1、2.3一元一次不等式（组）及其应用考点1：不等式的基本性质例1已知x12-3y，理由见解析【分析】根据不等式性质1和不等式性质2进行变形即可证明【详解】解：12-3x12-3y，理由如下：x-3y（不等式性质2），12-3x12-3y（不等式性质1）【点睛】本题考查了不等式的性质，解题关键是熟知不等式的性质，并能根据性质对不等式进行变形例2说出下列不等式的变形依据(1)若x+23，则x1；(2)若2x-3，则x-32；(3)若-3x4，则x-43【答案】(1)根据不等式的性质1，不等式的两边同时减去2(2)根据不等式的性质2，不等式的两边同时除以2(3)不等式的性质3，不等式的两边同除以-3【
2、分析】（1）根据不等式的性质1变形；（2）根据不等式的性质2变形；（3）不等式的性质3变形【详解】（1）解：根据不等式的性质1，不等式的两边同时减去2（2）解：根据不等式的性质2，不等式的两边同时除以2（3）解：不等式的性质3，不等式的两边同除以-3【点睛】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变知识点训练1（2021春甘肃兰州八年级校考期中）ab，下列不等式中错误的是（ ）Aa+z-4bC2ab-c【答案】D
3、【分析】根据不等式的性质进行一一判断【详解】解：A在不等式ab的两边同时加z，不等号的方向不变，即a+zb+z，故本选项不符合题意；B在不等式a-4b，故本选项不符合题意；C在不等式ab的两边同时乘以2，不等号的方向不变，即2a2b，故本选项不符合题意；D在不等式ab的两边同时加-c，不等号的方向不变，即a-cb，则下列式子正确的是（ ）A-2022a-2022bBa-2022b-2022C2022-a2022-bD2022ab，-2022ab，a-2022b-2022，故B符合题意；C、ab，-a-b，2022-ab，2022a2022b，故D不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了不等式的性
4、质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键3若ab，则下列结论一定成立的是（ ）A-a-bBa2b2Ca-1b-1Dab， -ab， a2b2，故本选项符合题意； Cab， a-1b-1，故本选项不符合题意； Dab， -a-b，不是a0Bm0Cm0Dm0【答案】D【分析】根据不等式的性质，两边同时乘以一个负数，不等号方向改变求解即可【详解】解：ab，当m0时，有ambm，故选：D【点睛】本题考查了不等式的性质，解题关键是牢记不等式的性质4（2022秋浙江八年级阶段练习）若ab，则下列各式中一定成立的是（ ）A-15a+115b+1Bc2ac2bC-2a1-b【答案】D【分析】利用不等式的基本性质判
5、断即可【详解】解：ab，当a0，且ab时，-15a15b，即-15a+115b+1，选项A不符合题意；当c0时，c2ac2b，选项B不符合题意；ab，当a0，且ab时，-2a2b，选项C不符合题意；a-b，即1-a1-b，选项D符合题意故选：D【点睛】此题考查了不等式的性质，不等式的基本性质：不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变；同时乘同一个负数，不等号方向改变5（2022秋浙江八年级期中）若ab，下列不等式不一定成立的是（ ）Aa-2021b-2021 B-2021a-2021bCacbcDa+cb+c 【答案】C【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断即可得解【详解】解：A、不等式a
6、b的两边都减去2021可得a-2021b-2021，原变形正确，故本选项不符合题意；B、不等式ab的两边都乘以-2021可得-2021a-2021b，原变形正确，故本选项不符合题意；C、不等式ab的两边都除以c，只有c0才可得acbc，所以，不等式acbc不一定成立，故本选项符合题意；D、不等式ab的两边都加上c可得a+cb+c，原变形正确，故本选项不符合题意故选：C【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：(1)不等式两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘以(或除以)同一个
7、负数，不等号的方向改变6（2022秋黑龙江七台河八年级校联考期中）下列说法中正确的有（ ）-ab=a-b=-ab 若ab0，b0若a=0，b0，则ab=0 若a0，b0，则1a1bA1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】根据分式的基本性质可判断，根据除法法则可判断和，根据不等式的性质可判断【详解】解：-ab=a-b=-ab，正确；若ab0，b0或a0，故错误；若a=0，b0，则ab=0，正确；当a=b=1时，满足a0，b0，此时1a=1b=1，故错误故选B【点睛】本题考查了分式的基本性质，除法法则，以及不等式的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键7（2023春八年级单元测试）若ab，下列不
