1、18.2.3正方形第1课时 正方形的性质一、教学目标1掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算；(重点)2理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别(难点)二、教学过程（一）情境导入做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系问题：什么样的四边形是正方形？（二）合作探究探究点一：正方形的性质【类型一】 特殊平行四边形的性质的综合 菱形，矩形，正方形都具有的性质是()A对角线相等且互相平分B对角线相等且互相垂直平分C对角线互相平分D四条边相等，四个角相等解析：选项A不正确，菱形的对角线不相等；选项B不正确，菱形的
2、对角线不相等，矩形的对角线不互相垂直；选项C正确，三者均具有此性质；选项D不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相等故选C.方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质【类型二】 利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题 如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分BAC，EFAC于点F.(1)求证：BECF；(2)求BE的长解析：(1)由角平分线的性质可得到BEEF，再证明CEF为等腰直角三角形，即可证BECF；(2)设BEx，在CEF中可表示出CE.由BC1，可列出方程，即可求得BE.(1)证明：四边形ABCD为正方形，B90.EFAC，EFA90.AE平
3、分BAC，BEEF.又AC是正方形ABCD的对角线，AC平分BCD，ACB45，FECFCE45，EFFC，BECF；(2)解：设BEx，则EFCFx，CE1x.在RtCEF中，由勾股定理可得CEx.x1x，解得x1，即BE的长为1.方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决【类型三】 利用正方形的性质解决角的计算或证明问题 在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF的中点连接BE、CE、AE.(1)求证：AEBDEC；(2)当EBBC时，求AFD的度数解析：(1)根据“
4、正方形的四条边都相等”可得ABCD，根据“正方形每一个角都是直角”可得BADADC90，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AEEFDEDF，根据“等边对等角”可得EADEDA，再得出BAECDE，然后利用“SAS”证明即可；(2)根据“全等三角形对应边相等”可得EBEC，再得出BCE是等边三角形根据等边三角形的性质可得EBC60，然后求出ABE30.再根据“等腰三角形两底角相等”求出BAE，然后根据“等边对等角”可得AFDBAE.(1)证明：在正方形ABCD中，ABCD，BADADC90.点E为DF中点，AEEFDEDF，EADEDA.BAEBADEAD，CDEADCEDA，B
5、AECDE.在AEB和DEC中，AEBDEC(SAS)；(2)解：AEBDEC，EBEC.EBBC，EBBCEC，BCE是等边三角形，EBC60，ABE906030.EBBCAB，BAE(18030)75.又AEEF，AFDBAE75.方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段等探究点二：正方形性质的综合应用【类型一】 利用正方形的性质解决线段的倍、分、和、差关系 如图，AE是正方形ABCD中BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E，AC、BD相交于O.求证：(1)BEBF；(2)OFCE.解析：(1)根据正方形
6、的性质可求得ABEAOF90.由于AE是正方形ABCD中BAC的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得AFOAEB.根据“对顶角相等”即可求得BFEAEB，BEBF；(2)连接O和AE的中点G.根据三角形的中位线的性质即可证得OGBC，OGCE.根据平行线的性质即可求得OGFFEB，从而证得OGFAFO，OGOF，进而证得OFCE.证明：(1)四边形ABCD是正方形，ACBD，ABEAOF90，BAEAEBCAEAFO90.AE是BAC的平分线，CAEBAE，AFOAEB.又AFOBFE，BFEAEB，BEBF；(2)连接O和AE的中点G.AOCO，AGEG，OGBC，OGCE，OGFFEB.
7、AFOAEB，OGFAFO，OGOF，OFCE.方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决【类型二】 有关正方形性质的综合应用题 如图，正方形AFCE中，D是边CE上一点，B是CF延长线上一点，且ABAD，若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是_cm.解析：四边形AFCE是正方形，AFAE，EAFCAFB90.在RtAED和RtAFB中，RtAEDRtAFB(HL)，SAEDSAFB.S四边形ABCD24cm2，S正方形AFCE24cm2，AEEC2cm.
8、根据勾股定理得AC4(cm)故答案为4.方法总结：在解决与面积相关的问题时，可通过证三角形全等实现转化，使不规则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积，从而解决问题三、板书设计1正方形的定义和性质四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角2正方形性质的综合应用四、教学反思通过学生动手操作得出的结论归纳矩形和菱形的性质，继而得到正方形的性质，激起了学生的学习热情和兴趣创设有意义的数学活动，使枯燥乏味的数学变得生动活泼让学生觉得学习数学是快乐的，使学生保持一颗健康、好学、进取的心及一份浓厚的学习兴趣18.
