1、1.4分式及其运算考点1：分式的定义和性质例1（1）已知分式2x+nx-m（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）x的取值22pq分式的值无意义012An=2Bm=-2Cp=6Dq的值不存在解：x为2时方程无意义，xm=0，解得：m=2，故B正确，故分式为：2x+nx+2，当x=2时，分式的值为0， 故22n=0，n=4，故A错误，故分式为：2x-4x+2，当分式值为1时，2x4=x+2，解得：x=6，故p=6，故C正确，当2x-4x+2=2时，2x4=2x4，此等式不成立，则q的值不存在，故D正确，故选：A（2）请写出一个同时满足下列条件的分式：（1）分式的值不可能为零；
2、（2）分式有意义时，a的取值范围是a-3；（3）当a=0时，分式的值为-1你所写的分式为_解：根据（1）分式的值不可能为零，可得分式的分子不等于零；根据（2）分式有意义时，a的取值范围是a-3，可知当a=-3时，分式的分母等于零；根据（3）当a=0时，分式的值为-1，可知把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数综上可知，满足条件的分式可以是：-3a+3，故答案为：-3a+3（答案不唯一）（3）下列结论：不论a为何值aa2+1都有意义；a=-1时，分式a+1a2-1的值为0；若x2+1x-1的值为负，则x的取值范围是x0，不论a为何值aa2+1都有意义；错误，当a=-1时，a2-1=1-1=0
3、，此时分式无意义，此结论错误；正确，若x2+1x-1的值为负，即x-10，即x03-4x0或x-203-4x0，解得34x2；（2）根据题意，得x-20或x-203-4x-2Bx-2且x1Dx1【答案】C【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0和两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除即可得出答案【详解】解：原式=x+2x-12，当x1时，（x-1）20，当x+20时，分式的值为正数，x-2且x1故选：C【点睛】本题考查了分式的值，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键7（2022辽宁盘山县教师进修学校八年级期末）若分式2x1x2的值为正，则x的取值范围为（ ）Ax
4、12Bx12Cx12且x0Dx12【答案】C【分析】根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式【详解】解：由题意得，x20，且x0，分式2x1x2的值为正，2x+10，x-12，所以x-12且x0故选：C【点睛】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向8（2022河北辛集市辛集镇育红中学八年级期末）分式x-3yx+y中，把x和y都扩大到原来的10倍，分式的值（ ）A不变B扩大为原来的10倍C
5、缩小为原来的D不能确定【答案】A【分析】将x，y分别扩大2倍，代入原分式，利用分式的基本性质进行计算【详解】解：10x-310y10x+10y=x-3yx+y，把x和y都扩大到原来的10倍，分式的值不变故选：A【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键9（2022上海测试编辑教研五七年级期中）下列哪个分式和-x-1-2x+1值相等（ ）A-x+12x-1Bx-12x+1Cx+12x-1D-x-12x+1【答案】C【分析】将分式进行化简，然后即可得出结果【详解】解：-x-1-2x+1=x+12x-1，故选：C【点睛】题目主要考查分式的化简，熟练掌握化简法则是解题关键
6、10（2022上海金山七年级期末）如果将分式x2+y2x+y中的x和y都扩大到原来的4倍，那么分式的值（ ）A不变B扩大到原来的4倍C扩大到原来的8倍D扩大到原来的16倍【答案】B【分析】x，y都扩大成原来的4倍就是分别变成原来的4倍，变成4x和4y用4x和4y代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系即可得到答案【详解】解：将4x和4y分别替换原分式中的x， y得4x2+4y24x+4y=16x2+y24x+y=4x2+y2x+y，分式的值扩大到原来的4倍，故选B【点睛】本题主要考查分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数；解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分
