1、7.4二项分布与超几何分布7.4.1二项分布例1将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：（1）恰好出现5次正面朝上的概率；（2）正面朝上出现的频率在内的概率.分析：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验.因此，正面朝上的次数以从二项分布.解：设“正面朝上”，则.用X表示事件A发生的次数，则.（1）恰好出现5次正面朝上等价于，于是；（2）正面朝上出现的频率在内等价于.于是.例2如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下
2、落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果.设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果，且概率都是0.5.在下落的过程中，小球共碰撞小木钉10次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这是一个10重伯努利试验.小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，因此X服从二项分布.解：设“向右下落”，则“向左下落”，且.因为小球最后落入格子号码X等于事件A发生的次数，而小球在下
3、落的过程中共碰撞小木钉10次，所以.于是，X的分布列为，1，2，10.X的概率分布图如图所示.例3甲乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更看利？分析：判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中用最终获胜的概率大.可以把“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率；也可以假定赛完所有n局，把n局比赛看成n重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”的概率.解法1：采用3局2制，甲最终获胜有两种可能的比分20或21，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲乙各胜一局且第3局甲
4、胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为.类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分30，31或32.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为.解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则.甲最终获胜的概率为.采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则.甲最终获胜的概率为.因为，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.练习1. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数.（1）求X的分布列；（2）_，_.【答案】（1）分布列见解析；（2）；.【解析】【分析】（1）由已知可得随机
5、变量，根据二项分布的概率，即可求出分布列；（2）利用二项分布的期望和方差公式，即可求出结论.【详解】（1）一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为，且每次是否正面朝上是相互独立，所以，所以X的分布列为：（2）根据（1），所以.2. 鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求：（1）没有鸡感染病毒的概率；（2）恰好有1只鸡感染病毒的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用二项分布的概率计算公式即可求解.（2）利用二项分布的概率计算公式即可求解.【详解】（1）由题意可得鸡接种一种疫苗后，感染某种病毒的概率为，没有鸡感染病毒为事件，则.（2）恰好有1只鸡感染
6、病毒为事件，3. 判断下列表述正确与否，并说明理由：（1）12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数；（2）100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数.【答案】(1)表述正确，理由见解析; (2)表述错误，理由见解析.【解析】【分析】（1）每一道题猜对答案的概率均为0.25,则相当于进行12次独立重复试验，故符合二项分布的概念；（2）不放回的随机抽取，概率不同，不符合二项分布的概念.【详解】(1)该表述正确，理由如下:12道四选一的单选题,随机猜结果，则每一道题猜对答案的概率均为0.25,则相当于进行12次独立重复试验，故猜对答案的题目数X B (12, 0.25
7、).(2)该表述错误，理由如下:因为是不放回的随机抽取，所以上一次抽取的结果对本次抽取有影响，故不能看成独立重复试验，故次品数Y不符合二项分布.4. 举出两个服从二项分布的随机变量的例子.【答案】例子见解析.【解析】【分析】二项分布应满足如下3个条件：在每次试验中只有2种可能的结果，而且两种结果发生与否互相独立；相互独立，与其它各次试验结果无关；事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变.从而举出实例即可.【详解】例（1）：某同学投篮命中率为0.7，他在10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，服从二项分布，；例（2）：抛硬币，正面向上的概率为0.5，则抛20次，证明向上的次数X是一个随机变
8、量，服从二项分布，；7.4.2超几何分布例4从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则X服从超几何分布，且，.因此甲被选中的概率.例5一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.解：设抽取的10个零件中不合格品数为X，则X服从超几何分布，且，.X的分布列为，1，2，3.至少有1件不合格的概率为.也可以按如下方法求解；.例6一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.（1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求
9、X的分布列；（2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率：分析：因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利和试验.摸出20个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，；上采用不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布.解：（1）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此，X的分布列为，1，2，20.对于不放回摸球，各次试验结果不独立，X服从超几件分布，X的分布列为，1，2，20.（2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到0.0001），如7.4-2所示.表7.4-2kk00.
