1、43等比数列431等比数列的概念例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项分析：等比数列由，q唯一确定，可利用条件列出关于，q的方程（组），进行求解解法1：由，得的两边分别除以的两边，得解得或把代入，得此时把代入，得此时因此，的第5项是24或解法2：因为是与的等比中项，所以所以因此，的第5项是24或例2 已知等比数列的公比为q，试用的第m项表示解：由题意，得， 的两边分别除以的两边，得，所以例3 数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132求这个数列分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根
2、据条件列方程组求解解：设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，80，于是得解方程组，得或所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，练习1. 判断下列数列是否是等比数列如果是，写出它的公比（1）3，9，15，21，27，33； （2）1，1.1，1.21，1.331，1.4641；（3），； （4）4，16，64，【答案】（1）不是；（2）是等比数列， ；（3）不是；（4）是等比数列，公比【解析】【分析】根据等比数列的定义一一判断即可；【详解】解：（1）3，9，15，21，27，33；因为，故不是等比数列；（2），所以，所以是等比数列，公比（3
3、），； 显然，故不是等比数列；（4）因为，； 所以，所以是等比数列，公比2. 已知是一个公比为q的等比数列，在下表中填上适当的数q2820.2【答案】第一行：4，16，；第二行：50，0.08，0.0032【解析】【分析】根据表格中的数据解出，再代入通项公式即可.【详解】第一行：，所以.第二行：3. 在等比数列中，求和公比q【答案】或【解析】【分析】设等比数列的首项为，公比为，根据等比数列的性质求出， 即可求出，再代入，即可求出；【详解】解：设等比数列的首项为，公比为，因为，由等比数列的性质可得，又，解得：，当时，由，所以；当时，由，所以所以或4. 对数列，若点都在函数的图象上，其中c，q为常
4、数，且，试判断数列是否是等比数列，并证明你的结论【答案】是（证明见解析）【解析】【分析】根据题意写出通项公式，再由等比数列的定义即可判断.【详解】由题意知: ,因为，为定值常数.且所以数列为以为首项，为公比的等比数列.5. 已知数列是等比数列（1），是否成等比数列？为什么？，呢？（2）当时，是否成等比数列？为什么？当时，是等比数列吗？【答案】（1），成等比数列，成等比数列；（2），成等比数列，是等比数列.【解析】【分析】（1）分别说明和即可；（2）分别说明和即可.【详解】（1）设等比数列的公比为，则，则，成等比数列，又，则，所以，成等比数列；（2），所以，成等比数列；又，则，所以，是等比数列.
5、例4 用10000元购买某个理财产品一年（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a，构成等比数列解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，首项，公比，所以所以，12个月后的利息为（元）（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列，首项，公比为，于是因此，以季度
6、复利计息，存4个季度后的利息为元解不等式，得所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息例5 已知数列的首项（1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列；（2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明证明：（1）由，得的通项公式为设，则又，所以，是以27为首项，9为公比的等比数列（2）由，得两边取以3为底的对数，得所以又，所以，是首项为1，公差为的等差数列例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品1月按去年12月的
7、产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？分析：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，则各月不合格品的数量构成数列由题意可知，数列是等比数列，是等差数列由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，由题意，知，其中，2，24，则从今年1月起，各月不合格产品的数量是由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表4.3-1）表4.3-1n1234567105.0105.8106.5107
8、.0107.210721069n891011121314106.4105.5104.2102.6100.698.195.0观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且即可由，得所以，当时，递减又，所以，当时， 所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内练习6. 求满足下列条件的数：（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列；（2）在160与中间插入4个数，使这6个数成等比数列【答案】（1）、；（2）、.【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式即可求解.（2）利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】（1）在9与243中间插入2个数，使这
9、4个数成等比数列，设等比数列的公比为，则，解得，所以在9与243中间插入2个数为、.（2）在160与中间插入4个数，使这6个数成等比数列，设等比数列的公比为，则，解得.所以在160与中间插入4个数为、.7. 设数列，都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列若是，证明结论；若不是，请说明理由（1）数列，其中； （2）数列，其中【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义判断即可.（2）利用等比数列的定义判断即可.【详解】数列，都是等比数列，设公比分别为、（、均不为）（1）由，则，所以数列为等比数列.（2）由，则.所以数列为等比数列.8. 某汽车集团计划
10、大力发展新能源汽车，2017年全年生产新能源汽车5000辆.如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆（精确到1）？【答案】128145辆【解析】【分析】将其转化为等比数列，运用等比数列通项知识求基本量即可求出结果【详解】根据题意，从2017年开始，每一年新能源汽车的产量构成等比数列，设为，则，公比，所以，则2025年全年约生产新能源汽车为（辆），故2025年全年约生产新能源汽车128145辆.9. 某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240这个城市空气质量为“优”“良”的天数
11、的年平均增长率应达到多少（精确到0.01）（参考数据）？【答案】【解析】【分析】设平均增长率，依题意可得，解方程可求，【详解】解：设平均增长率，依题意可得，则，所以，故平均增长率约为10. 已知数列的通项公式为，求使取得最大值时的n的值【答案】3【解析】【分析】根据已知条件列出前2项比较大小，然后根据最大列出不等式方程组即可得到答案.【详解】设时，最大，因为，所以所以即，故 ， ，即所以故当取最大值时，432等比数列的前n项和公式例7 已知数列是等比数列（1）若，求；（2）若，求；（3）若，求n解：（1）因为，所以（2）由，可得，即又由，得，所以（3）把，代入，得整理，得，解得例8 已知等比数
