1、第二课时零点的存在性及其近似值的求法选题明细表知识点、方法题号函数零点存在定理的理解及应用1,3,4,5,7二分法概念的理解2,6,8二分法求零点近似值9,10,11二分法的实际应用12基础巩固1.函数f(x)=x3-2x-3一定存在零点的区间是(B)A.(2,+)B.(1,2)C.(0,1) D.(-1,0)解析:因为f(x)=x3-2x-3,所以f(1)=-40,由函数零点存在定理可知,函数在(1,2)上一定存在零点.故选B.2.用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精度为0.001,则结束计算的条件是(B)A.|a-b|0.1 B.|a-b|0.001D.|a-b|=0.00
2、1解析:据二分法的步骤知当区间长度|b-a|小于精度时,便可结束计算.故选B.3.(多选题)若函数f(x)=x+ax(aR)在区间(1,2)上有零点,则a的值可能是(AD)A.-2 B.0 C.1 D.-3解析:f(x)=x+ax(aR)的图像在(1,2)上是连续不断的,逐个选项代入验证,当a=-2时,f(1)=1-2=-10,故f(x)在区间(1,2)上有零点,A正确;同理验证其他选项,可知D也正确.故选AD.4.已知函数f(x)的图像是连续的,x,f(x)的对应值表如下:x345678f(x)123.5621.45-7.82-11.5753.76126.49则函数f(x)在区间3,8内的零
3、点至少有(A)A.2个 B.3个C.4个 D.5个解析:根据函数零点存在定理可知,函数f(x)在区间(4,5),(6,7)内至少各存在一个零点,故函数f(x)在区间3,8内至少有2个零点.故选A.5.已知函数f(x)在区间a,b上单调,且图像是连续不断的,若f(a)f(b)0,则方程f(x)=0在区间a,b上(D)A.至少有一实数根B.至多有一实数根C.没有实数根D.必有唯一的实数根解析:由题意知函数f(x)的图像在区间a,b上是连续不断的.因为f(a)f(b)0,所以函数f(x)在区间a,b上至少有一个零点.又因为函数f(x)在区间a,b上是单调函数,所以函数f(x)在区间a,b上至多有一个
4、零点.故函数f(x)在区间a,b上有且只有一个零点,即方程f(x)=0在区间a,b上有唯一的实数根.故选D.6.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经过计算得f(0)0,可得其中一个零点x0 ,第二次应计算.解析:因为f(0)0,所以x0(0,0.5),故第二次应计算f(0.25).答案:(0,0.5)f(0.25)能力提升7.(多选题)(2021河北石家庄高一期末)已知函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点,且都可以用二分法求得,其图像是连续不断的,若f(0)0,f(1)f(2)f(3)0,f(1)f(2)f(3)0,f(1)f(2)0,f(2)0,可得f(2)f(3)
5、0,f(1)f(2)0,即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(1,2)和(2,3)内,故B正确;若f(1)0,则f(0)f(1)0,f(1)f(2)0,即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内,故A正确.综上两种情况,可知选项C错误,D正确.故选ABD.8.已知 f(x)=x2+6x+c有零点,但不能用二分法求出,则c的值是(A)A.9B.8C.7D.6解析:函数f(x)=x2+6x+c有零点,但不能用二分法求出,说明此二次函数图像与x轴只有一个交点,即=36-4c=0,解得c=9.故选A.9.已知函数f(x)满足:对任意的x1,x2a,b,都有f(x1)-f(x2)x
6、1-x20,且f(a)f(b)0,f(2)=-130,所以f(0)f(2)=-130,由此可得f(1)f(2)=-190,下一个有解区间为(1,2),再取x2=12 (1+2)=32,得f(32)=-180,由f(1)f(32)=-1240,知下一个有解区间为(1,32).综上所述,所求实数解x0在较小区间(1,32)内.应用创新11.已知函数f(x)=ax3-2ax+3a-4在区间(-1,1)上有一个零点.(1)求实数a的取值范围;(2)若a=3217,用二分法求方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根.解:(1)若a=0,则f(x)=-4,与题意不符,所以a0.由题意得f(-1)f(1)=
7、8(a-1)(a-2)0,则a-10或a-10,a-20,所以1a0,f(0)=28170,f(1)=-4170.所以函数零点在(0,1)上.又f(12)=0,所以方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根为12.12.在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(质量比真币的略小).现只有一台天平,请问:利用二分法的思想,你至多几次就一定可以找出这枚假币?解:利用二分法,至多四次就一定可以找出这枚假币.第一次把26枚金币平均分成两组,放在天平上称,天平一定不平衡,轻的一组(13枚金币)含假币;第二次把含假币的13枚金币分成三组:6,6,1,把有6枚金币的两组放在天平上称,如果平衡,那么剩下的一枚是假币(称量结束),如果不平衡,那么轻的一组(6枚金币)含假币;第三次把含假币的6枚金币分成两组,放在天平上称,天平不平衡,轻的一组(3枚金币)含假币;第四次把含假币的3枚金币分成3组:1,1,1,取其中的两枚金币放在天平上称,如果平衡,那么剩下的一枚是假币,如果不平衡,那么轻的一枚是假币.因此,至多四次就一定可以找到假币.