1、7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1 离散型随机变量的均值例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分如果某运动员罚球命中的概率为0.8那么他罚球1次的得分X的均值是多少？分析：罚球有命中和不中两种可能结果，命中时，不中时，因此随机变量X服从两点分布X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平解：因为，所以即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值分析：先求出X的分布列，再根据定义计算X的均值解：X的分布列为，2，3，4，56因此，例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名某嘉宾
2、参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示表7.3-3歌曲AB：C猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值分析：根据规则，公益基金总额X的可能取值有四种情况：猜错A，获得0元基金；猜对A而猜错B，获得1000元基金；猜对A和B而猜错C，获得3000元基金；A，C全部猜对获得6000元基金，因此X是一个离散型随机变量，利用独立条件下的乘法公式可求分布列解：分别用A，B，C表示猜
3、对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相互独立，X的分布列如表7.3-4所示表7.3-4X0100030006000P0.20.320.2880.192X的均值为例4 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60600元，遇到小洪水时要损失10000元为保护设备，有以下3种方案：方案1 运走设备，搬运费为3800元；方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；方案3 不采取措施工地的领导该如何决策呢？分析：决策目标为总损失（即投入费用与设备损失之和）越小越好根据题意，各种方案在不同状态下的总损
4、失如表7.3-5所示7.3-5天气状况大洪水小洪水没有洪水概率0.010.250.74总损失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为，采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元因此，采用方案2，遇到大洪水时，总损失为元；没有大洪水时，总损失为2000元因此，采用方案3，于是，因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2练习1. 已知随机变量X的分布列为：X12345P0.10.30.40.10.1（1）求；（2）求【答案】（1）；（2）【解
5、析】【分析】（1）根据期望的公式求出即可（2）根据期望的性质计算可得；【详解】解：（1）依题意可得（2）2. 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得分，求得分X的均值【答案】0【解析】【分析】根据题意，得分，求出对应的概率，再求出均值【详解】根据题意，得分，故即得分X的均值为0.3. 甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1h内生产出的次品数分别为，其分布列分别为：甲机床次品数的分布列0123P0.40.30.20.1乙机床次品数的分布列012P0.30.50.2哪台机床更好？请解释你所得出结论的实际含义？【答案】乙机床更好【解析】【分析】分别求两组数据的期望和方差，比较大
6、小即可得到结论.【详解】易知，乙机床数据的期望较小，即乙级床次品的平均数少；， ，乙机床数据的方差较小，即乙级床产品更稳定，所以乙级床更好.7.3.2 离散型随机变量的方差例5 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差解：随机变量X的分布列为，3，4，5，6因为，所以例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表7.3-9和表7.3-10所示表7.3-9股票A收益的分布列收益X/元02概率0.10.30.6 表7.3-10股票B收益分布列收益Y/元012概率0.30.40.3（1）投资哪种股票的期望收益大？（2）投资哪种股票的风险较高？分析：股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量
7、的均值投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下，可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低解：（1）股票A和股票B投资收益的期望分别为，因为，所以投资股票A期望收益较大（2）股票A和股票B投资收益的方差分别为，因为和相差不大，且，所以投资股票A比投资股票B的风险高练习4. 已知随机变量X的分布列为：X1234P0.20.30.40.1求和【答案】,【解析】【分析】先计算出，即可计算出，即可计算，则可计算出.【详解】由题意知：.所以.,.5. 若随机变量X满足，其中c为常数，求【答案】0【解析】【分析】先求出,即可求出.【详解】因为随机变量
8、X满足，其中c为常数.所以，所以.6. 甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差（精确到1cm）X和Y的分布列如下：甲班的目测误差分布列X012P0.10.20.40.20.1乙班的目测误差分布列Y012P0.050.150.60.150.05先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断【答案】的分布离散程度大，.【解析】【分析】先根据表格数据直观判断的分布哪一个离散程度更大，然后求解出，再根据方差的计算公式分别求解出并验验证判断即可.【详解】因为，所以，因为，所以的分布离散程度大，所以判断合理.习题7.3复习巩固7. 某品牌手机投放市场，每部手机可能
9、发生按定价售出、打折后售出、没有售出而收回三种情况按定价售出每部利润100元，打折后售出每部利润0元，没有售出而收回每部利润元据市场分析，发生这三种情况的概率分别为0.6，0.3，0.1.求每部手机获利的均值和方差【答案】30；14100【解析】【分析】根据离散型随机变量的均值与方差的概念可直接求解.【详解】每部手机获利的均值为，每部手机获利的方差为.8. 现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张1张彩票可能中奖金额的均值是多少元？【答案】2元【解析】【分析】求出1张彩票可能中奖金额的分
10、布列，再求均值【详解】由题意，设表示1张彩票中奖的金额，则，所以的分布列为： 021050 100 1000 0.85450.1 0.03 0.01 0.005 0.0005 ，即1张彩票可能中奖金额的均值是2元9. 随机变量X的分布列为，若，求a和b【答案】0.6；0.2【解析】【分析】根据概率之和为1及期望列出方程求解即可.【详解】由题意知，解得即a和b分别为.10. 在单项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有一个选项正确如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25请给选对和选错分别赋予合适的分值，使得随机选择时得分的均值为0【答案】选对赋予3分，选错赋予-1分（答案不唯一）【解析】【
11、分析】根据随机变量的均值概念列出方程，然后解方程即可.【详解】设选对赋予分，选错赋予分，则有，取，则，即选对赋予3分，选错赋予-1分即可.11. 证明：【答案】证明见解析【解析】【分析】由离散型随机变量分布列得到均值性质，然后证明结果.【详解】证明：设离散型随机变量X的分布列为：设（a，b为常数），则Y也是离散型随机变量，Y的分布列为：Y由均值的性质可得，综合运用12. 有A和B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元，规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道如果猜谜顺序由张某选择，他应该选择先猜哪一道谜语？【答案】先
12、猜谜A【解析】【分析】分别求出先猜谜A和先猜谜B，所得到的奖金的期望值，再根据期望作决策；【详解】解：如果他先猜谜A，那么他将有的概率得0元，有概率得10元，有概率得30元，此时，他的奖金期望是；如果他先猜谜B，那么他的奖金期望是因为，所以他最好先猜谜A，13. 甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y（单位：s），其分布列为：甲品牌的走时误差分布列X01P0.10.80.1乙品牌的走时误差分布列Y012P0.10.20.40.20.1试比较甲、乙两种品牌手表的性能【答案】甲的质量更稳定【解析】【分析】由分布列可得，进而可得和，比较其大小可得答案【详解】由题意可得，同理可得，故可得由
13、于，故甲的质量更稳定些，拓广探索14. 设，a是不等于的常数，探究X相对于的偏离程度与X相对于a的偏离程度的大小，并说明结论的意义【答案】X相对于的偏离程度小于X相对于a的偏离程度，X相对于的偏离程度（即的方差）是相对于任意常数a的偏离程度中最小的，从而方差能很好的反映一组数据的集中与离散程度.【解析】【分析】由方差的公式结合作差法比较大小即可.【详解】设取的概率为，又，所以X相对于的偏离程度为，X相对于a的偏离程度为，又因为，所以，即X相对于的偏离程度小于X相对于a的偏离程度，结论的意义：X相对于的偏离程度（即的方差）是相对于任意常数a的偏离程度中最小的，从而方差能很好的反映一组数据的集中与离散程度.