1、18.2.2菱形第1课时 菱形的性质一、教学目标1掌握的定义和性质及菱形面积的求法；2灵活运用菱形的性质解决问题二、教学重难点重点：掌握的定义和性质及菱形面积的求法；难点：灵活运用菱形的性质解决问题三、教学过程（一）情境导入将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形（二）合作探究探究点一：菱形的性质【类型一】 利用菱形的性质证明线段相等 如图，四边形ABCD是菱形，CEAB交AB延长线于E，CFAD交AD延长线于F.求证：CECF.解析：连接AC.根据菱形的性质可得AC平分DAB，再根据角平分线的性质可得CEFC.
2、证明：连接AC，四边形ABCD是菱形，AC平分DAB.CEAB，CFAD，CECF.方法总结：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等【类型二】 利用菱形的性质进行有关的计算 如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD5cm，OD3cm.过点C作CEDB，过点B作BEAC，CE与BE相交于点E.(1)求OC的长；(2)求四边形OBEC的面积解析：(1)在直角三角形OCD中，利用勾股定理即可求解；(2)利用矩形的定义即可证明四边形OBEC为矩形，再利用矩形的面积公式即可直接求解解：(1)四边形ABCD是菱形，ACBD.在
3、直角三角形OCD中，OC4(cm)；(2)CEDB，BEAC，四边形OBEC为平行四边形又ACBD，即COB90，平行四边形OBEC为矩形OBOD，S矩形OBECOBOC4312(cm2)方法总结：菱形的对角线互相垂直，则菱形对角线将菱形分成四个直角三角形，所以可以利用勾股定理解决一些计算问题【类型三】 运用菱形的性质证明角相等 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DHAB于H，连接OH，求证：DHODCO.解析：根据“菱形的对角线互相平分”可得ODOB，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得OHOB，OHBOBH，根据“两直线平行，内错角相等”求出OBHODC
4、，然后根据“等角的余角相等”证明即可证明：四边形ABCD是菱形，ODOB，COD90.DHAB，OH BDOB，OHBOBH.又ABCD，OBHODC，OHBODC.在RtCOD中，ODCDCO90.在RtDHB中，DHOOHB90，DHODCO.方法总结：本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键【类型四】 运用菱形的性质解决探究性问题 感知：如图，在菱形ABCD中，ABBD，点E、F分别在边AB、AD上若AEDF，易知ADEDBF.探究：如图，在菱形ABCD中，ABBD，点E、F分别在
5、BA、AD的延长线上若AEDF，ADE与DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由拓展：如图，在ABCD中，ADBD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD的延长线上若AEDF，ADB50，AFB32，求ADE的度数解析：探究：ADE与DBF全等，利用菱形的性质首先证明三角形ABD为等边三角形，再利用全等三角形的判定方法即可证明ADEDBF；拓展：因为点O在AD的垂直平分线上，所以OAOD，再通过证明ADEDBF，利用全等三角形的性质即可求出ADE的度数解：探究：ADE与DBF全等四边形ABCD是菱形，ABAD.ABBD，ABADBD，ABD为等边三角形，
6、DABADB60，EADFDB120.AEDF，ADEDBF；拓展：点O在AD的垂直平分线上，OAOD.DAOADB50，EADFDB130.AEDF，ADDB，ADEDBF，DEAAFB32，EDAOADDEA18.方法总结：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质的综合运用，解题时一定要熟悉相关的基础知识并进行联想探究点二：菱形的面积 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BAD120，AC4，则该菱形的面积是()A16B8C4D8解析：四边形ABCD是菱形，ABBC，OAAC2，OBBD，ACBD，BADABC180.BAD120，ABC60，AB
7、C是等边三角形，ABAC4，OB2，BD2OB4，S菱形ABCDACBD448.故选B.方法总结：菱形的面积有三种计算方法：将其看成平行四边形，用底与高的积来求；对角线分得的四个全等三角形面积之和；两条对角线的乘积的一半四、板书设计1菱形的性质菱形的四边条都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角2菱形的面积S菱形边长对应高ab(a，b分别是两条对角线的长)五、教学反思通过剪纸活动让学生主动探索菱形的性质，大多数学生能全部得到结论，少数需要教师加以引导但是学生得到的结论，有一些是他们的猜想，是否正确还需要证明，因此问题就上升到证明这个环节在整个新知生成过程中，探究活动起
8、了重要的作用课堂中学生始终处于观察、比较、概括、总结和积极思维状态，切身感受到自己是学习的主人为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础，更增强了敢于实践，勇于探索，不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气第2课时 菱形的判定一、教学目标1掌握菱形的判定方法；(重点)2探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算(难点)二、教学过程（一）情境导入我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形除此之外，还能找到其他的判定方法吗？菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1两条对角线互相垂直平分；2四条边都相等；3每条对
