：，PA所在直线解析式为：，抛物线对称轴为：x=-1，当x=-1时，P点坐标为：（-1，3）；当PBA=90时，即PBAB，则设PB所在直线解析式为：，将B（0，-4）代入得，PA所在直线解析式为：，当x=-1时，P点坐标为：（-1，-5）；当APB=90时，设P点坐标为：，PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，PAPB，=-1，解得：，P点坐标为：，综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），时，PAB为直角三角形【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键