8、等式不一定成立的是（ ）Aa-5b-5B-5abcDac2+1bc2+1【答案】C【分析】直接利用不等式的性质分别判断得出答案【详解】解：Aab，a-5b-5，故此选项不合题意；Bab，-5ab，acbcc0，故此选项符合题意；Dab，ac2+1bc2+1，故此选项不合题意；故选：C【点睛】此题主要考查了不等式的性质，正确掌握不等式的性质是解题关键8（2022秋浙江八年级专题练习）关于x的一元一次不等式k-1xk-1的解集为x1，则k的值不能为（ ）A-5B-2C-1D3【答案】D【分析】根据不等式的性质，可得关于k的不等式，解不等式，可得答案【详解】解：由关于x的一元一次不等式(k-1)xk
9、-1的解集为x1，得k-10，解得kb，且6-xa6【分析】根据不等式的基本性质解答即可【详解】解：ab，且6-xa6-xb，6-x6故答案为：x6【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键考点2：一元一次不等式及其解法例3. （2022春陕西西安八年级校考阶段练习）解不等式9x+26-2x-13-1，并把它们的解集在数轴上表示出来【答案】x-2，图见解析【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，并在数轴上表示出来即可【详解】解：9x+26-2x-13-1，(9x+2)-2(2x-1)-6，9x+2-4x+2-6，9x-4x-6-2-2，5x
10、-10，x-2，【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键例4. （2022秋河南郑州九年级校考期末）先化简：1-1x+2x2-1x2+4x+4，再从不等式-2x-16的负整数中选一个适当的数代入求值【答案】x+2x-1，14【分析】先把括号里的式子进行通分，再把后面的式子根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解，然后约分化简，再求出不等式的解集，最后代入一个合适的数，即分式不为零的值，即可解题【详解】解：1-1x+2x2-1x2+4x+4=x+1x+2x+1x-1x+22=x+1x+2x+22x+1x-1=x+2x-1， -2x-1-72x-72的负
11、整数解有：-3，-2，-1，x-2,x-1x=-3原式=x+2x-1=-3+2-3-1=12=-3+2-3-1=14【点睛】本题考查分式的混合运算、分式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式进行因式分解，解一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键知识点训练1（2023春八年级单元测试）下列式子是一元一次不等式的是（ ）Ax+y0Cx23+xD1x3+x是一元一次不等式，选项符合题意；D1x不是整式，则不是一元一次不等式，选项不符合题意故选C【点睛】本题考查不等式的定义，一元一次不等式中必须只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，并且不等式左右两边必须是整式2（20
12、22秋陕西西安八年级西安市铁一中学校考期末）在x0，1x-1，2x3，是一元一次不等式的有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以【详解】解：是一元一次不等式的有：x0，2x6 Cx2+42x+3 Dxy1 【答案】A【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可【详解】解：A、该不等式符合一元一次不等式的定义，故此选项不符合题意；B、该不等式中含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；C、未知数的次数是2，不是一元一次不等式，故此选项符合题意；D、该不等式中含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此
13、选项不符合题意；故选：A【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式4（2021春河南新乡七年级校考期中）下列说法中，错误的是（ ）A不等式a2的正整数解只有一个B-2是不等式2x-10的一个解C不等式x9的解集是x-3【答案】D【分析】根据不等式的解及解不等式逐一判断即可【详解】解：A不等式a2的正整数解为1，故不等式a2的正整数解只有一个正确，故A正确，不符合题意；B解2x-10，得：x12，故-2是不等式2x-10的一个解正确，故B正确，不符合题意；C不等式x9的解集是x
14、0是关于x的一元一次不等式，则m=（ ）A1B1C-1D0【答案】C【分析】根据一元一次不等式的定义列式求解即可【详解】解：m-1xm+20是关于x的一元一次不等式，m-10，m=1，解得：m=-1，故选：C 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式是一元一次不等式，注意：未知数的系数不能为06（2022秋浙江宁波八年级统考期末）已知不等式x+10，其解集在数轴上表示正确的是（ ）ABCD【答案】B【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可判定【详解】解：x+10，解得x-1，在数轴上表示为：，故选：B【点睛】本题考查了解一元一次不等式并把解集
