1、8.3列联表与独立性检验8.3.1 分类变量与列联表例1 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88名学生通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名数学成绩优秀试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异解：用表示两所学校的全体学生构成的集合考虑以为样本空间的古典概型对于中每一名学生，定义分类变量X和Y如下：我们将所给数据整理成表8.3-2表8.3-2 单位：人学校数学成绩合计不优秀（）优秀（）甲校（）331043乙校（）38745合计711788表8.3-2是关于分类变量X和Y的抽样数据的列联表：最后一行的前两个数分别是事件
2、和的频数；最后一列的前两个数分别是事件和的频数；中间的四个格中的数是事件的频数；右下角格中的数是样本容量因此，甲校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为和；乙校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀频率分别为和我们可以用等高堆积条形图直观地展示上述计算结果，如图8.3-1所示图8.3-1在图8.3-1中，左边的蓝色和红色条的高度分别是甲校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率；右边的翥色和红色条的高度分别是乙校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率通过比较发现，两个学校学生抽样数据中数学成绩优秀的频率存在差异，甲校的频率明显高于乙校的频率依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断也就是说，
3、如果从甲校和乙校各随机选取一名学生，那么甲校学生数学成绩优秀的概率大于乙校学生数学成绩优秀的概率因此，可以认为两校学生的数学成绩优秀率存在差异，甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高练习1. 成语“名师出高徒”可以解释为“知名老师指导出高水平学生的概率较大”，即教师的名声与学生的水平之间有关联你能举出更多的描述生活中两种属性或现象之间关联的成语吗？【答案】答案见解析.【解析】【分析】先分析教师的水平与学生的水平成正相关关系，再根据相关关系的定义举例子即.【详解】成语“名师出高徒”的意思说有名的教师一定能教出高明的徒弟，通常情况下，高水平的教师有很大的趋势教出高水平的学生，所以教师的水平与学生的
4、水平成正相关关系，生活中这样的成语有很多，如龙生龙，凤生凤，老鼠的孩子会打洞、虎父无犬子、心宽体胖等.2. 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88名学生通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名数学成绩优秀试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异.【答案】两校学生数学成绩优秀率之间存在差异，甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高.【解析】【分析】分别求出甲校和乙校所抽取的样本的优秀率，依据频率稳定于概率的原理，用样本情况去估计总体，得到答案.【详解】甲校抽取的43名学生中有10名数学成绩优秀，所以甲校数学成绩的优秀的频
5、率为，乙校抽取的45名学生中有7名数学成绩优秀，所以乙校数学成绩的优秀的频率为，甲校的频率明显高于乙校的频率，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断，如果从甲校和乙校各随机抽取一名学生，那么甲校学生的数学成绩优秀的概率大于乙校学生的数学成绩优秀的概率，因此，可以认为两校学生数学成绩优秀率之间存在差异，甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高.3. 根据有关规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语那么：（1）吸烟是否对每位烟民一定会引发健康问题？（2）有人说吸烟不一定引起健康问题，因此可以吸烟这种说法对吗？【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据概率的定义说明（2
6、）根据概率的定义说明【小问1详解】“吸烟有害健康”的这个警示语只是说明吸烟有可能对健康有害，但不一定会对每位烟民引发健康问题【小问2详解】“吸烟不一定引起健康问题”只是说可能对某些人不会引起健康问题，不是说可以吸烟因此这种说法不对4. 假设在本小节“问题”中，只是随机抽取了44名学生，按照性别和体育锻炼情况整理为如下的列联表：单位：人性别锻炼合计不经常经常女生51520男生61824合计113344（1）据此推断性别因素是否影响学生锻炼的经常性；（2）说明你的推断结论是否可能犯错，并解释原因【答案】（1）性别因素不会影响学生锻炼的经常性，理由见解析. （2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由
