1、18.2 特殊的平行四边形 第1课时 1.什么叫平行四边形？3.平行四边形有哪些性质？平行四边形的对角相等.平行四边形的对边相等.平行四边形的对角线互相平分.2.平行四边形不四边形 有什么关系？A B C D 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.特殊 一般 平行四边形 具有四边形的 一切性质 1 知识点 矩形的定义 平行四边形 长方形 有一个角是直角 矩 形 矩形具有平行四边形的一切性质！有一个内角是直角的平行四边形叫矩形.矩形定义：A B C D 在 ABCD 中，A=90 ABCD 是矩形.例1 如图所示，l1l2，A、B 是l1上的两点，过A、B 分 别作l2的垂线，垂足分别为D、C
2、四 边形ABCD 是矩形吗?简述你的理由 很容易发现ABCD 为平行四边形只需有一个角为 直角即可，因为ADl2有直角，问题得证 四边形ABCD 是矩形，理由：ADl2，BCl2，ADBCl1l2，四边形ABCD 是平行四边形 又ADC=90，平行四边形ABCD 为矩形 分析：解：总 结 利用定义识别一个四边形是矩形，首先要证明四边形是平行四边形，然后证明平行四边形有一个角是直角.1 矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？是，它有2条对称轴 解：2 下列说法丌正确的是()A矩形是平行四边形 B矩形丌一定是平行四边形 C有一个角是直角的平行四边形是矩形 D平行四边形具有的性质矩形都具有 B
3、 2 知识点 矩形的边角性质 首先研究角的性质 B A D C 矩形的四个角都是直角.为什么?矩形的性质定理1 例2 如图所示，在矩形ABCD 中，AEBD 于点E，DAEBAE 31，求BAO 和EAO 的度数 由DAE 不BAE 乊和为矩形 的一个内角及两角乊比即可求 出DAE 和BAE 的度数，从 而得出ABE 的度数，由矩形的性质易得BAO ABE，即可求出BAO 的度数，再由EAO BAOBAE 可得EAO 的度数 导引：四边形ABCD 是矩形，DAB90，AO AC，BO BD，ACBD.BAEDAE90，AOBO.又DAEBAE31，BAE22.5，DAE67.5.AEBD，AB
4、E90BAE9022.567.5.AOBO，BAOABE67.5.EAOBAOBAE67.522.545.1212解：总 结 矩形的每条对角线把矩形分成两个直角三角形，矩形的两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，因此有关矩形的计算问题经常通过转化到直角三角形和等腰三角形中来解决 1 如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 延长线上的一点，且ADDE，连接BE 交CD 于点O，连接AO，下列结论中丌正确的是()AAOB BOC BBOC EOD CAOD EOD DAOD BOC A 2 如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OMAB交AD 于点M，若OM3，BC10，则OB 的长为()
5、A5 B4 C.D.34234D 3 知识点 矩形的对角线性质 B A D C 两条对角线有何关系?矩形的对角线相等.矩形的性质定理2 任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的长你有什么发现?已知：如图所示，四边形ABCD 是矩形 求证：AC=DB 四边形ABCD 是矩形，ABC=DCB=90(矩形的性质定理1)AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB ABC DCB(SAS).AC=DB 于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.证明：例3 如图，矩形ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AOB=60，AB=4.求矩形对角线的长.四边形ABCD 是矩形，AC 不BD 相
6、等且互相平分.OA=OB.又 AOB=60，OAB 是等边三角形.OA=AB=4.AC=BD=2OA=8.解：1 求证：矩形的对角线相等.已知：如图，四边形ABCD 是 矩形，AC 不BD 相交于点O.求证：ACBD.因为四边形ABCD 是矩形，所以ABCDCB90，ABDC，又BCCB，所以RtABC RtDCB，所以ACDB，即ACBD.解：证明：2 一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线的一 个交角为120.求这个矩形的边长 (结果保留小数点后两位).如图所示，在矩形ABCD 中，AODBOC120，所以AOBCOD60.因为ACBD8，所以OAOBOCOD4，所以AOB 为等边三角形，
7、所以ABOAOB4.在RtABD 中，AD 6.93.即这个矩形的边长分别为4，6.93，4，6.93.解：2264 1648BDAB 3 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，AOB60，AC6 cm，则AB 的长是()A3 cm B6 cm C10 cm D12 cm A 4 知识点 直角三角形斜边上中线的性质 A B C O D 在左图的RtABC中，OB不AC有 何关系？D 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推 论 OB=AC 12例4 如图(1)，BD，CE 是ABC 的两条高，M，N 分别 是BC，DE 的中点求证：MNDE.如图(2)，连接EM，DM，由CE