15、在数轴上表示出来，准确把不等式的解集在数轴上表示出来是解决本题的关键7（2023秋湖南益阳八年级校联考期末）若关于x的不等式x-m-1的解集如图所示，则m等于（ ）A0B1C2D3【答案】D【分析】首先解得关于x的不等式x-m-1的解集即xm-1，然后观察数轴上表示的解集，求得m的值【详解】解：关于x的不等式x-m-1，得xm-1，由题目中的数轴表示可知：不等式的解集是：x2，m-1=2，解得，m=3，故D正确故选：D【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是正确解出关于x的不等式，把不等式问题转化为方程问题8（2022秋浙江丽水八年级统考期末）若一个不等式的解集在数轴上表示如图，则
16、这个不等式可以是（ ）Ax-20Cx+20【答案】A【分析】解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法，可得答案【详解】解：A、x2，故B不符合题意；C、x-2，故D不符合题意；故选：A【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”要用空心圆点表示9（2021春重庆南岸八年级重庆市第十一中学校校考期中）若不等式xm的解都是不等式2-3x5的解，则m的取值范围是（ ）Am-1Bm-1【答案】A【分析】先求出不等式2-3x5的解集，然后根据xm的解都是不等式2-3x5的解进行求解即可【详解】解：解不等式2-3x5得x-1，不等式xm的解
17、都是不等式2-3x5的解，m-1，故选A【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式2-3x5的解集是解题的关键10（2022春河南驻马店七年级统考期末）若（m2）x|m-1|36是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为_【答案】x4.5【分析】根据一元一次不等式的定义得出|m-1|=1且m-20，求出m的值，再把m的值代入原式，再解不等式即可【详解】解：由题意得：|m-1|=1且m-20，m=2或m=0且m2，m=0，原不等式可化为：-2x-36，解得：x-4.5，该不等式的解集为x-4.5故答案为：x-4.5【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义和解法，根据一元一次不等式的定
18、义求出m的值是解题的关键11（2021秋浙江湖州八年级统考期末）不等式3x-12的解集是_【答案】x-4【分析】不等式两边同时除以3即可求解【详解】解：3x-12，解得：x-4，故答案为：x-4【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键12（2023秋上海静安八年级上海市风华初级中学校考期末）不等式x-3x-3-3#x-3-3【分析】根据一元一次不等式的解法进行计算即可求解【详解】解： 3x-3x6，即3-3x63-363-3x-3-3；故答案为：x-3-3【点睛】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，正确的计算是解题的关键13（2021春海南海口七年级校考期中）若关于
19、x的方程2x-m+1=4x-1的解是负数，则m的取值范围是_【答案】m2【分析】解方程得x=2-m2，由方程的解为负数得出关于m的不等式，解之可得【详解】解：解方程2x-m+1=4x-1，得：x=2-m2，方程的解为负数，2-m22，故答案为：m2【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式和一元一次方程的能力14（2022秋浙江绍兴八年级校联考期中）不等式13-4x3x-8的非负整数解有_个【答案】4【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可【详解】解：13-4x3x-8，移项得，-4x-3x-8-13，合并同类项得，-7
20、x-21，系数化为1得，x3不等式的非负整数解为0，1，2，3共4个，故答案为：4【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键解不等式应根据不等式的基本性质15（2021春甘肃兰州八年级校考期中）解不等式2x-52x2-3，并把它的解集在数轴上表示出来【答案】x-1，数轴见解析【分析】先去括号，移项，合并同类项求出不等式的解集，根据数轴的性质表示解集【详解】解：去括号，得2x-5x-6，移项，合并同类项，得x-1，将解集表示在数轴上，如图：【点睛】此题考查了解一元一次不等式，利用数轴表示不等式的解集，正确掌握一元一次不等式的解法是解题的关键16（2021春甘
