1、3.2函数与方程、不等式之间的关系第一课时方程的根与函数的零点选题明细表知识点、方法题号求函数零点2,3,12函数零点个数1,7利用零点求参数4,5,6,8,9,10,11基础巩固1.已知函数f(x)=x(x+4),x0,x(x-4),x0,则该函数零点个数为(D)A.0B.1C.2D.3解析:当x0时,x(x+4)=0,所以x=0或x=-4,因为x15 B.a15或a-1C.-1a15 D.a0,-5a+10或a+10,解得a15或a-1.故选B.5.函数f(x)=x2-ax-b的两个零点分别是2和3,则a= , b= .解析:函数f(x)=x2-ax-b的两个零点分别是2和3,即方程x2-
2、ax-b=0的两个根分别为2和3,所以a=5,b=-6.答案:5-66.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x0,+) 时,f(x)= x2-2x.(1)写出函数y=f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求a的取值范围.解:(1)当x(-,0)时,-x(0,+),因为y=f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2-2x,所以f(x)=x2-2x,x0,-x2-2x,x0)的零点为x1,x2(x1x2),函数f(x)的最小值为y0,且y0x1,x2),则函数y=f(f(x)的零点个数是(D)A.3 B.4C.3或4D.2或3解析:由f
3、(f(x)=0,可得f(x)=x1或f(x)=x2.因为函数f(x)的最小值y0x1,x2),且x1x1时,方程f(x)=x1无解,f(x)=x2有两解,故此时函数y=f(f(x)有两个零点;当y0=x1时,方程f(x)=x1有一解,f(x)=x2有两解,故此时函数y=f(f(x)有三个零点.故选D.8.(2021浙江温州高一检测)用card(A)表示非空集合A中的元素个数,定义A*B=card(A)-card(B),card(A)card(B),card(B)-card(A),card(A)1或b=0解析:集合A=x|2x-1=0=x|x=12,所以card(A)=1,因为A*B=1,所以c
4、ard(B)=0或card(B)=2.当card(B)=0时,集合B有0个元素,此时集合B是空集,不符合题意;当card(B)=2时,集合B有2个元素,即|x2-2x|=b,bR有2解,即函数y=|x2-2x| 与y=b有2个交点,由图像可知,此时b=0或b1,故b的取值范围是b=0或b1.故选D.9.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是.解析:画出函数f(x)的图像,如图所示.若方程f(x)=g(x) 有两个不相等的实根,则函数f(x),g(x)的图像有两个交点,由图可知k12,且k4,若关于x的方程f(x)=a恰
5、有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是.解析:作出函数y=f(x)和y=a的图像如图所示.由图知,函数y=f(x)与y=a的图像恰有三个交点,即f(x)=a恰有三个不同实数解时,a的取值范围是00)左侧的图形的面积为f(t).(1)求函数f(t)解析式;(2)当函数g(t)=f(t)-at有且只有一个零点时,求a的值.解:(1)当0t1时,f(t)=32t2;当12时,f(t)=3,所以f(t)=32t2,0t1,3-32(2-t)2,12.(2)由(1)知g(t)=f(t)-at=32t2-at,0t1,3-32(2-t)2-at,12,当0t1时,若g(t)=32t2-at有且只有一个零
6、点,即32t2-at=0有且只有1个根,则有t=2a3,因为0t1,所以02a31,即0a32;当12时,若g(t)=3-at有且只有一个零点,即3-at=0有且只有1个根,则有t=3a(a0),因为t2,所以3a2,所以0a32.综上,当0a32时,g(t)有两个零点,不合题意;当a=23-6时,g(t)有且只有一个零点,符合题意.所以a=23-6.应用创新12.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),函数F(x)=f(x)-x的两个零点分别为m,n(m0的解集;(2)若a0,且0xmn0,即a(x+1)(x-2)0.当a0时,不等式F(x)0的解集为x|x2;当a0的解集为x|-1x0,且0xmn1a,所以x-m0,所以f(x)-m0,即f(x)m.