7、，再与原式比较，最终得出结论11（2022山东烟台市芝罘区教育科学研究中心八年级期中）如果把分式2xyx-y中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ）A扩大3倍B缩小3倍C不变D扩大6倍【答案】A【分析】利用分式的基本性质进行计算即可解答【详解】解：由题意得23x3y3x-3y=18xy3x-3y=6xyx-y，把分式2xyx-y中的x，y都扩大3倍，那么分式的值扩大3倍，故选：A【点睛】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键12（2022广西贵港八年级期中）下列各式从左边到右边的变形正确的是（ ）Ax-yx+2y=y-xx+2yB-a+bc=-a-bcC0.2a+ba+0
8、.2b=2a+ba+2bD-x-yx+y=1【答案】B【分析】根据分式的基本性质作答【详解】解：A、x-yx+2y=-y-xx+2y，此选项变形错误；B、-a+bc=-a-bc，此选项变形正确；C、0.2a+ba+0.2b=2a+10b10a+2b，此选项变形错误；D、-x-yx+y=-1，此选项变形错误；故选B【点睛】本题主要考查了分式的变形，解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质13（2022山东济宁八年级期中）下列运算正确的是（ ）Ax2-1x2-2x+1=x+1x-1Bx+2yx+3y=23Cx2-y2x-y=x-yDy-x-y=-yx-y【答案】A【分析】根据分式的基本性质逐项计算，
9、即可求解【详解】解：Ax2-1x2-2x+1=(x+1)(x-1)(x-1)2=x+1x-1，故本选项符合题意；Bx+2yx+3y23，故本选项不符合题意；Cx2-y2x-y=(x+y)(x-y)x-y=x+y，故本选项不符合题意；Dy-x-y=y-(x+y)=-yx+y，故本选项不符合题意；故选A【点睛】本题考查分式的基本性质，能够根据分式的基本性质正确计算是解题的关键14（2022山东泰安八年级期中）下列各等式中成立的有（ ）个-a-bc=-a-b-c； -a-bc=a-bc；-a+bc=-a+bc； -a+bc=a-b-cA1B2C3D4【答案】A【分析】分式的分子与分母同乘（或除以）一
10、个不等于0的整式，分式的值不变，据此即可求解【详解】解：-a-bc=a-b-c，故中等式不成立；-a-bc=-a+bc，故中等式不成立；-a+bc=-a-bc，故中等式不成立；-a+b-c=a-bc，故中等式成立综上，各等式中成立的有1个故选A【点睛】本题考查分式的基本性质，属于基础题型，解题的关键是熟练运用分式的基本性质15（2022河北唐山八年级期中）不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，下列式子正确的是（ ）A-a+b-a-b=a+ba-bB-x+1-x-1=x-1x+1C1-x+y=1x+yD-b-a-a-b=a+ba-b【答案】B【分析】根据分式的基本性质作答，分式分母、分子和分式
11、本身的符号任意改变两个，分式的值不变【详解】解：不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，根据分式的基本性质，分子分母同除以-1，A、-a+b-a-b=a-ba+b；B、-x+1-x-1=x-1x+1；C、1-x+y=-1x-y；D、-b-a-a-b=a+ba+b=1，故选：B【点睛】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变16（2022安徽省宣城市奋飞学校七年级期中）下列判断错误的是（ ）A代数式a2+2aa是分式B当x=-3时，分式x+32x+6的值为0C当a=-12时，分式2a+1a有意义D0.5a+b0.2-0.3b=5a+10b
12、2-3b【答案】B【分析】根据分式的基本性质，分式有意义的条件，分式的值为零的条件，逐项判断即可求解【详解】解：A代数式a2+2aa是分式，正确，不符合题意；B当x=-3时，分式x+32x+6没有意义，错误，符合题意；C当a=-12时，分式2a+1a有意义，正确，不符合题意；D0.5a+b0.2-0.3b=5a+10b2-3b，正确，不符合题意 故选B【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式有意义的条件，以及分式的值为零的条件，熟练掌握分式的性质是解本题的关键17（2022河北唐山八年级期末）由1+c3+c-13值的正负可以比较A=1+c3+c与13的大小，下列正确的是（ ）A当c=-3时，A=
13、13B当c=0时，A13C当c13D当c0时，A13【答案】C【分析】将c=3和0分别代入A中计算求值即可判断出选项A，B的对错；当c3和c0时计算1+c3+c-13的正负，即可判断出选项C，D的对错【详解】解：A选项，当c=3时，分式无意义，故该选项不符合题意；B选项，当c=0时，A=13，故该选项不符合题意；C选项，1+c3+c-13=3+3c33+c-3+c33+c =2c33+cc3，3+c0，c0，3(3+c)0，A13，故该选项符合题意；D选项，当c0时，3(3+c)的正负无法确定，A与13的大小就无法确定，故该选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了分式的求值，分式的加减法，通