7、列联表分别求出女生和男生中经常体育锻炼的概率即可判断；（2）由样本的随机性和样本容量分析即可.【小问1详解】由列联表可知：女生中经常体育锻炼的概率为，不经常体育锻炼的概率为，男生中经常体育锻炼的概率为，不经常体育锻炼的概率为，由于男生和女生经常体育锻炼的概率都为，所以性别因素不会影响学生锻炼的经常性.【小问2详解】因为样本具有随机性，并且由样本估计总体时，样本容量较小，犯错误概率较大.8.3.2 独立性检验例2 依据小概率值的独立性检验，分析例1中的抽样数据，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？解：零假设为：分类变量X与Y相互独立，即两校学生的数学成绩优秀率无差异根据表8.3-2中的数
8、据，计算得到根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断出不成立，因此可以认为成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异例3 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名试根据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好解：零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异将所给数据进行整理，得到两种疗法治疗数据列联表，如表8.3-5表8.3-5 单位：人疗法疗效合计未治愈治愈甲155267乙66369合计211
9、15136根据列联表中的数据，经计算得到根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两种疗法效果没有差异例4 为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了9965人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表8.3-6所示依据小概率值的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险 表8.3-6 单位：人吸烟肺癌合计非肺癌患者肺癌患者非吸烟者7775427817吸烟者209949 2148合计9874919965解：零假设为：吸烟与患肺癌之间无关联根据列联表中的数据经计算得到根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为吸烟与患肺癌有关联
10、，此推断犯错误的概率不大于0.001根据表8.3-6中的数据计算，不吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为和；吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为和由可见，在被调查者中，吸烟者患肺癌的频率是不吸烟者患肺癌的频率的4倍以上于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为吸烟者患肺癌的概率明显大于不吸烟者患肺癌的概率，即吸烟更容易引发肺癌练习5. 为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了9965人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示采用小概率值的独立性检验，能否认为吸烟与患肺癌有关？单位：人吸烟肺癌合计非肺癌患者肺癌患者非吸烟者7775427817吸烟者209
11、949 2148合计9874919965【答案】能认为吸烟与患肺癌有关【解析】【分析】根据已知条件，结合独立性检验公式，求得，即可得出结论.【详解】解：因为，所以采用小概率值的独立性检验，能认为吸烟与患肺癌有关.6. 根据同一抽查数据判断两个分类变量之间是否有关联，应用不同的小概率值，是否会得出不同的结论？为什么？【答案】【解析】7. 为考查某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）药物疾病合计未患病患病未服用服用合计依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性附：临界值表：【答案】没有的把认为药物对预防疾病有效果.【解析】【分析】计
12、算出的观测值，结合临界值表可得出结论.【详解】，因此，没有的把认为药物对预防疾病有效果.8. 从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：单位：人数学成绩语文成绩合计不优秀优秀不优秀21261273优秀5473127合计266134400依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？【答案】依据的独立性检验，能认为数学成绩与语文成绩有关联【解析】【分析】根据已知条件，结合独立性检验公式，即可得出结论.【详解】解：因为,所以依据的独立性检验，能认为数学成绩与语文成绩有关联.习题 8.3复习巩固9. 为什么必须基于成对样本数据推断两个分
