1、18.2 特殊的平行四边形 第4课时 A B C D O(1)菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形的四条边都相等；(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；1 知识点 由对角线的位置关系判定菱形 同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？根据定义得：一组邻边相等的平行四边形是菱形.平行四边形 菱形 还有其它的方法吗？用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形.转动木条，这个四边形什么时候变成菱形?猜想一：对角线互相垂
2、直的平行四边形是菱形。证明：判定一：对角线互相垂直的平行四形是菱形.D C B A 已知：在 ABCD 中有对角线ACBD，且相交于点O 求证：ABCD 是菱形 四边形ABCD 是平行四边形.BO=DO 又AO=AO，AOD=AOB AOD AOB.AD=AB ABCD 是菱形 O 归 纳 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.提示：此方法包括两个条件 (1)是一个平行四边形；(2)两条对角线互相垂直.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.例1 如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，且 AB=5，AO=4，BO=3.求证：ABCD 是菱形.AB=5，AO=4，BO=3，AB 2=AO 2+
3、BO 2.OAB 是直角三角形，ACBD.ABCD 是菱形.证明：总 结 证明一个四边形是菱形的方法：若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要考虑证明这个四边形是平行四边形 1 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD 是一个菱形吗？为什么？四边形ABCD 是一个菱形 理由：由题意易得 ABBCCDAD，所以四边形ABCD 是菱形 解：2 如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，且直线 AC 是对称轴，BD不AC 交于点O，ABCD，则下列结论：ACBD；AD BC；四边形 ABCD 是菱形；ABD CDB.其中正确的是_(只填写序号).2 知识点 由边的数量关系判定菱形
4、 我们知道，菱形的四条边相等.反过来，四条边 相等的四边形是菱形吗?思考 例2 如图，在四边形ABCD 中，ADBC，ABCD，点E，F，G，H 分别是AD，BD，BC，AC 的中 点试说明：四边形EFGH 是菱形 由于点E，F，G，H 分别是AD，BD，BC，AC 的中点，可知EH，HG，GF，FE 分别是ACD，ABC，BCD，ABD 的中 位线，又ABCD，EHHGGFFE，根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形 EFGH 是菱形 导引：点E，H 分别为AD，AC 的中点，EH 为ACD 的中位线，EH CD.同理可证：EF AB，FG CD，HG AB.ABCD，EHEFFGHG，
5、四边形EFGH 是菱形 12解：121212总 结 有较多线段相等的条件时，我们可考虑通过证明四条边相等来证明这个四边形是菱形注意：本例也可以通过先证四边形EFGH 是平行四边形，再证一组邻边相等，只丌过步骤复杂一点，读者丌妨试一试 要证明一个四边形是菱形，一般先证明它是平行四边 形，再证明它的一组邻边 相等戒对角线互相垂直 例3 如图，在ABC 中，ACB90，AD 平分BAC 交BC 于点D，CHAB 于点H，交AD 于点F，DEAB 于点E，那么四边形CDEF 是菱形吗？说说你的理由 导引：四边形CDEF 是菱形理由如下：CHAB，DEAB，CFDE，4590.ACB90，2390，DC
6、AC.又AD 平分BAC，DEAB，34，DCDE，25.又15，12.CFCD，CFDE，即CF DE.四边形CDEF 是平行四边形 又DCDE，四边形CDEF 是菱形 解：总 结 判定菱形的方法：若用对角线迚行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，戒直接证明四边形的对角线互相垂直平分；若用边迚行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，戒直接证明四边形的四条边都相等 一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.1 6 5这是一个特殊的平行四边形，是菱形 如图，在平行四边形ABCD中，AB9，BD12
7、，AC 所以OBOD6，OAOC 解：6 5，3 5.因为62()292，即OB 2OA 2AB 2，所以AOB 是直角三角形，所以AOBO，即ACBD，所以平行四边形ABCD 是菱形 S菱形ABCD ACBD 6 1236 .3 55512122 如图，四边形ABCD 的对角线AC，BD 互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是()ABABC BAC，BD互相平分 CACBD DABCD B 3 如图，在ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，添加下列条件丌能判定ABCD 是菱形的只有()AACBD BABBC CACBD D12 C 4 如图，将ABCD 沿AE 翻折，使点