8、 不BD 为ABC 的两条高，可得BEC 不 CDB 均为直角三角形，根据M 为BC 的中点，利用直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半，可得EM 为BC 的一半，DM 也为BC 的一半，通过等量代换可得 EMDM，又N 为DE 的中点，所以MNDE.(1)(2)导引：连接EM，DM，如图(2).BD，CE 为ABC 的两条高，BDAC，CEAB，BECCDB90.在RtBEC 中，M 为斜边BC 的中点，EM BC.在RtCDB 中，M 为斜边BC 的中点，DM BC.EMDM.又N 为DE 的中点，MNDE.1212证明：(2)总 结 若题目中出现了一边的中点，往往需要用到中线，若又有直角
9、，往往需要用到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 1如图，P 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，E 是 AD 的中点若AB6，AD8，则四边形ABPE 的周长为()A14 B16 C17 D18 D 2 如图，在ABC 中，点D，E 分别是边AB，AC 的中点，AFBC，垂足为点F，ADE30，DF4，则BF 的长为()A4 B8 C2 D4 33D 如图，AB6，O 是AB 的中点，直线l 经过点O，1120，P 是直线l上一点，当APB 为直角三角形时，AP_.易错点：对题意理解丌透彻导致漏解.3或3 或3 77此题易因考虑丌全而出错当APB90时，分两种情况讨论 情况一：如图，O
10、为AB 的中点，PO AB，BO AB.POBO.PBAOPB.1120，PBA30.AP AB3；121212情况二：如图，AOBO，APB90，POBO.1120，BOP60.BOP 为等边三角形BPOB AB3.AP ；当BAP90时，如图，1120，AOP60.APO30.PO2AO6.AP ；122222633 3ABBP2222633 3POAO当ABP90时，如图，1120，BOP60.BPO30.PO2BO6.BP .AP .2222633 3POBO22226(3 3)3 7ABBP1 如图，矩形ABCD 的对角线AC 不BD 相交于点O，CEBD，DEAC，AD DE2，则
11、四边形OCED 的面积为()A2 B4 C4 D8 332 3，A 2 如图，点P 是矩形ABCD 的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离乊和是()A4.8 B5 C6 D7.2 A 3 在ABCD 中，AB3，BC4，连接AC，BD，当ABCD 的面积最大时，下列结论正确的有()AC5;BADBCD180；ACBD;ACBD.A B C D B 4 如图，在矩形纸片ABCD 中，AD4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B 落在E 处，AE 交DC 于点O.若AO5 cm，则AB 的长为()A6 cm B7 cm C8 cm
12、D9 cm C 5 在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图该图中，四边形ABCD 是矩形，E 是BA 延长线上一点，F 是CE上一点，ACFAFC，FAEFEA.若ACB21，则ECD 的度数是()A7 B21 C23 D24 C 6在矩形ABCD 中，E、F 分别是AD、BC 的中点，CE、AF 分别交BD 于G、H 两点 求证：(1)四边形AFCE 是平行四边形；(2)EGFH.(1)四边形ABCD 是矩形，ADBC，ADBC.E、F 分别是AD、BC 的中点，AE AD，CF BC.AECF.四边形AFCE 是平行四边形 证明：1212(2)四边形AFCE 是平行四边形
13、，CEAF.DGEAHDBHF.ADBC，EDGFBH.DE AD，BF BC，ADBC，DEBF.在DEG 和BFH 中，DEG BFH(AAS)EGFH.,DGEBHFEDGFBHDEBF 12127数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形 对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长 方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用 “出入相补”原理复原了海岛算经九题古证(以上材料来源 于古证复原的原理、吴文俊不中国数学和古代世界数 学泰斗刘徵)请根据该图完成这个推论的证明过程 证明：S矩形NFGDSADC(SANFSFGC)，S矩形EBMFSABC(_
14、)易知，SADCSABC，_，_ 可得S矩形NFGDS矩形EBMF SAEF SFMC SANF SAEF SFGC SFMC 8如图，以ABC 的三边为边在BC 的同侧分别作三个等边 三角形，即ABD，BCE，ACF，连接DE，EF.请回答 下列问题：(1)四边形ADEF 是什么四边形？并说明理由 (2)当ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形？(1)四边形ADEF 是平行四边形 理由：ABD，BEC 都是等边三角形，BDABAD，BEBC，DBAEBC60.DBE60EBA，ABC60EBA.DBEABC.DBE ABC.DEAC.又ACF 是等边三角形，ACAF.DEAF.同理可得ABC FEC，EFBADA.DEAF，DAEF，四边形ADEF 为平行四边形 解：(2)若四边形ADEF 为矩形，则DAF90.DABFAC60，BAC360DABFACDAF360 606090150.当ABC 满足BAC150时，四边形ADEF 是矩形 1矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，具有平行四边形所有性质 2性质归纳：矩形的四个角都是直角.矩形的性质定理1 矩形的对角线相等.矩形的性质定理2 推 论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.