1、2.2.4均值不等式及其应用选题明细表知识点、方法题号利用均值不等式求最值2,3,4,5,6,7,8,10,11利用均值不等式证明不等式1,9均值不等式的实际应用12基础巩固1.下列不等式中正确的是(D)A.a+4a4 B.a2+b24abC.aba+b2D.x2+3x223解析:a0,则a+4a4不成立,故A错;a=1,b=1,则a2+b24ab,故B错,a=4,b=16,则ab0,y0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为(B)A.16 B.25 C.9 D.36解析:(1+x)(1+y)(1+x)+(1+y)2 2=2+(x+y)2 2=(2+82) 2=25,当且仅当1+x=
2、1+y,即x=y=4时,(1+x)(1+y)取最大值25.故选B.4.(2021贵州威宁高一期中)已知a0,当4a+9a取最小值时,则a等于(A)A.32 B.6 C.9 D.12解析:因为4a+9a24a9a=12,当且仅当4a=9a,即a=32或a=-32(舍去)时,等号成立,所以当4a+9a取最小值时,a=32.故选A.5.函数y=2-x-4x(x0)的取值范围为.解析:当x0时,y=2-(x+4x)2-2x4x=-2,当且仅当x=4x,即x=2时,取等号.答案:(-,-2能力提升6.(多选题)设a1,b1,且ab-(a+b)=1,那么(AD)A.a+b有最小值2(2+1)B.a+b有最
3、大值(2+1)2C.ab有最大值3+22D.ab有最小值3+22解析:因为a1,b1,所以a+b2ab,当且仅当a=b时,取等号,所以1=ab-(a+b)ab-2ab,解得ab 2+1,所以ab(2+1)2=3+22,所以ab有最小值3+22;因为ab(a+b2) 2,当且仅当a=b时,取等号,所以1=ab-(a+b)(a+b2) 2-(a+b),所以(a+b)2-4(a+b)4,所以(a+b)-228,解得a+b-222,即a+b2(2+1),所以a+b有最小值2(2+1).故选AD.7.若对任意x0,xx2+3x+1a恒成立,则a的取值范围是.解析:因为x0,所以x+1x2,当且仅当x=1
4、时,取等号,所以有xx2+3x+1=1x+1x+312+3=15,即xx2+3x+1的最大值为15,故a15.答案: 15,+)8.若a,bR,ab0,则a4+4b4+1ab的最小值为.解析:因为ab0,所以a4+4b4+1ab4a2b2+1ab=4ab+1ab24ab1ab=4,当且仅当a2=2b2,ab=12,即a2=22,b2=24时,取等号,故a4+4b4+1ab的最小值为4.答案:49.已知a0,b0,c0,且a+b+c=1.求证:( 1a-1)( 1b-1)(1c-1)8.证明:因为a+b+c=1,a0,b0,c0,所以1a-1=a+b+ca-1=b+ca2bca0,1b-1=a+
5、b+cb-1=a+cb2acb0,1c-1=a+b+cc-1=a+bc2abc0,将以上三式相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)8abbcacabc=8.10.对于题目:已知m0,n0,且mn=1,求A=m+2n+4m+2n的最小值.同学甲的解法:因为m0,n0,所以4m0,2n0,从而m+2n+4m+2n=(m+4m)+(2n+2n)2m4m+22n2n=8.所以A的最小值为8.同学乙的解法:因为m0,n0,所以m+2n+4m+2n=m+2n+2(m+2n)mn=3(m+2n)6m2n=62.当且仅当m=2n=2 时,等号成立.所以A的最小值为62.(1)请对两名同学的解法正确性作出评
6、价;(2)为巩固学习效果,老师布置了另外一道题,请你解决:已知a0,b0,且(a+1)(b+2)=6,求B=a+b+6a+1+12b+2的最小值.解:(1)甲错误,乙正确,甲同学连续两次运用均值不等式,取等号的条件为m=2,n=1,则mn=21,故不能保证可以同时取“=”.(2)B=a+b+6b+12+12a+12(a+1)(b+2)=a+b+b+2a+4=3a+2b+4=3(a+1)+2(b+2)-326(a+1)(b+2)-3=9,当且仅当3(a+1)=2(b+2),(a+1)(b+2)=6,即a=1,b=1时,取“=”.故B的最小值为9.应用创新11.(多选题)(2021湖南长沙高一开学
7、考试)已知x+y=1,y0,x0,则12|x|+|x|y+1的值可能是(BCD)A.23 B.1 C.34 D.54解析:由x+y=1,y0,x0,得y=1-x0,则x1,且x0.当0x1时,12|x|+|x|y+1=12x+x2-x=x+2-x4x+x2-x=14+2-x4x+x2-x14+22-x4xx2-x=54,当且仅当2-x4x=x2-x,即x=23时,取等号.当x0时,12|x|+|x|y+1=1-2x+-x2-x=2-x+x-4x+-x2-x=-14+2-x-4x+-x2-x-14+22-x-4x-x2-x=34,当且仅当2-x-4x=-x2-x,即x=-2时,取等号.综上,12
8、|x|+|x|y+134.故选BCD.12.甲、乙两地相距1 000 km,某货车从甲地匀速行驶到乙地,速度为v km/h(不得超过120 km/h).已知该货车每小时的运输成本m(单位:元)由可变部分y1和固定部分y2组成:可变部分与速度v(单位:km/h)的关系是y1=1100v2;固定部分y2为81元.(1)根据题意可得,货车每小时的运输成本m=,全程行驶的时间为t=;(2)求该货车全程的运输总成本与速度v的函数解析式;(3)为了使全程的运输总成本最小,该货车应以多大的速度行驶?解:(1)1100v2+81;1 000v.(2)货车全程的运输总成本为y=mt=(y1+y2)1 000v=(1100v2+81)1 000v=10v+81 000v(0v 120).(3)y=10v+81 000v210v81 000v=1 800,当且仅当10v=81 000v,即v=90时,全程的运输总成本最小,所以为了使全程的运输总成本最小,该货车应以90 km/h的速度行驶.