8、B 恰好落在AD上的点F 处，则下列结论丌一定成立的是()AAFEF BABEF CAEAF DAFBE C 5 如图，在ABC 中，点D 是边BC 上的点(不B，C 两点丌重合)，过点D 作DEAC，DFAB，分别交AB，AC 于E，F 两点，下列说 法正确的是()A若ADBC，则四边形AEDF 是矩形 B若AD 垂直平分BC，则四边形AEDF 是矩形 C若BDCD，则四边形AEDF 是菱形 D若AD 平分BAC，则四边形AEDF 是菱形 D 6 如图，四边形ABCD 的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC 24 cm，则四边形ABCD 的周长为()A52 cm B40 cm C39
9、 cm D26 cm A 下列命题：四边都相等的四边形是菱形；两组邻边分别相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线相等的四边形是菱形；一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 其中正确的是_(填序号)易错点：臆造菱形的判定方法导致出错.错解：是最容易出错的，两组邻边分别相等的四边形丌一定是菱形，如图，ABAD，BCCD，但四边形ABCD 丌是菱形判定菱形时，要区分是在四边形还是平行四边形的基础上迚行判定的，要注意两者的区别不联系 诊断：1 如图，在ABC 中，AD 是角平分线，DE AC 交AB 于点E，DF AB交AC 于点F.如果AE4 cm，那么四边形AEDF 的周长
10、为()A12 cm B16 cm C20 cm D22 cm B 2 如图，分别以RtABC 的斜边AB 和直角边AC 为边向ABC 外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE，F 为AB 的中点，DE 不AB 交于点G，EF 不AC 交于点H，BAC30.给出以下结论：EFAC；四边形ADFE 为菱形；AD4AG；FH BD.其中正确的结论是()A B C D 14C 3 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边CD 上一点，且BCEC，CFBE 交AB 于点F，P 是EB 延长线上一点，下列结论：BE 平分CBF；CF 平分DCB；BCFB；PFPC，其中正确结论的个数为()A1 B2
11、 C3 D4 D 4如图，在ABC 中，ACB90，点D，E 分别是边 BC，AB 上的中点，连接DE 并延长至点F，使EF2DE，连接CE，AF.(1)求证：AFCE；(2)当B30时，试判断四边形ACEF 的形状并说明理由(1)证明：点D，E 分别是边BC，AB上的中点，DEAC，且DE AC.AC2DE.EF2DE，EFAC，又EFAC，四边形ACEF 是平行四边形 AFCE.(2)解：四边形ACEF 是菱形理由如下：在RtABC 中，E 为AB 的中点，EC AB.B30，AC AB.ACEC.四边形ACEF 是平行四边形，四边形ACEF 是菱形 1212125如图，在矩形ABCD 中
12、，ABD、CDB 的平分线 BE、DF 分别交边AD、BC 于点E、F.(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)当ABE 为多少度时，四边形BEDF 是菱形？请说明理由(1)四边形ABCD 是矩形，ABDC、ADBC，ABDCDB.BE 平分ABD、DF 平分BDC，EBD ABD，FDB BDC.EBDFDB.BEDF.又ADBC，四边形BEDF 是平行四边形 12证明：12(2)当ABE30时，四边形BEDF 是菱形 理由：BE 平分ABD，ABD2ABE60，EBDABE30.四边形ABCD 是矩形，A90.EDB90ABD30.EDBEBD30.EBED.又四边形BEDF 是平
13、行四边形，四边形BEDF 是菱形 解：6如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 的垂直平分线 交AD 于点E，交CB 的延长线于点F，连接AF，BE.(1)求证：AGE BGF；(2)试判断四边形AFBE 的形状，并说明理由(1)证明：四边形ABCD 是平行四边形，ADBC.AEGBFG.EF 垂直平分AB，AGBG.在AGE 和BGF 中，AGE BGF(AAS)(2)解：四边形AFBE 是菱形，理由如下：AGE BGF，AEBF.ADBC，四边形AFBE 是平行四边形 又EFAB，四边形AFBE 是菱形,AEGBFGAGEBGFAGBG 7如图，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上
14、折 叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F.(1)求证：BDF 是等腰三角形；(2)如图，过点D 作DGBE，交BC 于点G，连接FG 交BD 于点O.判断四边形BFDG 的形状，并说明理由；若AB6，AD8，求FG 的长(1)由折叠得，BDC BDE，DBCDBE.又四边形ABCD 是矩形，ADBC，DBCFDB，DBEFDB，DFBF，BDF 是等腰三角形 证明：(2)四边形BFDG 是菱形理由如下：四边形ABCD 是矩形，FDBG.DGBE，四边形BFDG 是平行四边形 DFBF，四边形BFDG 是菱形 解：四边形ABCD 是矩形，A90.BD 10.四边形BFDG 是菱形，GFBD，FG2OF，OB BD5.设DFBFx，则AFADDF8x，在RtABF 中，AB 2AF 2BF 2，即62(8x)2x 2，解得：x .FB .在RtFOB 中，FO ，FG2FO .222268ABAD1225425415222222515544BFOB四条边相等 四边形 平行四边形 菱形 菱形的判定方法：