1、6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表6.1-1 表6.1-1A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学二物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？分析：要完成的事情是“选一个专业”因为这名同学在A，B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数
2、原理，这名同学可能的专业选择种数例2 某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可以分两个步骤：第1步，选男生；第2步：选女生解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法；第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书（1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？（2）从书架第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？分析：（1）要完成的一件事是“
3、从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；（2）要完成的一件事是“从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成解：（1）从书架上任取1本书，有三类方案：第1类方案是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方案是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方案是从第3层取1本体育书，有2种方法根据分类加法计数原理，不同取法的种数（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法根据分步乘法计数原理，不同取法的种数练习1
4、. 填空题（1）一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是_；（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是_【答案】 . . 【解析】【分析】（1）用加法计数原理进行求解即可；（2）用乘法计数原理进行求解即可.【详解】（1）因为一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，所以从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是：；（2）因为从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，所以从A村经B村去C村，不同路线的
5、条数是：，故答案为：；2在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，那么A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为这种算法有什么问题？2. 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法？【答案】（1）种；（2）种；【解析】【分析】（1）按照分类加法计数原理计算可得；（2）按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书（1）从书架上任取1本书，则有种取法；（2）从书架上任
6、取数学书和语文书各1本，则有种取法；3. 现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名（1）从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？（2）从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？【答案】（1）12；（2）60.【解析】【分析】（1）由分类加法计数原理运算即可得解；（2）由分步乘法计数原理运算即可得解.【详解】从高一年级的学生中选取1名，有3种选法；从高二年级的学生中选取1名，有5种选法；从高三年级的学生中选取1名，有4种选法；（1）从三个年级的学生中任选1人参加活动，共有种不同选法；（2）从三个年级的学生中各选1人参加活动，
7、共有种不同选法.例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？分析：要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两边墙上”；可以分步完成解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法：第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法根据分步乘法计数原理不同挂法的种数6种挂法如图6.1-2所示 图6.1-2例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母AG或UZ，后两个字符要求用数字1-9，最多可以给多少个程序模块命名？分析：要完成的一件事是“给一
8、个程序模块命名”，可以分三个步骤完成：第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符而首字符又可以分为两类解：由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为后两个字符从19中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9由分步乘法计数原理，不同名称的个数是，即最多可以给1053个程序模块命名例6 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制
9、位构成（1）1个字节（8位），最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？分析：（1）要完成的一件事是“确定1个字节各二进制型上的数字”由于每个字节有8个二进制位，每 位上的值都有0，1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解；（2）只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于6763个即可解：（1）用图6.1-3表示1个字节 图6.1-31个字节共有8位，每位上有2种选择根据分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示不同字符的个数是（2）由（1）知，1个字节所能表
10、示的不同字符不够6763个，我们考虑2个字节能够表示多少个字符前1个字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256种表示方法根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示不同字符的个数是这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6763因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示练习4. 某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是09之间的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个？【答案】10000【解析】【分析】后四位数字都是0到9之间的一个数字，每一位都有10种选择方法，根据分步计数原理可得【详解】解：后四位数字都是0到9之间的一个数字，每一位
