1、3.1.3函数的奇偶性选题明细表知识点、方法题号函数奇偶性的判定2,7函数奇偶性的应用1,3,4,5,10函数奇偶性与单调性综合6,8,9,11,12基础巩固1.若函数f(x)=x(2x+1)(x-a)为奇函数,则a等于(A)A.12 B.23 C.34 D.1解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1),所以11+a=13(1-a),所以1+a=3(1-a),解得a=12.故选A.2.(多选题)下列函数是偶函数的是(BD)A.y=x B.y=2x2-3C.y=xD.y=x2解析:对于A,f(-x)=-x=-f(x),是奇函数;对于B,D,定义域为R,满足f(x)=f(-x),是偶函
2、数;对于C,定义域不关于原点对称.故选BD.3.已知函数y=f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=x2-2x+3,则当x0时, f(x)的解析式是(B)A.f(x)=-x2+2x-3B.f(x)=-x2-2x-3C.f(x)=x2-2x+3D.f(x)=-x2-2x+3解析:若x0,因为当x0时,f(x)=x2-2x+3,所以f(-x)= x2+2x+3,因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=x2+2x+3=-f(x),所以f(x)=-x2-2x-3,所以x0),则f(x-2)0的解集为(B)A.(-4,0)(2,+) B.(0,2)(4,+)C.(-,0)(4,+)D.(-4,4)解析
3、:因为f(x)=x2-4(x0),所以当x0时,若f(x)0,则x2,又由函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0,若f(x)0,则f(-x)0,则0-x2,即-2x0的解集为(-2,0)(2,+),故f(x-2)0时,x-2(-2,0)(2,+),x(0,2)(4,+),即f(x-2)0的解集为(0,2)(4,+).故选B.5.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么 f(2)=.解析:因为f(x)=x5+ax3+bx-8,令g(x)=f(x)+8=x5+ax3+bx,且g(x)定义域为R,关于原点对称,则g(x)为奇函数,因为f(-2)=10,所以g(-2)=10+8
4、=18,所以g(2)=-18,所以f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.答案:-266.如果定义在(-,0)(0,+)上的奇函数f(x)在(0,+)上是减函数,又有f(3)=0,则xf(x)0,f(x)3;当x0时,x3或x-3.答案:x|x3能力提升7.(多选题)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(AC)A.f(x)g(x)是奇函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数解析:因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以|f(x)|为偶函数, |g(x)|为偶函数.再根
5、据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数,可得f(x)g(x)为奇函数,f(x)|g(x)|为奇函数.故选AC.8.(2021湖南长沙高一检测)设f(x)为定义在R上的函数,函数f(x+1)是奇函数.对于下列四个结论:f(1)=0;f(1-x)=-f(1+x);函数f(x)的图像关于原点对称;函数f(x)的图像关于点(1,0)对称.其中正确结论的个数为(C)A.1B.2C.3D.4解析:令g(x)=f(x+1),因为g(x)为R上的奇函数,所以g(0)=f(0+1)=0,所以f(1)=0,故正确;因为g(x)为R上的奇函数,所以g(-x)=-g(x
6、),所以f(-x+1)=-f(x+1),即f(1-x)=-f(1+x),故正确;因为y=f(x+1)的图像是由y=f(x)的图像向左平移一个单位长度得到的,又y=f(x+1)的图像关于原点对称,所以y=f(x)的图像关于点(1,0)对称,故错误,正确,所以正确的有.故选C.9.(2021浙江杭州高一检测)已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x22,+)(x1x2),有f(x2)-f(x1)x2-x10,且f(x+2)是偶函数,不等式f(m+1)f(2x-1)对任意的x-1,0恒成立,则实数m的取值范围是(C)A.-4,6B.-4,3C.(-,-46,+)D.(-,-43,+)解析:
7、因为对任意的x1,x22,+)(x1x2),有f(x2)-f(x1)x2-x10,知f(x)在2,+)上单调递增,因为f(x+2)是偶函数,知f(x)关于直线x=2对称,所以f(x)在(-,2上单调递减,在x2,+)上单调递增.因为不等式f(m+1)f(2x-1)对任意的x-1,0恒成立,且-32x-1-1,所以f(m+1)f(2x-1)max=f(-3)即可,而根据对称性有f(m+1)f(7).综上知,m+1-3或m+17,解得m(-,-46,+).故选C.10.(2021上海高一检测)已知对于xR,|f(-x)|=|f(x)|,但f(x)是非奇非偶函数,请写出一个满足条件的f(x)=.解析
8、:由|f(-x)|=|f(x)|,得f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),因为f(x)是非奇非偶函数,所以只要找一个定义域为R的函数,且该函数在部分区间上满足f(-x)=f(x),在另一部分区间上满足f(-x)=-f(x),所以这样的函数可以是 f(x)=|x|,x-1,x,x-1(答案不唯一).答案:|x|,x-1,x,x0时, f(x)=-x2+bx+c,若f(1)=f(3),f(2)=2.(1)求b,c的值;(2)求f(x)在x0时的表达式;(3)解不等式f(x)-2.解:(1)因为f(1)=f(3),f(2)=2,-1+b+c=-9+3b+c,-4+2b+c=2,解得b=4,c
9、=-2.(2)设x0,因为x0时,f(x)=-x2+4x-2,所以f(-x)=-(-x)2+4(-x)-2=-x2-4x-2,因为f(x)为奇函数,所以-f(x)=-x2-4x-2,f(x)=x2+4x+2,即x0时,解-x2+4x-2-2得x4,又因为x0,所以x4;x0时,解x2+4x+2-2得(x+2)20,所以不等式无解.综上,不等式f(x)4.应用创新12.设函数y=f(x)(xR,且x0),对任意实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)= f(x1x2).(1)求f(1)和f(-1)的值;(2)求证:y=f(x)为偶函数;(3)若y=f(x)在(0,+)上为减函数,试求满足不等式f(2x-1)f(1)的x的取值范围.(1)解:当x1=x2=1时,f(1)+f(1)=f(1),得f(1)=0,当x1=x2=-1时,f(-1)+f(-1)=f(-1)(-1)=f(1)=0,所以2f(-1)=0,所以f(-1)=0.(2)证明:当x2=-1时,f(x1)+f(-1)=f(-x1),又f(-1)=0,所以f(x1)=f(-x1),又xR,且x0,则f(x)的定义域关于原点对称,所以f(x)是偶函数.(3)解:因为f(x)在(0,+)上为减函数,且f(x)是偶函数,所以f(x)在(-,0)上为增函数,又f(2x-1)f(1),即0|2x-1|1,解得x(0,12)(12,1).