1、第二章 等式与不等式一、选择题(共40分)1、(4分)不等式对任意a，恒成立，则实数x的取值范围是( )A.B.C.D.2、(4分)若正数a，b满足，则的最小值为( )A.B.C.D.3、(4分)若，则当取得最大值时，x的值为( )A.B.C.D.4、(4分)已知不等式的解集为，则不等式的解集为( )A.B.或C.D.或5、(4分)不等式的解集是( )A.B.C.或D.或6、(4分)若不等式的解集为,则不等式的解集为( ).A.B.C.D.7、(4分)某工厂近期要生产一批化工试剂,经市场调查得知,生产这批试剂的成本分为以下三个部分:生产1单位试剂需要原料费50元;支付所有职工的工资总额由7 5
2、00元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成:后续保养的费用是每单位元(试剂的总产量为x单位,).则要使生产每单位试剂的成本最低,试剂总产量应为( )A.60单位B.70单位C.80单位D.90单位8、(4分)若某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数为二次函数关系(如图所示),则每辆客车营运( )年时,其营运的年平均利润最大.A.3B.4C.5D.69、(4分)已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数,则实数a的取值范围是( )A.(0,5)B.0,5)C.0,5D.(0,510、(4分)某单位在国家科研部门的支持
3、下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为( )A.200吨B.300吨C.400吨D.600吨二、填空题(共25分)11、(5分)已知a，b均为正数，且，则ab的最大值为_，的最小值为_.12、(5分)对于实数x，当时，规定，若，则_，不等式的解集为_.13、(5分)若某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为,则当每台机
4、器运转_年时,年平均利润最大.14、(5分)已知二次函数(a,b,c均为正数)的图象过点(1,1),最小值为0,若实数满足,则实数的取值范围为_.15、(5分)若正数满足，则的取值范围是_三、解答题(共35分)16、(8分)已知，满足.（1）求证：；（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数p，使对任意恒成立，试写出一个p，并证明之.17、(9分)某工厂某种产品的月固定成本为10万元，每生产x件，需另投入成本为C，当月产量不足30件时，（万元）.当月产量不小于30件时，（万元）.每件商品售价为5万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.因设备问题，该厂月生产量不超过50件.（1）写出月
5、利润L（万元）关于月产量x（件）的表达式；（2）当月产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获月利润最大？18、(9分)已知正数a，b满足.（1）若，求的值；（2）求的最大值.19、(9分)已知函数的最小值为m.(1)求m；(2)若正实数a，b，c满足，求的最小值.参考答案1、答案：C解析：，当且仅当，即时取等号，不等式对任意a，恒成立，实数x的取值范围是.故选：C.2、答案：D解析：本题考查基本不等式.因为，且，所以，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为.3、答案：D解析：本题考查基本不等式的应用.，当且仅当，即时，取得“=”.4、答案：B解析：本题考查一元二次不等式的解集.由已知可得-3
6、，2是方程的两根.由根与系数的关系可知，所以，代入不等式，得，解得或.5、答案：D解析：本题考查一元二次不等式的解法.不等式化简为，解得或，即不等式的解集是或.6、答案：A解析：因为不等式的解集为,所以,且故,代入不等式得到,即,解得.7、答案：D解析：设每生产1单位试剂的成本为y,因为试剂总产量为x单位,则由题意可知,原料总费用为元,职工的工资总额为元,后续保养总费用为元,则，当且仅当,即时取等号,满足,所以要使生产每单位试剂的成本最低,试剂总产量应为90单位.故选D.8、答案：C解析：根据题意得到,抛物线的顶点为(6,11),过点(4,7),图象开口向下,设二次函数的解析式为,所以,解得,
7、即,因为,所以,当且仅当,即时取等号.故选C.9、答案：D解析：原不等式变形为,故当时,原不等式才有解,且解为,要使其中只有5个整数,则,即,解得.故选D.10、答案：C解析：由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，当且仅当，即时，等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，可使每吨的平均处理成本最低.11、答案：2，解析：由题意，得，当且仅当，即，时等号成立，所以，所以ab的最大值为2，当，时取等号.12、答案：20，解析：本题考查新定义及一元二次不等式的解集.由，得，则不等式化为，解得，即不等式的解集为.13、答案：5解析：每台机器运转x年的年平均利润为,且,由基本不等式得,当且仅当,即时
8、等号成立,故,当且仅当时等号成立,此时年平均利润最大.14、答案：解析：，且，则，即，当且仅当，即时,等号成立.又当时,.15、答案：解析：因为，由均值不等式得：，令，则化简得解得或（舍去），所以的取值范围为.故答案为：.16、答案： (1)见解析(2) 见解析解析：(1) 证明 : 由 ，得 ，,要证 ，只要证 ，左边 当且仅当 ，即 时等号成立；(2)要使,只至至,左边 则 ， 可取 或 3取 ，问题转化为.证明如下 : 要证 ，只需证明 ，左边 当且仅当 ，即 时等号成立.17、答案：（1）见解析（2）当月产量为30件时，月获利润最大.解析：（1）因为每件商品售价为5万元，所以x件商品销售额为5x万元，依题意得，当时，；当时，.（2）当时，对称轴为.即当时，（万元）；当时，当且仅当时，（万元）.综上所述，当月产量为30件时，月获利润最大.18、答案：（1）3（2）见解析解析：（1）由，可得，则.（2）由（1）得，则，当且仅当中，即时，等号成立.19、答案：(1).(2)最小值为.解析：(1)因为可知在上单调递减，在上单调递增，所以当时，有最小值，最小值为4，即.(2)由(1)知，可得.又a，b，c为正实数，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.