21、肃兰州八年级校考期中）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：(1)2-3+x2x-13-1-x6【答案】(1)x-12，数轴见解析(2)x3，数轴见解析【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解不等式即可；（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解不等式即可【详解】（1）解：2-3+x3x+2去括号得，-6+2x3x+6，移项得，2x-3x6+6，合并同类项得，-x-12；在数轴上表示如下：（2）x-x-122x-13-1-x6去分母得，6x-3x-122x-1-1-x，去括号得，6x-3x+34x-2-1+x，移项得，6x-3x-4x-x-2-1-3，合
22、并同类项得，-2x-6，系数化1得，xx-32x+23x+a只有4个整数解，求a的取值范围【答案】-5x-32x+23x+a解不等式，得x2-3a，此不等式组只有4个整数解，此不等式组的解集为2-3ax21，它的4个整数解为20、19、18、17，162-3a17，解得a的取值范围是：-5-2x0x+24；x+10y-40x-7；x2+14A2个B3个C4个D5个【答案】B【分析】根据一元一次不等式组的概念，对5个式子逐一判断即可【详解】解：x-2x0x+24是一元一次不等式组；x+10y-40x-7是一元一次不等式组；x2+14，未知数是3次，不是一元一次不等式组，其中是一元一次不等式组的有
23、3个，答案：B【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的概念，掌握一元一次不等式组的概念是解决本题的关键.2（2023秋广西南宁九年级三美学校校考期末）不等式组2-x03x+2-1的解集里（ ）A-1x2B-2x1Cx-1或x2D-2x-1得，x-1，原不等式组的解集为：-12x3的解集表示在数轴上，正确的是（ ）ABCD【答案】D【分析】先定界点，再定方向即可得【详解】解：不等式组x2x3的解集在数轴上表示如下：，故选：D【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点；二是定方向，注意“实心点”、“空心点”的用法4（2021春甘肃兰州八年级校考
24、期中）在平面直角坐标系中，若P2-x,x关于原点的对称点在第二象限，则x的取值范围为（ ）A0x2Bx0Cx2【答案】B【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数得到出对称点，再根据点在第二象限列出不等式组求解即可【详解】解：P2-x,x关于原点的对称点在第二象限，点x-2,-x在第二象限，所以x-20，解得x0，故选B【点睛】本题考查了象限内的点的坐标特点及解不等式组，熟练掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数是解题的关键5（2022秋浙江宁波八年级统考期末）若关于x的不等式组x2xa-1无解，则a的取值范围为（ ）Aa3 Ba3【答案】C【分析】根据不等式组无解得出a-12
25、，求出即可【详解】解：关于x的不等式组x2xa-1无解，a-12，a3，故选：C【点睛】此题考查了一元一次不等式，熟练掌握利用一元一次不等式组无解求相关字母的取值是解题的关键6（2020秋浙江杭州八年级校考期中）若不等式组-x+2m的解是x4，则m取值范围是（ ）Am4Bm4【答案】A【分析】先求出第一个不等式的解集，再根据口诀“同大取大”结合不等式组的解集即可求得m的取值范围【详解】解：解不等式-x+24，不等式的解集为x4，m4，故A正确故选：A【点睛】本题主要考查含参数的一元一次不等式组，熟知求不等式组解集口诀“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小找不到”是解答的关键7（2020
26、秋云南楚雄九年级统考期末）如果关于x的不等式组2x-a0，3x-b0的整数解仅有1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b之中，b的最大值减去a的最小值为（ ）A8B9C10D11【答案】D【分析】首先解不等式组2x-a03x-b0则不等式组的解集即可利用a，b表示，根据不等式组的整数解仅为1，2，3，即可确定a，b的范围，即可确定a，b的整数解，即可求解【详解】解：解不等式组2x-a03x-b0，可得：a2xb3在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间，如下图：根据数轴可得：0a21，3b34由0a21，得0a2，a=1，2共2个由3b34得9b12，b=10，11，12，共3个b的最大值减
27、去a的最小值为：12-1=11故选：D【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，注意各个不等式的解集的公式部分就是这个不等式组的解集但本题是要求整数解的，所以要找出在这范围内的整数8（2023秋河南郑州九年级统考期末）不等式组x-42x-112x+11的所有整数解的和为_【答案】0【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解，再取它们的公共部分，最后取正整数解即可【详解】解：x-42x-1x-42x-2x-2,12x+11x+12x1,-2x1,符合条件的整数解：-1,0,1,-1+0+1=0故答案为0【点睛】本题主要考查求不等式组的特殊解，熟练掌握解不等式组的基本步骤，求出不等式组的解，是