14、过作差法比较大小是解题的关键18（2022北京市顺义区第五中学八年级期中）请从m2-1，mn-n，n+mn中任选两个构造成一个分式，并化简该分式你构造的分式是_，该分式化简的结果是_【答案】 m2-1n+mn（答案不唯一） m-1n【分析】任意选两个组成分式，再根据分式的基本性质化简分式即可【详解】解：可选择m2-1，n+mn构成分式m2-1n+mn，m2-1n+mn=m+1m-1nm+1=m-1n，故答案为：m2-1n+mn，m-1n【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质并正确化简是解答的关键19（2022上海市培佳双语学校八年级期中）如果二次根式x有意义，那么x应该满足的条
15、件是_【答案】x9【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，即可求解【详解】解：根据题意得：x-90且x0，解得：x9故答案为：x9【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键20（2022四川达州八年级期末）若代数式xx-2有意义，则实数x的取值范围是_【答案】x2【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可【详解】解：代数式xx-2有意义，x-20，即x2，故答案为：x2【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键21（2022河南南阳模拟预测）若分式1x-2有意义，则x _【答案】2【分析】分式有意义，
16、分母x-20，据此可以求得x的值【详解】当分母x-20，即x2时，分式1x-2有意义，故答案是：2【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键22（2022江苏扬州市邗江区梅苑双语学校模拟预测）当x满足_ 时，式子y=3x-1+2-x2x+1有意义【答案】-120，解得：-12x2故答案为：-1234#x0.75【分析】根据题意易得3-4x0，然后问题可求解【详解】解：由分式23-4x的值为负数，可知：3-4x34；故答案为x34【点睛】本题主要考查分式的值及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式的值及一元一次不等式的解法是解题的关键27（2022广东八年级单元测试）
17、已知：代数式22-m(1)当m为何值时，该式无意义？(2)当m为何整数时，该式的值为正整数？【答案】(1)m=2(2)m=1或0【分析】（1）根据分母等于0计算即可；（2）根据值为整数进行判断求解即可；【详解】（1）解：由题意得：2-m=0，解得：m=2；（2）解：代数式22-m的值为正整数，2-m=1或2-m=2，解得：m=1或0【点睛】本题主要考查了分式的值，准确分析，列出方程是解题的关键28（2022福建福州八年级期末）已知A=6x-53x-1，B=3x-1(1)当AB0时，求x的取值范围；(2)设y=A-2B当y=-12时，求x的值；若x为整数时，求y的正整数值【答案】(1)x56且x
18、13；(2)1；1或7【分析】（1）根据AB0，可得6x-50，再根据分式有意义的条件，即可求解；（2）先代入，可得y=6x-53x-1-23x-1=6x-73x-1，根据y=-12，可得到关于x的方程，即可求解；先变形为y=6x-73x-1=6x-2-53x-1=2-53x-1，再由x为整数，y为正整数，即可求解【详解】（1）解：AB0，6x-53x-13x-10，6x-50，x56，6x-53x-1为分式，3x-10，x13，x的取值范围为x0， 8x+1x-30，x-1x-3x+3x+1，故小强说的有道理【点睛】本题主要考查分式的应用，理解分式的性质，分式比较大小的方法是解题的关键考点2
19、：分式的运算例3.（2022上海金山七年级期末）计算：x-1-y-1x-2-y-2-xyx+y-1解：原式=1x-1y1x2-1y2-xyx+y =1x-1y1x+1y1x-1y-xyx+y=11x+1y-xyx+y=1x+yxy-xyx+y=xyx+y-xyx+y=0【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键例4.（2022山东烟台八年级期中）计算：(1)(x+3)2x+2x2+3xx+2-3x(2)x2+2x+1x+1+x2-4x+22x-1x+1解：（1）原式=(x+3)2x+2x+2x(x+3)-3x=x+3x-3x=x+3-3x=1（2）解：原式
