1、2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系选题明细表知识点、方法题号判断一元二次方程根的情况与解方程1,3,10求参数的值(范围)4,6,8根与系数关系的应用2,5,9综合7,11,12基础巩固1.关于x的方程x2-2mx-m-1=0的根的情况是(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.无实数根解析:因为=4m2-4(-m-1)=4m2+4m+4=(2m+1)2+30,所以方程有两个不相等的实数根.故选A.2.(多选题)已知x1,x2是关于x的方程x2-mx-3=0的两个根,下面结论一定正确的是(BC)A.x1+x20 B.x1x2C.x1x20D.x10,x
2、20,所以方程x2-mx-3=0有两个不相等的实数根,所以x1x2,x1x2=-30.故选BC.3.对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号Maxa,b表示a,b中的较大值,如:Max2,4=4,按照这个规定,方程Maxx,-x=2x+1x的解为(D)A.1-2 B.2-2C.1+2或1-2 D.1+2或-1解析:当x-x,即x-x,即x0时,所求方程变形,得x=2x+1x,即x2-2x=1,解得x=1+2或x=1-2(舍去),经检验x=-1与x=1+2都为方程的解.故选D.4.若方程ax2+4x+4=0的解集中只有一个元素,则a的值为.解析:当a=0时,方程为4x+4=0,解得x=-1,满足
3、题意;当a0时,则=42-4a4=0,解得a=1.综上,a的值为0或1.答案:0或15.已知方程x2+mx+2=0的一个根是1,则它的另一个根是,m=.解析:设方程的另一个根为x1,根据题意,得1x1=2,1+x1=-m,解得x1=2,m=-3.答案:2-36.若关于x的一元二次方程x2-x+a-4=0的一根大于零、另一根小于零,求实数a的取值范围.解:设x1,x2是方程的两根,则x1x2=a-40,由得a4,由得a0,所以a+b+c=0,所以a+b=-c,a2bc+b2ca+c2ab=a3+b3+c3abc=a3+b3-(a+b)3abc=a3+b3-(a3+3a2b+3ab2+b3)abc
4、=-3ab(a+b)abc=-3ab(-c)abc=3.故选D.9.已知关于x的方程x2-2kx+k2-k-1=0有两个不相等的实数根x1,x2,则k的取值范围是,若x1-3x2=2,则k的值是.解析:由=(-2k)2-4(k2-k-1)=4k+40,得k-1.又因为x1-3x2=2,x1+x2=2k,所以x1=3k+12,x2=k-12,因为x1x2=k2-k-1,所以14(3k+1)(k-1)=k2-k-1,所以k1=3,k2=-1,因为k-1,所以k=3.答案:(-1,+)310.(2021江苏苏州高一期中)已知整数a,b满足a2+2b2=3,2a-3b=5,x1,x2是方程ax2-3x
5、-b=0的两根,则x2x1+x1x2=.解析:x2x1+x1x2=(x1+x2)2x1x2-2=(3a) 2-ba-2=-9ab-2,由a2+2b2=3,2a-3b=5,消去a并整理得17b2+30b+13=0,解得b=-1或b=-1317.又因为a,b为整数,所以b=-1,所以a=1,所以ab=-1,所以-9ab-2=7,所以x2x1+x1x2=7.答案:711.已知关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1,x2.(1)求m的取值范围;(2)若x1,x2满足3x1=|x2|+2,求m的值.解:(1)因为关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1,x2,所以=
6、(-6)2-4(m+4)=20-4m0,解得m5,所以m的取值范围为(-,5.(2)因为关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1,x2,所以x1+x2=6,x1x2=m+4.因为3x1=|x2|+2,当x20时,有3x1=x2+2,联立解得x1=2,x2=4,所以8=m+4,m=4;当x20时,有3x1=-x2+2,联立解得x1=-2,x2=8(不合题意,舍去),所以符合条件的m的值为4.应用创新12.在学习解一元二次方程以后,对于某些不是一元二次方程的方程,我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解.例如:解方程x2-3|x|+2=0.解:设|x|=y,则原方程可化为y2-3
7、y+2=0.解得y1=1,y2=2.当y=1时,|x|=1,所以x=1;当y=2时,|x|=2,所以x=2.所以原方程的解是x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2.上述解方程的方法叫做“换元法”.请用“换元法”解决下列问题:(1)解方程:x4-10x2+9=0;(2)若实数x满足x2+1x2-3x-3x=2,求x+1x的值.解:(1)设x2=a,则原方程可化为a2-10a+9=0,即(a-1)(a-9)=0,解得a=1或a=9,当a=1时,x2=1,所以x=1;当a=9时,x2=9,所以x=3.所以原方程的解是x1=1,x2=-1,x3=3,x4=-3.(2)设x+1x=y,则原方程可化为y2-2-3y=2,即y2-3y-4=0,所以(y+1)(y-4)=0,解得y=-1或y=4,即x+1x=-1(方程无解,舍去)或x+1x=4,故x+1x=4.