28、解题的关键9（2021春四川成都八年级校考期中）已知m是不等式组m-23m-10m8的正整数解，则分式方程2x-2=mx+1有整数解的概率为_【答案】13【分析】先解不等式组求出解集，确定正整数m的值，再解分式方程，得到方程有整数解时m的值，然后利用概率公式求解即可【详解】解：解不等式m-24，所以不等式组m-23m-10m8的解集为4m8，正整数m=5，6，7 分式方程去分母得：2x+1=mx-2，整理，得m-2x=2m+2，当m-20即m2时，x=2m+2m-2，即x=2+6m-2，分式方程有整数解，且x2，x-1，只有m=5满足要求，分式方程2x-2=mx+1有整数解的概率为：13故答案
29、为：13【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比也考查了一元一次不等式组的整数解以及解分式方程10（2023秋河北张家口八年级张家口市第一中学校考期末）若不等式组x-a3的解集为-1x1，那么a+1b-1的值等于_【答案】-3【分析】先用字母a，b表示出不等式组的解集2b+3xa+1，然后再根据已知解集是-1x1，对应得到相等关系2b+3=-1，a+1=1，求出a，b的值再代入所求代数式中即可求解【详解】解：解不等式组x-a3可得解集为2b+3xa+1因为不等式组的解集为-1x1，所以2b+3=-1，a+1=1，解得a=0，b=-2代入a+1b-1=1-3=-
30、3故答案为：-3【点睛】主要考查了一元一次不等式组的解的定义，解此类题是要先用字母a，b表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集，对应得到相等关系，解关于字母a，b的一元一次方程求出字母a，b的值，再代入所求代数式中即可求解11（2021秋浙江湖州八年级统考期末）解不等式组：2(x+2)3x+3x3x+14 【答案】1x1解不等式得：x3不等式组的解是1xx+92【答案】x4，数轴见解析【分析】先分别解不等式，根据不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到得到不等式组的解集，并在数轴上表示解集【详解】解：解不等式5x-32x+9，得：x4，解不等式2+3xx+9
31、2，得：x1，则不等式组的解集为x4，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点睛】此题考查了求一元一次不等式组的解集，利用数轴表示不等式组的解集，正确掌握一元一次不等式的解法及不等式组的解集的确定方法是解题的关键13（2022秋浙江丽水八年级统考期末）解不等式组2x-6x3，并把解集表示在数轴上【答案】-32x3，数轴见解析【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集再表示在数轴上即可【详解】解：解不等式2x-60，得：xx3，得：x-32，不等式组的解集为：-32x15x+13x+1，并在数轴上把它的解集表示出来【答案】x74，数轴见解析【分析】分别解不等式
32、求出解集，在数轴上将解集表示出来，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”确定出不等式组的解集【详解】解：解不等式2x-12+1-x31，得x74，解不等式5x+13x+1，得x1，将解集表示在数轴上，如图，不等式组的解集为x74【点睛】此题考查了求一元一次不等式组的解集，利用数轴表示不等式组的解集，正确掌握一元一次不等式的解法及确定不等式组的解集的方法是解题的关键15（2021春宁夏银川八年级银川市第三中学校考期中）解不等式3-x213x+24【答案】x1【分析】先求出两个不等式的解集，取两个解集的公共部分即可不等式组的解集【详解】解：3-x213x+24，解不等式3-x
33、21，得x1，解不等式3x+24，得x23，不等式得解集为x1【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握两个不等式解集的公共部分即为不等式组的解集是解题关键16（2021春甘肃兰州八年级兰州市第十中学校考期中）解不等式组，并求出不等式组的解集(1)2x+73x-1x-250(2)5x-33x-112x-17+32x【答案】(1)2x8(2)无解【分析】（1）先将式移项可求得x0，式移项后可得到x3x-1x-250，由得：x8，由得：x-20，解得：x2不等式组的解集为：2x3x-112x-17+32x，由得：x0，由得：-x8，解得：x-8不等式组无解【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的运算法则是解决问题的关键17（2021春河南郑州八年级校联考期中）解不等式组2x-13-5x+1225x-13x+1，并求出该不等式组的负整数解【答案】-1711x2；该不等式组的负整数解为：-1【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，根据解集求负整数解【详解】解：2x-13-5x+1225x-13x+1解不等式得：x-1711，解不等式得：x2，不等式组的解集为：-1711x2，