20、=(x+1)2x+1+(x+2)(x-2)x+22x-1x+1=(x+1+x-2)2x-1x+1=(2x-1)x+12x-1=x+1例5.（2022山东泰安八年级期中）(1)化简1-2x-1x21-1x2；(2)先化简：x2+xx2-2x+12x-1-1x，再从-2x3的范围内选取一个你喜欢的x值代入求值解：（1）1-2x-1x21-1x2=x2-2x+1x2x2-1x2 =x-12x2x2x+1x-1=x-1x+1（2）解：原式=xx+1x-122x-x+1xx-1=xx+1x-12xx-1x+1=x2x-1，当x=2时，原式=222-1=4（x-1，1，0）知识点训练1（2022湖南株洲八
21、年级期末）下列各式中计算正确的是（ ）A2x3y6y2x2=2yxB3x2x-y+3xyy-x=3xC2+12-1=3D-22-323=2【答案】B【分析】根据分式乘法运算法则进行计算，判断A，根据分式加法运算法则进行计算，判断B，根据平方差公式进行计算，判断C，先算乘方，然后算减法进行计算，判断D【详解】解：A2x3y6y2x2=4yx，故A错误；B3x2x-y+3xyy-x=3x2x-y-3xyx-y=3x(x-y)x-y=3x，故B正确；C2+12-1=2-1=1，故C错误；D-22-323=2-2=0，故D错误；故选：B【点睛】本题考查分式的混合运算，理解分式的基本性质，掌握平方差公式
22、a+ba-b=a2-b2是解题关键2（2022河北辛集市辛集镇育红中学八年级期末）化简4a22a-b+b2b-2a的结果是（ ）A-2a+bB-2a-bC2a+bD2a-b【答案】C【分析】先将分式化成同分母，再计算分式的减法，最后化简分式即可【详解】原式=4a22a-b-b22a-b=4a2-b22a-b=(2a+b)(2a-b)2a-b=2a+b故选：C【点睛】本题考查了分式的加减法运算，根据运算法则将分式转化为同分母是解题关键3（2022安徽宣城十二中七年级期中）若ab=a-b0，则分式1a-1b与下面选项相等的是（ ）A1abBa-bC1D-1【答案】D【分析】把分式通分化简为-b-a
23、ab，然后整体代入约分即可【详解】解：ab=a-b01a-1b=b-aab=-a-bab=-1，故选：D【点睛】本题考查了分式的减法运算及整体代入求值，关键是把分式通分4（2022山东济南模拟预测）若1x-1y=1z，则z等于( )A x-y By-xxyCxyx-yDxyy-x【答案】D【分析】根据分式的运算，求解即可【详解】解：由1x-1y=1z可得y-xxy=1z，则z=xyy-x，故选D【点睛】此题考查了分式的运算，解题的关键是掌握分式运算的法则5（2022浙江宁波市鄞州实验中学模拟预测）已知a+1b=3a+3b0，则a+3b3a+b的值为_【答案】35#0.6【分析】根据题意得出a=
24、3b，再代入求值即可【详解】解：a+1b=3a+3b，3b(ab+1)=a(ab+1)，a+1b=ab+1b0，ab+10，a=3b，原式=3b+3b9b+b=35，故答案为：35【点睛】本题考查了分式的加减法以及分式有意义的条件，把条件变形得出a=3b是解本题的关键6（2022湖南省汉寿县教育研究室八年级期中）计算：a-4a-4aa2a-2=_【答案】a2-2a#-2a+a2【分析】先算括号里的，根据异分母分式减法运算法则计算，再对分子分母因式分解，最后根据分式乘法化简即可得到答案【详解】解：a-4a-4aa2a-2=a2a-4a-4aa2a-2=a2-4a+4aa2a-2=a-22aa2a
25、-2=aa-2=a2-2a【点睛】本题考查分式混合运算，涉及异分母分式减法运算、因式分解及分式乘法运算，熟练掌握相关运算法则及运算顺序是解决问题的关键7（2022上海测试编辑教研五七年级期中）计算，x2+x-6x-32x-64-4x+x2【答案】2x+6x-2【分析】根式分式的乘法运算法则，将分子分母的式子进行因式分解，然后约分即可【详解】解：x2+x-6x-32x-64-4x+x2=(x+3)(x-2)x-32(x-3)(x-2)2=2(x+3)x-2=2x+6x-2【点睛】题目主要考查分式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键8（2022北京东直门中学八年级期中）计算：xx2-y212x-
26、2yx+yx【答案】2【分析】先把能够分解因式的分子，分母分解因式，再把除法化为乘法，约分即可【详解】解：xx2-y212x-2yx+yx=xx+yx-y2x-y1x+yx =2【点睛】本题考查的是分式的乘除混合运算，掌握“分式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键9（2022上海金山七年级期末）计算：-xy2-yx31xy2【答案】-xy3【分析】先计算乘方运算，再把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可【详解】解：-xy2-yx31xy2=x2y2-y3x31x2y2=x2y2-y3x3x2y2=-xy3【点睛】本题考查了含乘方的分式乘除法，解本题的关键在熟练掌握其运算法则10（2022山东淄