12、列的首项为，前n项和为若，求公比q解：若，则，所以当时，由，得整理，得，即所以例9 已知等比数列的公比，前n项和为证明，成等比数列，并求这个数列的公比证明：当时，所以，成等比数列，公比为1当时，所以因为为常数，所以，成等比数列，公比为练习11. 已知数列是等比数列（1）若，求；（2）若，求；（3）若，求q与；（4）若，求与q【答案】（1）； （2）； （3），； （4）或.【解析】【分析】（1）根据等比数的求和公式，即可求解；（2）由题设条件和等比数列的通项公式求得的值，结合等比数列的求和公式，即可求解；（3）根据等比数列的通项公式，列出方程求得公比，结合求和公式，即可求解.（4）设等比数列的
13、公比为，结合通项公式和求和公式，分类讨论，即可求解.【详解】（1）因为，可得.（2）因为，且，所以.（3）设等比数列的公比为，因为，可得，即，解得，所以.（4）设等比数列的公比为，因为，当时，可得，此时，满足题意；当时，可得，解得.12. 已知，且对于，证明：【答案】证明过程看解析.【解析】【分析】利用错位相减法直接求和.【详解】证明：记，因为，且，所以两边同乘以，得：，所以，所以.所以，即证.13. 设等比数列的前n项和为 .已知求和 .【答案】当时， ；当时， 【解析】【详解】设的公比为，由题设得 解得或 ， 当时， ；当时， 视频14. 已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64
14、求这个等比数列的首项和公比【答案】答案见解析【解析】【分析】由已知条件，结合等比数列的性质，即可直接求解.【详解】设这三个数分别为，则满足 由题意可得，联立方程组，可得或，当这三个数为，可得这个等比数列的首项为，公比为；当这三个数为，可得这个等比数列的首项为，公比为；15. 如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？【答案】【解析】【分析】依题意设数列的首项为，公比为，根据等比数列前项和公式得到方程组，两式作商即可求出【详解】解：依题意设数列的首项为，公比为，则，所以，即，所以，解得，即，所求例10 如图4.3-2，正方形的边长为，取正方形各边的中点
15、E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形，依此方法一直继续下去图4.3-2（1）求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和；（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列解：设正方形的面积为，后继各正方形的面积依次为，则由于第个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以因此，是以25为首项，为公比的等比数列设的前n项和为（1）所以，前10个正方形的面积之和为（2）当n无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和而，随着n的无限增大，将趋近于0，将
16、趋近于50所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量
17、（单位：万吨）构成数列，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则，当时，所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；（2）将（1）中的递推公式表示成品的形式，其中k，r为常数；（3）求的值（精确到1）分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立与的关系；（2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组；
18、（3）利用（2）的结论可得出解答解：（1）由题意，得，并且 （2）将化成 比较的系数，可得解这个方程组，得所以，（1）中的递推公式可以化为（3）由（2）可知，数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，则所以练习16. 某教育网站本月的用户为500人网站改造后，预计平均每月的用户都比上一个月增加10%，那么从本月起，大约经过几个月可使用户达到1万人（精确到1）？【答案】32【解析】【分析】由题可得每月的用户数形成一个等比数列，由求解可得.【详解】根据题意，设从本月起，每月的用户数形成一个等比数列，则首项，公比，则由可得，则，所以大约经过32个月可使用户达到1万人.17. 一个乒乓球从高的高度自由
19、落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍（1）当它第6次着地时，经过的总路程是多少（精确到）（2）至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到？【答案】（1）386cm （2）8【解析】【分析】（1）利用等比数列的求和公式可得；（2）利用求和公式列出不等式即可求出.【小问1详解】由题可知，每次落地的高度形成以1为首项，0.61为公比的等比数列，则当它第6次着地时，经过的总路程为，所以当它第6次着地时，经过的总路程是386cm；【小问2详解】由题意得，整理得，所以，则至少在第8次着地后，它经过的总路程能达到.18. 某牛奶厂2015年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均
20、增长率可达到50%每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产，这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标（精确到1万元）？【答案】424万元【解析】【分析】设这家牛奶厂每年应扣除万元消费基金，则由规律可得第五年剩余资金为：，由题意知，即可求得的值【详解】解：设这家牛奶厂每年应扣除万元消费基金，则：第一年剩余资金为：，第二年剩余资金为：，以此类推，第五年剩余资金为：，由题意知，即，解得：，故这家牛奶厂每年应扣除424万元消费基金19. 已知数列的前n项和为，若，求【答案】【解析】【分析】利用公式化简即可得出数列为等比数列.即可求出答案.【详解】当时：,当
21、时：.所以数列为以为首项，2为公比等比数列.所以.习题4320. 已知数列是等比数列（1）若，求q与；（2）若，求【答案】（1），； （2）或.【解析】【分析】（1）根据题设条件列出方程组，求得，结合等比数列的求和公式，即可求解；（2）由题设条件，列出方程组，求得或，分类讨论求得首项的值，即可求解.【详解】（1）由数列是等比数列，设等比数列的公比为，因为，可得，即，解得，所以.（2）设等比数列的公比为，因为，可得，即，解得或，当时，可得，则；当时，可得，则.21. 已知是一个无穷等比数列，公比为q（1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分
22、别是多少？（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？（3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？【答案】答案见解析.【解析】【分析】（1）这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是；（2）这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是；（3）这个新数列是等比数列.它的公比是，我们由此可以得到一个结论： 在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列，它的公比为.【详解】（1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，
23、这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是；（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是；（3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的公比是，我们由此可以得到一个结论： 在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列，它的公比为.22. 求和：（1）（；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将式子分组，再分别利用等差数列与等比数列的前项和公式即可.（2）讨论的取值，当时，直接利用等差数列的前项和公式；当时，利用错位相减即可求出答案.【详解】（1）=（2）当时：当时：记化简得：综上所述：23.