11、都有10种选择方法，故有个故这个电话局不同的电话号码最多有10000个5. 从5名同学中选出正、副组长各1名，有多少种不同的选法？【答案】20种选法【解析】【分析】从5人中依次选出正、副组长，由分步乘法计数原理即可得解.【详解】先从5人中选出一名组长，共有5种选法，再从剩下的4人中选出一名副组长，共有4种选法，所以从5名同学中选出正、副组长各1名，共有种选法.6. 从1，2，19，20中任选一个数作被减数，再从1，2，10中任选一个数作减数，然后写成一个减法算式，共可得到多少个不同的算式？【答案】【解析】【分析】根据分步乘法计数原理直接求解出不同算式的个数.【详解】第一步：从中选一个数作为被减
12、数，有种选法；第二步：从中选一个数作为减数，有种选法，所以写成的减法算式共有：个，故可得个不同的算式.7. 在1，2，500中，被5除余2的数共有多少个？【答案】【解析】【分析】依题意这些数构成以2为首项，以5为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式计算可得；【详解】解：因为在1，2，500中，被5除余2的数有，这些数构成以2为首项，以5为公差的等差数列，设一个有个数，所以，解得故共有个8. 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字可以重复）？【答案】125种【解析】【分析】由百位、十位和个位上的数字均有5种选法，结合分步乘法计数原理即可得解.【详解】由题意，百位、十位和个位
13、上的数字均有5种选法，所以由数字1，2，3，4，5可以组成个三位数.例7 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据一般地，一个程序模块由许多子模块组成如图6.1-4，这是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径？另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？ 图6.1-4分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束而第1步可由子模块L子模块2、子模块3中任何一个来完成；第2步可由
14、子模块子模块5中任何一个来完成因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理解：由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为；子模块4、子模块5中的子路径条数共为又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常总共需要的测试次数为再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为如果每个子模块都工作正常，并且
15、各个子模块之间的信息交流也正常那么整个程序模块就工作正常这样，测试整个模块的次数就变为显然，178与7371的差距是非常大的例8 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成，第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号（如图6.1-5） 图6.1-5其中，序号的编码规则为：（1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；（2）最多只能有2个英文字母如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？分析：由号牌编号的组成可知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌数按序号编码
16、规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，并且可将序号分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母以字母所在位置为分类标准，可将有1个字母的序号分为五个子类，将有2个字母的序号分为十个子类解：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母（1）当没有字母时，序号的每一位都是数字，确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为（2）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类当
17、第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位有24种选法；第25步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法根据分步乘法计数原理，号牌张数为同样，其余四个子类号牌也各有240000张 根据分类加法计数原理；这类号牌张数，共为（3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中字母和数字：第12步都是从2
18、4个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第35步都是从10个数字中选1个放在相流的位置，各有10种选法根据分步乘法计数原理，号牌张数为，同样，其余九个子类号牌也各有576000张 于是，这类号牌张数一共为综合（1）（2）（3），根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为练习9. 乘积展开后共有多少项？【答案】45项【解析】【分析】由多项式的乘法法则结合分步乘法计数原理即可得解.【详解】根据多项式的乘法法则，展开后每一项均是从中各取1项相乘得到，所以展开后的项数为项.10. 在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的有多少个?【答案】【解析】【分析】利用分类加法计
19、数原理分别考虑当十位是时满足要求的两位数的个数，将所得两位数的个数相加即可求得结果.【详解】当十位是时，个位可以是，共个当十位是时，个位可以是，共个，当十位是时，个位可以是，共个，当十位是时，个位可以是，共个，当十位是时，个位可以是，共个，当十位是时，个位可以是，共个，当十位是时，个位可以是，共个，当十位是时，个位可以是，共个，当十位是时，个位可以是，共个，所以符合要求的两位数一共有：个，故个位数字小于十位数字的两位数有个.11. 某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，那么共有多少种不同的进出商场的方式？【答案】【解析】【分析】由于某人从其中的任意一个门进