27、博八年级期中）计算(1)a2a-1-a-1；(2)-a2bc3-c2a2bca4(3)先化简，再求值：3xx-2-xx+2xx2-4，在-2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值【答案】(1)1a-1(2)-a6bc3(3)2x+8，当x=1时，原式=10【分析】（1）根据分式的加减进行计算即可求解；（2）先算乘方，再将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解；（3）根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，然后根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件取舍，代入求值即可求解【详解】（1）a2a-1-a-1=a2a-1-(a+1)=a2a-1-(a+1)(a-1)a-1=a2-
28、a2+1a-1=1a-1；（2）-a2bc3-c2a22-bca4=-a6b3c3c4a4b4c4a4=-a6b3c3c4a4a4b4c4=-a10b3c4a4b4c7=-a6bc3；（3）解：3xx-2-xx+2xx2-4=3x(x+2)-x(x-2)(x-2)(x+2)x2-4x=2x(x+4)(x-2)(x+2)(x-2)(x+2)x=2(x+4)=2x+8当x=-2，0，2时，分式无意义当x=1时，原式=10【点睛】本题考查了分式的混合运算，以及化简求值，掌握分式的运算法则，准确的计算是解题的关键11（2022山东菏泽八年级期中）计算：(1)x2-16x+42x-84x(2)a2+2a
29、aaa2-4-2a-2【答案】(1)2x(2)1【分析】（1）先将除法转化为乘法，然后根据分式乘法法则计算即可；（2）先将分式进行因式分解，再进行约分化简计算即可【详解】（1）解：x2-16x+42x-84x=x+4x-4x+44x2x-4 =2x（2）解：a2+2aaaa2-4-2a-2=aa+2aaa+2a-2-2a-2 =aa-2-2a-2 =1【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，解题关键是理清运算顺序，掌握运算法则12（2022山东烟台八年级期中）（1）先化简，再求值：3x+2yx2-y2+xy2-x2的值，其中x=2+y（2）先化简，再求值：3a-1a+1-a+1a2-6a+9a+
30、1，从-1a3中选出合适的最小整数值代入求值【答案】（1）2x-y，1；（2）-aa-3，0【分析】（1）先根据同分母分式相加减法则计算，再把x=2+y代入，即可求解；（2）先计算括号内的，再计算除法，然后根据分式有意义的条件可得符合条件的最小整数为a=0，再代入，即可求解【详解】解：（1）原式=3x+2yx+yx-y-xx-yx+y=2x+yx+yx-y=2x-y，当x=2+y时，原式=22+y-y=1（2）原式=3a-1a+1-a-1a-32a+1=3a-1-a2+1a+1a+1a-32=-aa-3a+1a+1a-32=-aa-3a-1,3，当-1a3时，符合条件的最小整数为a=0，原式=
31、-00-3=0【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键13（2022上海测试编辑教研五七年级期中）若Ax+Bx2+x-2为最简分式，且对任意x的值，有Ax+Bx2+x-2=2x+a-cx+b，且a+b=c，求B的值【答案】B的值为-4或5【分析】将已知等式进行通分得出B=2b-ac，a+b=1，ab=-2，得出a=2，b=-1或a=-1，b=2，c=1，然后分情况代入求值即可【详解】解：Ax+Bx2+x-2=2x+a-cx+bAx+Bx2+x-2=2(x+b)-c(x+a)(x+a)(x+b)=(2-c)x+2b-acx2+(a+b)x+ab
32、B=2b-ac，a+b=1，ab=-2，a=2，b=-1或a=-1，b=2，a+b=c，c=1，B=2b-ac当a=2，b=-1，c=1时，B=-4；当a=-1，b=2，c=1时，B=5，综上得：B的值为-4或5【点睛】题目主要考查分式的化简及通分运算，熟练掌握分式的运算进行分类讨论是解题关键14（2022福建省福州第十九中学八年级期中）先化简，再求值x+1x2-1+x2-xx2-2x+1-1x-1，其中x=-2【答案】xx-1，23【分析】先把分子分母因式分解，再化简，然后把x=-2代入化简后的结果，即可求解【详解】解：x+1x2-1+x2-xx2-2x+1-1x-1=x+1x+1x-1+xx-1x-12-1x-1=1x-1+xx-1-1x-1=xx-1，当x=-2时，原式=-2-2-1=23【点睛】本题主要考查了分式的加减混合，熟练掌握分式的加减混合法则是解题的关键15（2022湖南邵阳八年级期中）某同学在学习的过程中，遇到这样的问题：求A=24122-1+132-1+142-1+1102-1的整数部分她百思而不得其解，于是向老师求助数学老师进行了深入浅出的讲解：观察算式可知，每个分母中的减