9、2.3正方形的判定一、教学目标1掌握正方形的判定条件；(重点)2能熟练运用正方形的性质和判定进行有关的证明和计算(难点)二、教学过程（一）情境导入老师给学生一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形小明剪完后，这样检验它：比较了边的长度，发现4条边是相等的，小明就判定他完成了这个任务这种检验可信吗？小兵用另一种方法检验：量对角线，发现对角线是相等的，小兵就认为他正确地剪出了正方形这种检验对吗？小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形你的意见怎样？你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？（二）合作探究探究点一：正方形的判定【类型一】 利用
10、“一组邻边相等的矩形是正方形”证明四边形是正方形 如图，在RtABC中，ACB90，CD为ACB的平分线，DEBC于点E，DFAC于点F.求证：四边形CEDF是正方形解析：要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可证明：CD平分ACB，DEBC，DFAC，DEDF，DFC90，DEC90.又ACB90，四边形CEDF是矩形DEDF，矩形CEDF是正方形方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形【类型二】 利用“有一个角是直角的菱形是正方形”证明四边形是正方形 如图，在四边形ABFC中，ACB90，BC的垂直平分线EF交BC于
11、点D，交AB于点E，且CFAE.(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；(2)当A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BEEC，BFFC.又CFAE，可证BEECBFFC.根据“四边相等的四边形是菱形”，四边形BECF是菱形；(2)菱形对角线平分一组对角，即当ABC45时，EBF90，有菱形为正方形根据“直角三角形中两个角锐角互余”得A45.解：(1)四边形BECF是菱形理由如下：EF垂直平分BC，BFFC，BEEC，31.ACB90，3490，1290，24，ECAE，BEAE.C
12、FAE，BEECCFBF，四边形BECF是菱形；(2)当A45时，菱形BECF是正方形证明如下：A45，ACB90，345，EBF2390，菱形BECF是正方形方法总结：正方形的判定方法：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；还可以先判定四边形是平行四边形，再用判定定理1或判定定理2进行判定探究点二：正方形的判定的应用【类型一】 正方形的性质和判定的综合应用 如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AFBPCQDE.求证：(1)EFFPPQQE；(2)四边形EFPQ是正方形解析：(1)证明APFDFECEQBQ
13、P，即可证得EFFPPQQE；(2)由EFFPPQQE，可判定四边形EFPQ是菱形，又由APFBQP，易得FPQ90，即可证得四边形EFPQ是正方形证明：(1)四边形ABCD是正方形，ABCD90，ABBCCDAD.AFBPCQDE，DFCEBQAP.在APF和DFE和CEQ和BQP中，APFDFECEQBQP(SAS)，EFFPPQQE；(2)EFFPPQQE，四边形EFPQ是菱形APFBQP，AFPBPQ.AFPAPF90，APFBPQ90，FPQ90，四边形EFPQ是正方形方法总结：此题考查了正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质注意解题的关键是证得APFDFECEQBQP.【类型
14、二】 与正方形的判定有关的综合应用题 如图，ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角ACG的平分线于点F，连接AE、AF.(1)求证：ECF90；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；(3)在(2)的条件下，要使四边形AECF为正方形，ABC应该满足条件：_(直接添加条件，无需证明)解析：(1)由CE、CF分别平分BCO和GCO，可推出BCEOCE，GCFOCF，则ECF18090；(2)由MNBC，可得BCEOEC，GCFOFC，可推出OECOCE，OFCOCF，得出EOCOFO，点O运动到AC的中点时，则EOC
15、OFOAO，这时四边形AECF是矩形；(3)由已知和(2)得到的结论，点O运动到AC的中点时，且ABC满足ACB为直角时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，因而四边形AECF是正方形(1)证明：CE平分BCO，CF平分GCO，OCEBCE，OCFGCF，ECF18090；(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形理由如下：MNBC，OECBCE，OFCGCF.又OCEBCE，OCFGCF，OCEOEC，OCFOFC，EOCO，FOCO，OEOF.又当点O运动到AC的中点时，AOCO，四边形AECF是平行四边形ECF90，四边形AECF是矩形(3)ACB90.方法总结：在解决正方形的判定问题时，可从与其判定有关的其他知识点入手，例如等腰三角形，平行线和角平分线从中发现与正方形有关联的条件求解三、板书设计1正方形的判定方法一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形2正方形性质和判定的应用四、教学反思本节课采用探究式教学，让学生产生学习兴趣，通过实践活动调动学生的积极性，给学生动手操作的机会，变被动为主动学习，引导通过感官的思维去观察、探究、分析知识形成的过程，以此深化知识、更深刻理解知识、主动获取知识，养成良好的学习习惯