20、入商场，因此从6个门中任选一个可有种不同的方法，要求从其他的剩余的5个门出去，可有种不同的方法，再利用乘法原理即可得出【详解】解：由题意可得：共有种不同的进出商场的方式，故有30种不同的进出商场的方式12. 任意画一条直线，在直线上任取n个分点（1）从这n个分点中任取2个点形成一条线段，可得到多少条线段？（2）从这n个分点中任取2个点形成一个向量，可得到多少个向量？【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）组合问题；（2）排列问题.【详解】（1）因为线段与端点的顺序无关，所以从这个分点中任取2个点可形成的线段共条；（2）因为向量与端点的顺序有关，所以从这个分点中任取2个点可形成的向量共个.
21、习题6.1复习巩固13. 一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品有4种，外地的产品有7种要买1台这种型号的电视机，有多少种不同的选法？【答案】11种【解析】【分析】由分类加法计数原理计算即可得解.【详解】由题意，购买本地产品的选法有4种，购买外地产品的选法有7种，所以购买1台这种型号的电视机，共有种不同的选法.14. 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路从甲地到丁地共有多少条不同的路线？【答案】14种【解析】【分析】按照甲地经乙地到丁地、甲地经丙地到丁地分类，结合分类加法、分步乘法计数原理即可得解.【详解】如果由甲地经乙地到丁地，则
22、有种不同的路线；如果由甲地经丙地到丁地，则有种不同的路线；因此，从甲地到丁地共有种不同的路线.15. 如图，要让电路从A处到B处接通，可有多少条不同的路径？【答案】8条【解析】【分析】分上线路、中线路、下线路讨论，结合分类加法计数原理即可得解.【详解】如果电路从上线路接通，共有3条路径；如果电路从中线路接通，共有1条路径；如果电路从下线路接通，共有条路径；所以要让电路从A处到B处接通，共有条不同的路径.16. 用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构成多少个不同的分数？可构成多少个不同的真分数？【答案】16个不同的分数；真分数有10个.【解析】【分析】
23、由分子、分母的选择个数及分步乘法计数原理可得分数的个数；按照分子取值分类，结合分类加法计数原理即可得真分数得个数.【详解】从1，5，9，13中的任选一个数作分子，4，8，12，16中任选一个数作分母，可构成个不同的分数；由真分数的定义，若1为分子，分母有4种选择；若5为分子，分母有3种选择；若9为分子，分母有2种选择；若13为分子，分母有1种选择；所以真分数共有个.17. 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同从两个袋子中分别取1个球，共有多少种不同的取法【答案】【解析】【分析】分两步进行，两步的结果相乘即可求解【详解】解：分两步进行：第一个口袋内取一个球
24、有5种取法，另一个口袋内取一个球有6种取法；从两个口袋内分别取1个小球，共有：种取法18. （1）在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在内取值的不同点共有多少个？（2）在平面直角坐标系内，斜率在集合内取值，y轴上的截距在集合内取值的不同直线共有多少条？【答案】（1）36；（2）16【解析】【分析】（1）利用分步乘法计数原理，根据横，纵分别坐标来取值，最后相乘即可（2）根据题意，分析直线的斜率、在轴上的截距的选法数目，由分步计数原理计算可得答案【详解】解：（1）先取横坐标有6种取法；再取纵坐标也有6种取法；故共有种结果；即对应的点有36个（2）根据题意，直线的斜率在集合，3，5，内取值，有4种情
25、况，在轴上的截距在集合，4，6，内取值，有4种情况，则直线有条综合运用19. 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有09共10个数字现最后一个拨号盘出现了故障，只能在05这6个数字中拨号，这4个拨号盘可组成多少个四位数字号码？【答案】6000个【解析】【分析】由每个拨号盘可选的数字个数结合分步乘法计数原理即可得解.【详解】前3个拨号盘均有10个数字可选，第4个拨号盘有6个数字可选，所以这4个拨号盘可组成个四位数字号码.20. （1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队不同报法的种数是还是？（2）3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同选法的种数是还是？【
26、答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）让4名同学去选择运动队，结合分步乘法计数原理即可得解；（2）让3个班去选择景点，结合分步乘法计数原理即可得解.【详解】（1）让4名同学去选择运动队，每人均有3种选择，所以不同报法的种数为；（2）让3个班去选择景点，每个班有5种选择，所以不同选法的种数是.21. （1）从5件不同的礼物中选出4件送给4位同学，每人一件，有多少种不同的送法？（2）有5个编了号的抽屉，要放进3本不同的书，不同的放法有多少种？（一个抽屉可放多本书）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接根据排列数计算可得；（2）分为三本书都放入一个抽屉，三本书放入两个抽屉，三本书放入
27、三个抽屉，三种情况讨论，根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：（1）从5件不同的礼物中选出4件送给4位同学，每人一件，则共有种方法；（2）有5个编了号的抽屉，要放进3本不同的书，因为一个抽屉可放多本书，三本书都放入一个抽屉，则只需要一个抽屉，有（种）三本书放入两个抽屉，一个抽屉1本，一个抽屉2本，首先从三本书中选出两本书有种，再两份书放到2个抽屉中有种，按照分步乘法计数原理可得有（种）三本书放入三个抽屉，则有（种）最后按照分类加法计数原理可得一共有（种）22. 口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球.（1）正好是白球、红球各一个的取法有多少
28、种？（2）正好是两个白球的取法有多少种？（3）至少有一个白球的取法有多少种？（4）两球的颜色相同的取法有多少种？【答案】（1）80；（2）28；（3）108；（4）73.【解析】【分析】（1）由分步乘法即可得解；（2）利用组合的知识运算即可得解；（3）分为白球、红球各一个和两个全是白球，结合分类加法即可得解；（4）分为两球全是白球和两球全是红球，结合分类加法、组合即可得解.【详解】（1）取出1个白球，有8种取法；取出1个红球，有10种取法；所以取出两个球正好是白球、红球各一个的取法有种；（2）取出两个球正好是两个白球的取法有种；（3）至少有一个白球分为白球、红球各一个和两个全是白球，共有种取法
29、；（4）两球的颜色相同分为两球全是白球和两球全是红球，两球全是红球的选法有种，所以两球的颜色相同的取法有种.拓广探索23. 在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，有多少种可能的安排方法？【答案】326592种【解析】【分析】分析出每天的选法数，结合分步乘法计数原理即可得解.【详解】第一天，每个人均可选，有7种选法；从第二天至第七天，选出的人只需与前一天不同即可，均有6种选法；所以符合题意的安排方法共有种.24. 2160有多少个不同的正因数？【答案】40【解析】【分析】对2160分解因数，转化2160的正因数，结合参数的取值及分步乘法计数原理即可得解.【详解】由题意，则2160的正因数，因为可取0，1，2，3，4；可取0，1；可取0，1，2，3；所以2160有个不同的正因数.