10、000040.00001110.070990.0637610.000490.00015120.035500.0266720.003090.00135130.014560.0086730.012350.00714140.004850.0021740.034990.02551150.001290.0004150.074650.06530160.000270.0000660.124410.12422170.000040.0000170.165880.17972180.000000.0000080.179710.20078190.000000.0000090.159740.17483200.00000
11、0.00000100.117140.11924样本中黄球的比例是一个随机变量，根据表7.4-2，计算得有放回摸球：.不放回摸球：.因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些.两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布.虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图（如图）看，超几何分布更集中在均值附近.练习5. 一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率.【答案】【解析】【分析】先求出无奖券的有20罐，利用对立事件求概率.【详解】因为一箱24罐的饮料中4罐有奖券，所以无奖券的有20罐，从24罐中任意抽
12、取2罐，有种结果，且他们是等可能的，其中抽取的2罐均无奖券，有种，所以这2罐中有奖券的概率为：6. 学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率.【答案】【解析】【分析】总数有种选法，甲班有4名候选人，选择2名甲班同学和2名别班同学的种类数为，从而得到概率.【详解】总数有种选法，甲班有4名候选人，选择2名甲班同学和2名别班同学的种类数为，则甲班恰有2名同学被选到的概率为.7. 举出两个服从超几何分布的随机变量的例子.【答案】例子见解析.【解析】【分析】超几何分布描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类
13、的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）.根据定义写出例子即可.【详解】例（1）：假设某鱼池中仅有鲤鱼和草鱼两种鱼，其中鲤鱼200条，草鱼40条，从鱼池中任取5条鱼，这5条鱼中包含草鱼的个数X服从超几何分布.例（2）：现有甲、乙两种品牌的电视机共52台，其中甲品牌21台，从52台电视机中选出5台送给福利院，选出的甲品牌电视机台数X服从超几何分布.习题7.4复习巩固8. 抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X的均值和方差.【答案】均值，方差.【解析】【分析】由题意得随机变量服从二项分布，根据二项分布的均值和方差公式，即可求解.【详解
14、】依题意试验一次成功的概率为，且每次试验是相互独立，所以30次试验中成功次数X服从二项分布，所以在30次试验中次数的均值为，方差为.9. 若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是多大.【答案】【解析】【分析】利用二项分布的概率计算公式即可求解.【详解】设恰好有一次未击中目标为事件，.10. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率.（1）质点回到原点；（2）质点位于4的位置.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）质点回到原点可知质点向右
15、移动3次，向左移动3次，根据二项分布的概率公式，即可求解；（2）质点位于4的位置可知质点向右移动5次，向左移动1次，根据二项分布的概率公式，即可求解.【详解】设质点向右移动的次数为，又质点每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，且每次移动是相互独立，则.（1）质点回到原点，则，所以质点回到原点的概率是；（2）当质点位于4的位置时，则，所以质点位于4的位置的概率是.11. 从一副不含大小王的张扑克牌中任意抽出张，求至少有张牌的概率(精确到).【答案】【解析】【分析】本题首先可求出任意抽出张有多少种可能事件，然后依次求出有张牌、有张牌、有张牌有多少种可能事件，即可求出至少有张牌的概率.
16、【详解】从张扑克牌中任意抽出张，共有种可能事件，从张扑克牌中任意抽出张，有张牌，有中可能事件，从张扑克牌中任意抽出张，有张牌，有中可能事件，从张扑克牌中任意抽出张，有张牌，有中可能事件，故至少有张牌的概率.综合运用12. 某射手每次射击击中目标的概率为0.8，共进行10次射击，求(精确到0.01)：（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率.【答案】；（2）.【解析】【分析】（1）由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式，求得恰有8次击中目标的概率（2）由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式，求得恰有8次击中目标的概率、恰有9次击中目标的概率、恰
17、有10次击中目标的概率，再把这3个概率相加，即得所求【详解】解：（1）某射手每次射击击中目标的概率是，则这名射手在10次射击中恰有8次击中目标的概率为（2）至少有8次击中目标的概率为13. 有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率(精确到0.001).【答案】【解析】【分析】根据超几何分布概率公式，即可求解.【详解】记中奖为事件，概率为，所以中奖的概率为.14. 一个车间有3台车床，它们各自独立工作.设同时发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X的分布列.（1）假设这3台车床型号相同，它们发生
18、故障的概率都是20%；（2）这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为10%，B型车床发生故障的概率为20%.【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解.【解析】【分析】（1）利用二项分布的概率计算公式即可求解.（2）利用独立事件的概率乘法公式即可求解.【详解】（1），所以的分布列如下： （2），.所以的分布列如下： 拓广探索15. 某药厂研制一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为90%.随机选择了10个病人，经过使用该药治疗后，治愈的人数不超过6人，你是否怀疑药厂的宣传.【答案】答案见解析.【解析】【分析】结合二项分布求概率得出随机选10人，治愈人数不超过6人的概率约为0.013，概率很小，所以可怀疑可不怀疑药厂的宣传.【详解】由题意知，若此药治疗某种疾病有效率为90%，则随机选择了10个病人，治愈人数不超过6人的概率为：，所以概率非常小，因此治愈人数不超过6人是小概率事件，在一次试验中几乎不可能发生，然而现在发生了，从这个角度，就可以怀疑药厂是虚假宣传；换另一个角度，治愈人数不超过6人是一个随机事件，在一次试验中可能发生，所以从这个角度看，也可以不怀疑药厂的宣传.