9、角线平分一组对角这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？（二）合作探究探究点一：菱形的判定【类型一】 利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形 如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE2DE，延长DE到点F，使得EFBE，连接CF.求证：四边形BCFE是菱形解析：由题意易得，EF与BC平行且相等，四边形BCFE是平行四边形又EFBE，四边形BCFE是菱形证明：BE2DE，EFBE，EF2DE.D、E分别是AB、AC的中点，BC2DE且DEBC，EFBC.又EFBC，四边形BCFE是平行四边形又EFBE，四边形BCFE是菱形方法总结：菱形必须满足两个条件：一是
10、平行四边形；二是一组邻边相等【类型二】 利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形 如图，AEBF，AC平分BAD，且交BF于点C，BD平分ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：(1)ACBD；(2)四边形ABCD是菱形解析：(1)证得BAC是等腰三角形后利用“三线合一”的性质得到ACBD即可；(2)首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直”得到平行四边形是菱形证明：(1)AEBF，BCACAD.AC平分BAD，BACCAD，BCABAC，BAC是等腰三角形BD平分ABC，ACBD；(2)BAC是等腰三角形，ABCB.BD平分ABC，CBDABD.AEBF，
11、CBDBDA，ABDBDA，ABAD，DACB.BCDA，四边形ABCD是平行四边形ACBD，四边形ABCD是菱形方法总结：用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形【类型三】 利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形 如图，已知ABC，按如下步骤作图：分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；过C作CFAB交PQ于点F，连接AF.(1)求证：AEDCFD；(2)求证：四边形AECF是菱形解析：(1)由作图知PQ为线段AC的垂直
12、平分线，从而得到AECE，ADCD.然后根据CFAB得到EACFCA，CFDAED，利用“AAS”证得两三角形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AECF.然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到ECEA，FCFA.从而得到ECEAFCFA，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF为菱形证明：(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，AECE，ADCD.CFAB，EACFCA，CFDAED.在AED与CFD中，AEDCFD(AAS)；(2)AEDCFD，AECF.EF为线段AC的垂直平分线，ECEA，FCFA，ECEAFCFA，四边形AECF为菱形方法总结：判定一个四边形是菱形把握以下
13、两起点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定探究点二：菱形的判定的应用【类型一】 菱形判定中的开放性问题 如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是BAD和BCD的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是_(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)解析：ADBC，FADAFB.AF是BAD的平分线，BAFFAD，BAFAFB，ABBF.同理EDCD.ADBC，ABCD，AECF.又AECF，四边形AECF是平行四边形对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则添加的一个条件可以是ACEF.方法总结：菱形的判定方法常用
14、的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形【类型二】 菱形的性质和判定的综合应用 如图，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF.(1)求证：BACDAC，AFDCFE；(2)若ABCD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使得EFDBCD，并说明理由解析：(1)首先利用“SSS”证明ABCADC，可得BACDAC.再证明ABFADF，可得AFDAFB，进而得到AFDCFE；(2)首先证明CADACD，再根据“等角对等边”，可得ADCD.再由条件ABAD，CBCD，可得AB
15、CBCDAD，可得四边形ABCD是菱形；(3)首先证明BCFDCF，可得CBFCDF，再根据BECD可得BECDEF90，进而得到EFDBCD.(1)证明：在ABC和ADC中，ABCADC(SSS)，BACDAC.在ABF和ADF中，ABFADF(SAS)，AFDAFB.AFBCFE，AFDCFE；(2)证明：ABCD，BACACD.又BACDAC，CADACD，ADCD.ABAD，CBCD，ABCBCDAD，四边形ABCD是菱形；(3)解：当EBCD于E时，EFDBCD.理由如下：四边形ABCD为菱形，BCCD，BCFDCF.在BCF和DCF中，BCFDCF(SAS)，CBFCDF.BECD，BECDEF90，则BCDCBFEFDCDF90，EFDBCD.方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具三、板书设计1菱形的判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形2菱形的性质和判定的综合运用四、教学反思在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用