1、9.4矩形菱形正方形学习目标：1、理解矩形、菱形、正方形的概念，以及平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系2、探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理，以及它们的判定定理3、了解两条平行线之间的距离的意义，能度量两条平行线之间的距离一、知识详解知识点一、矩形的定义及性质1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2.矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等。注意点：1.矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质2.矩形的两条对角线分矩形为两对全等的等腰三角形3.矩形的面积等于长宽4.从对称性来看，矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心是对角线的
2、交点，它有两条对称轴，是分别经过两组对边中点的直线例1、如图，E,F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=DF。求证：BE=CF知识点二、矩形的判定定理（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形注意点：1.在用判别方法（1）（2）时，首先要说明四边形是平行四边形，再说明平行四边形中有一个内角是直角或对角线相等。2.“对角线相等的平行四边形是矩形”也可以说成“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”例2、如图，AB=AC,AD=AE,DE=BC，且BAD=CAE.求证：四边形BCDE是矩形知识点三、平行线间的距离如果两条
3、直线互相平行，那么其中一条直线上任意点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离注意点：不能误认为夹在两平行线间的线段的长度就是平行线间的距离例3、如图，已知，l1l2，C1在l1上，并且C1Al2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上。设ABC1的面积为S1，ABC2的面积为S2，ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3，请帮小颖说明理由知识点四、菱形的定义及性质1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质（1）菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴；（2）菱形的四条边相等；（3）菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分菱形的一组对角注
4、意点：1.菱形也是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，其本身还具有特殊的性质，它的两条对角线将其分成四个全等的直角三角形2.菱形的面积等于它的两条对角线长度乘积的一半3.菱形既是轴对称图形又是中心对称图形例4、如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O,DEBC于点E，连接OE，若ABC=140，则OED=_知识点五、菱形的判定（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边相等的四边形是菱形注意点：1.在用判别方法（1）（2）时，首先要说明四边形是平行四边形，再说明平行四边形中有一组邻边相等或对角线互相垂直2.“对角线互相垂直的平行四边形是菱
5、形”也可以说成“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”例5、如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于点E，交AC于点F。求证：四边形AEDF是菱形知识点六、正方形的定义及性质1.正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2.正方形的性质：正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的全部性质注意点：1.正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形和菱形，所以既具有平行四边形的一切性质，还具有矩形和菱形的一切性质，其本身还具有特殊的性质。归纳如下：对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形；边：四条边相等；角：四个角都是直角对角线：两条对角线相等并且互相垂直平
6、分，每条对角线平分一组对角2.正方形的一条对角线分正方形为两个全等的等腰直角三角形，两条对角线分正方形为四个全等的等腰直角三角形例6、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且BAE=22.5，EFAB，垂足为F，则EF的长为（ ）A.1 B. C. D.知识点七、正方形的判定1.对角线互相垂直或邻边相等的矩形是正方形2.一个角等于90或对角线相等的菱形是正方形注意点：1.可以先判定为平行四边形，再判定为矩形，最后判定为正方形2.可以先判定为矩形，再判定为正方形3.可以先判定为菱形，再判定为正方形例7、如图，在RtABC中，BCA=90，CF为ACB的平分线，FDCA于点D,FEB
7、C于点E。求证：四边形CDFE是正方形二、典例拓展拓展一、菱形面积问题例1、如图，四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，DHAB于点H，则线段BH的长为_拓展二、矩形折叠问题例2、如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=6，将ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上点F处，则DE的长是（ ）A.3 B. C.5 D.拓展三、条件探究型问题例3、已知：如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF。（1）求证：四边形ADCF是平行四边形（2）当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形？请说明理由例4、将两张
8、宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD（1）求证：四边形ABCD是菱形。（2）如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由拓展四、探究菱形与三角形相结合的问题例5、如图，已知E为菱形ABOP对角线的交点，C为AP上一点，连接BC交AO于点D，且AD=AC。（1）求证：AE=（AB+AC）；（2）若AC=3，AB=5，求三角形ABD的面积拓展五、矩形、菱形、正方形综合例6、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=8，B=60，过平行四边形的对称中心点O的一条直线与边AD,BC分别交于点F
9、,E，设直线EF与BC的夹角为（1）当的度数是多少时，四边形AFCE为菱形？为什么？（2）当的度数是多少时，四边形AFCE为矩形？为什么？（3）四边形AFCE能否为正方形？为什么？拓展六、探索正方形内物体运动的路径例7、如图，4个小动物分别站在正方形场地ABCD的4个顶点处，它们同时出发并以相同的速度沿场地边缘逆时针方向跑动，当它们同时停止时，顺次连接4个动物所在地点围成的图形是什么形状？为什么？三、易错辨析易错点：错误的理解菱形的判定方法例、如图，有一矩形纸片ABCD，将纸片沿EF折叠，使B与D重合。求证：四边形BEDF是菱形正确解答：由折叠可知EF垂直平分BD，即OB=OD，BOF=DOE
10、=90，ADBC，1=2.易证BOFDOE.OE=OF，即EF与BD互相垂直平分四边形BEDF是菱形易错总结：解答本题常见错误是由折叠可知点B,D关于EF对称，从而得到EB=ED,FB=FD，直接判定四边形BEDF是菱形。“有两组邻边相等的四边形是菱形”显然是错误的四、中考真题1.已知平行四边形ABCD,AC,BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（ ）A.BAC=DCA B.BAC=DAC C.BAC=ABD D.BAC=ADB2.如图所示，在矩形ABCD中，DAC=65，点E是CD上一点，BE交AC于点F，将BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C处，则A
11、FC=_3.如图，在矩形ABCD中，ABD，CDB的平分线BE,DF分别交边AD,BC于点E,F（1）求证：四边形BEDF是平行四边形（2）当ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由五、即时检测1、如图，菱形ABCD中，D=150，则1=（ ）A.30 B.25 C.20 D.152、如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AO=CO, BO=DO.添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）A. AB=AD B. AC= BD C.ACBD D.ABO=CBO3、如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF=_4
12、、如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形ABCD的位置，记旋转角为（090）。若1=110，则角a等于_5、如图，已知矩形ABCD延长CB到点E，使CE=CA,F是AE的中点。求证：BFFD六、课后作业1、如图，在面积为5的四边形ABCD中，ADC=ABC=90， AD=CD,DPAB于点P，则DP的长是_2、如图所示，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，AED=90，DAE=60，DE=，则这个矩形的面积是_3、如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D处，则重叠部分AFC面积为_4、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10,0），（0,4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_5、如图：两个相同的矩形摆成“L”字形，则CFA=_度6、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AOB=60，AB=3。则矩形对角线的长等于_7、如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D处，BC交AD于点E,AB=3cm,BC=4cm，求阴影部分的面积8、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AC平分BAD,DP/AC,CP/BD（1）求证：四边形ABCD是菱形（2）若AC=4，BD=6，求OP的长