24、 放射性元素在t=0时的原子核总数为，经过一年原子核总数衰变为，常数称为年衰变率考古学中常利用死亡的生物体中碳14元素稳定持续衰变的现象测定遗址的年代已知碳14的半衰期为5730年（1）碳14的年衰变率为多少（精确到）（2）某动物标本中碳14含量为正常大气中碳14含量的60%（即衰变了40%），该动物的死亡时间大约距今多少年？【答案】（1）；（2）4221.【解析】【分析】（1）根据题意，生物体死亡n年后，体内每克组织中的碳14的残留量为，则可判断出是一个等比数列，由题意列出通项公式，解出q即可；（2）由题意，利用等比数列的通项公式列方程，解出n.【详解】(1)设生物体死亡时，体内每克组织中的
25、碳14的含量为1，每年的衰变率为q，n年后的残留量为，则是一个等比数列由碳14的半衰期为5730，则，解得：即碳14的年衰变率为；(2)设动物约在距今n年前死亡，由，得，解得，所以动物约在距今4221年前死亡24. 已知是等比数列的前n项和，成等差数列.求证：，成等差数列【答案】见解析【解析】【分析】根据为等比数列且，成等差数列，即可解出，将、用表示出来，即可证明之.【详解】因为，成等差数列.所以（1）当时：，代入解得.不满足题意.（2）当时：，代入得.化简得.所以,即所以.所以，成等差数列25. 求下列数列的一个通项公式和一个前n项和公式：1，11，111，1111，11111，【答案】 ，
26、.【解析】【分析】利用 中 实现1,11,111,1111,1111，从1位数到n位数.【详解】设该数列为 ，其前n项和为 因为 所以该数列的一个通项公式为，26. 在数列的首项为 ，且满足（1）求证：是等比数列（2）求数列的前n项和【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】（1）由，化简得到，结合等比数列的定义，即可求解；（2）由（1）求得，分当为偶数和当为奇数，两种情况讨论，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）由题意，数列满足，即，则，又由，可得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）知，所以，所以，当为偶数时，可得；当为奇数时，可得，综上可得，.27.
27、 若数列的首项，且满足，求数列的通项公式及前10项的和【答案】，2036【解析】【分析】由题可得是首项为，公比为2的等比数列，即可求得通项公式和前10项和.【详解】，是首项为，公比为2的等比数列，即，.28. 已知数列为等比数列，公比若是数列的前n项积，求的最大值【答案】【解析】【分析】先求出的通项公式，利用函数的性质即可求得最值，以及取得最值时的值，在求乘积.【详解】因为数列为等比数列，公比，所以 ，所以当时，最大，即 ，解得：，此时29. 已知数列的首项，且满足（1）求证：数列为等比数列（2）若，求满足条件的最大整数n【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】（1）由，化简得到，
28、结合等比数列的定义，即可求解；（2）由（1）求得，根据等比数列的求和公式和常数列的求和公式，求得，根据，即可求解.【详解】（1）由题意，数列满足，可得，可得，即，又由，所以，所以数列表示首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）可得，所以设数列的前项和为，则 ，若，即，因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数的值为.30. 已知数列为等差数列，前n项和为，数列满足，求证：（1）数列为等差数列；（2）数列中的任意三项均不能构成等比数列【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）依题意首先求出的通项公式，即可得到，从而得到的通项公式，即可得证；（2）假设存在成等比数列，根据等比中项的性质得到方程，即可得出矛盾，从而得证；【详解】解：（1）因为等差数列满足，所以，所以，所以所以，即，即为公差为的等差数列；（2）设数列中任意三项，则，假设成等比数列，则即因为所以，所以，即，与矛盾，所以数列中的任意三项均不能构成等比数列