1、第二课时复合、抽象函数的单调性及函数最值选题明细表知识点、方法题号复合函数、抽象函数的单调性应用4,11,12求函数的最值及应用1,2,3,5,6,7,8,9,10基础巩固1.(多选题)函数f(x)=x-1x在区间1,3上(AC)A.最小值为0 B.最小值为3C.最大值为83 D.最大值为4解析:因为函数f(x)=x-1x在1,3上单调递增,所以f(x)=x-1x在区间1,3上的最大值为f(3)=3-13=83,最小值为f(1)=0.故选AC.2.已知函数f(x)=2x+1x-1,x-8,-4),则下列说法正确的是(A)A.f(x)有最大值53,无最小值B.f(x)有最大值53,最小值75C.
2、f(x)有最大值75,无最小值D.f(x)有最大值2,最小值75解析:f(x)=2x+1x-1=2+3x-1,它在-8,-4)上单调递减,因此有最大值f(-8)=53,无最小值.故选A.3.函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-,1)上有最小值,则a的取值范围是(A)A.(-,1)B.(-,1C.(1,+)D.1,+)解析:由题意,f(x)=(x-a)2-a2+a,所以函数的对称轴为直线x=a.若a1,则函数在区间(-,1)上是减函数,因为是开区间,所以没有最小值,所以a1,且当x=a时取得最小值.故选A.4.函数f(x)=x2-2x-8的单调递增区间是(D)A.(-,-2B.(-,1C.1
3、,+)D.4,+)解析:由x2-2x-80得x4或x-2,令x2-2x-8=t,则y= t为增函数,因为t=x2-2x-8在4,+)上单调递增,所以原函数的单调递增区间为4,+).故选D.5.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是3,+),则a=,在区间-4,4上的最大值是.解析:f(x)=2x+a,x-a2,-2x-a,x-a2,所以f(x)的单调递增区间是-a2,+),所以-a2=3,a=-6,在区间-4,4上的最大值是14.答案:-6146.作出函数y=|x-2|(x+1)的图像,说明函数的单调性,并判断是否存在最大值和最小值.解:当x-20,即x2时,y=(x-2)(x+1)=x
4、2-x-2=(x-12)2-94;当x-20,即x2时,y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-(x-12)2+94,所以y=(x-12) 2-94,x2,-(x-12) 2+94,x0,x1x2=-k0,解得-1k0,即k(-1,0.故选A.8.已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上的最大值为2,则a的值为.解析:函数f(x)=-x2+2ax+1-a的对称轴为直线x=a,图像开口向下,当a0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上是减函数,所以f(x)max=f(0)=1-a,由1-a=2,得a=-1;当0a1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间
5、0,a上是增函数,在a,1上是减函数,所以f(x)max=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1,由a2-a+1=2,解得a=1+52或a=1-52,因为0ad”是“f(x1)g(x2)对任意x1,x2D恒成立”的充分不必要条件;“ad”是“f(x1)g(x2)对任意x1,x2D恒成立”的必要不充分条件;“ad”是“f(x)g(x)对任意xD恒成立”的充分不必要条件;“ad”是“f(x)g(x)对任意xD恒成立”的必要不充分条件,其中正确的命题是.(请写出所有正确命题的序号)解析:因为a为函数f(x)的最小值,d为函数g(x)的最大值,所以adf(x1)g(x2)对任意x1,x2D恒成
6、立,所以“ad”是“f(x1)g(x2)对任意x1,x2D恒成立”的充要条件,所以都错;adf(x)g(x)对任意xD恒成立,但是f(x)g(x)对任意xD恒成立不能得出结论ad,比如f(x)=3x+2,g(x)=2x+2,x1,2,f(x)-g(x)=x0,即f(x)g(x)恒成立,但f(x)5,8,g(x)4,6,即a=5,d=6,此时ad,所以对,错.答案:10.(2021四川成都高一检测)已知函数f(x)=x2-ax+b+2,aR,bR.(1)若关于x的不等式f(x)0的解集为(1,2),求实数a,b的值;(2)若关于x的不等式f(x)b在x1,3上能成立,求实数a的取值范围.解:(1
7、)因为f(x)1时,f(x)0.(1)求f(12)的值;(2)判断y=f(x)在(0,+)上的单调性并给出证明;(3)解不等式f(2x)f(8x-6)-1.解:(1)令x=y=1,则f(1)=0,再令x=2,y=12,得f(1)=f(2)+f(12),故f(12)=-1.(2)y=f(x)在(0,+)上为增函数,证明如下:设0x11,故f(x2x1)0,即f(x2)f(x1),故f(x)在(0,+)上为增函数.(3)由f(2x)f(8x-6)-1及f(12)=-1得f(2x)f(8x-6)+f(12)=f(12(8x-6)=f(4x-3),又f(x)为定义域上的增函数,故2x4x-30,解得3
8、4x32,所以不等式的解集为x|34x0),若f(x)和g(x)之间存在“分隔直线”,则b的取值范围为 .解析:如图所示,由图可知,-x2kx+b1x,可得x2+kx+b0对任意的xR恒成立,则1=k2-4b0,即k24b,不等式kx2+bx-10对任意的x0恒成立,若k0,当x+时,(kx2+bx-1)+,不符合题意;若k=0,则bx-10对任意的x0恒成立,则b1x,可得b0,又bk24对任意的xR恒成立,则b0,所以b=0;若k0,则2=b2+4k0,所以b416k264b,即b4-64b=b(b3-64)=b(b-4)(b2+4b+16)0,解得0b4.综上所述,实数b的取值范围是0,4.答案:0,4