13、类变量之间是否有关联？【答案】答案见解析【解析】【分析】根据分类变量的定义以及研究两个分类变量是否有关联的原理即可求解.【详解】分类变量的取值常用和表示，不是真的取值，是用来分类的，表现为互不相容的类别或属性，而我们讨论的是取值于的分类变量的关键性问题，所以必须基于成对样本数据推断两个分类变量之间是否有关联.10. 为什么独立性检验方法不适用于普查数据？【答案】答案见解析【解析】【分析】根据独立性检验的特点可得出结论.【详解】独立性检验的结论是一个数学统计量，是用样本估计总体，虽能较为真实地反映出总体的情况，但它与实际问题的确定性是允许存在差异的，因为它实质上是一种统计关系，而不是一个确定的关
14、系，故独立性检验的方法不适用于普查数据.11. 等高堆积条形图在两个分类变量之间关联性的研究中能够起到什么作用？【答案】答案见解析【解析】【分析】分析等高堆积条形图的优点和作用即可.【详解】能够通过等高堆积条形图给出两个分类变量关联性的直观表示，数形结合更易帮助理解变量的关联性问题.12. 对于已经获取的成对样本观测数据，检验结论“两个变量之间有关联”的实际含义是什么？检验结论“两个变量之间没有关联”的实际含义又是什么？【答案】“两个变量之间有关联”的实际含义是“两个变量之间有关系”； “两个变量之间没有关联”的实际含义是“两个变量之间无关系，相互独立”.【解析】【分析】根据独立性检验的概念和
15、基本思想回答即可.【详解】设事件和事件，发生事件的概率为，发生事件的概率为，“两个变量之间有关联”的实际含义是“两个变量之间有关系”， 简单说来就是事件的发生或不发生影响事件的发生或不发生，随机变量的值大，对于一个实际测得的，则是比临界值大；“两个变量之间没有关联”的实际含义是“两个变量之间无关系，相互独立”，简单说来就是事件的发生或不发生并不影响事件的发生或不发生，即，随机变量的值小，对于一个实际测得的，则是比临界值小.综合运用13. 为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的问题，得到某中学高三年级学生的性别和身高的所有观测数据所对应的列联表如下：单位：人性别身高合计低于170c
16、m不低于170cm女811697男2875103合计10991200请画出列联表的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联如果结论是性别与身高有关联，请解释它们之间如何相互影响【答案】见解析【解析】【分析】根据表中数据即可画出列联表的等高堆积条形图，分别求出男生、女生身高低于，不低于的频率，通过比较即可得到结论.【详解】解：等高堆积条形图如图所示，女学生身高低于，不低于的频率分别为，男学生身高低于，不低于的频率分别为，通过比较发现，如果从女生、男生中各随机选取一名学生，女生中身高低于的概率大于男生中身高低于的概率，故高三年级学生的性别和身高有关联，又，故女生中身高低于的频率
17、是男生中身高低于的频率的3倍以上，所以女生身高更容易低于.6第5题中的身高变量是数值型变量还是分类变量？为什么？7从第5题的高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，得到性别和身高变量的样本观测数据所对应的列联表如下：单位：人性别身高合计低于170cm不低于170cm女14721男81119合计221840（1）依据的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联？解释所得结论的实际含义（2）得到的结论与第5题的一致吗？如果不一致，你认为原因是什么14. 调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下的列联表：单位：人性别出生时间合计晚上白天女243155男82634
18、合计325789依据的独立性检验，能否认为性别与出生时间有关联？解释所得结论的实际含义【答案】在犯错的概率不超过0.1的前提下可以认为性别与出生时间有关联.【解析】【分析】根据题目所给的数据，计算，对照参数即可下结论.【详解】由题意得的观测值为：，在犯错的概率不超过0.1的前提下可以认为性别与出生时间有关联.拓广探索15. 单位：人学校数学成绩合计不优秀优秀甲校乙校合计对列联表中的数据，依据的独立性检验，我们已经知道独立性检验的结论是学校和成绩无关如果表中所有数据都扩大为原来的倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因附：临界值表：【答案】答案见解析【解析】【分析】列出数据扩大倍的列联表，计算出的观测值，结合独立性检验的基本思想可出结论.【详解】数据扩大倍的列联表为：学校数学成绩合计不优秀优秀甲校乙校合计假设学校与数学成绩无关，由列联表数据得，根据小概率值的独立性检验，我们推断假设不成立，即认为学校与数学成绩有关，又因为甲校成绩优秀和不优秀的概率分别为，乙校成绩优秀和不优秀的概率分别为，又因为，所以，从甲校、乙校各抽取一个学生，甲校学生数学成绩优秀的概率比乙校学生优秀的概率大.所以，结论不一样，不一样的原因在于样本容量，当样本容量越大时，用样本估计总体的准确性会越高.