1、17.2 勾股定理的逆定理 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a 2b 2c 2 1 知识点 逆命题、逆定理 1.如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题称为互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题 2如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一 个定理，称其为原定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理 导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题 的题设和结论互换，写出原命题的逆命题，最后判 断逆命题的真假 例1 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题 的真假：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；(2)如果ab，
2、那么a 2b 2；(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；(4)如果ab0，那么a0，b0.解：(1)原命题是真命题逆命题为：如果两条直线只有 一个交点，那么它们相交逆命题是真命题 (2)原命题是假命题逆命题为：如果a 2b 2，那么ab.逆命题是假命题 (3)原命题是真命题逆命题为：如果两个数的和为 零，那么它们互为相反数逆命题是真命题 (4)原命题是假命题逆命题为：如果a0，b0，那么ab0.逆命题是真命题 总 结 写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论，然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命题的逆命题判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出一个反例
3、就可以了 1 说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3)全等三角形的对应角相等；(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.(1)逆命题：内错角相等，两条直线平行逆命题 成立(2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这 两个实数相等逆命题丌成立(3)逆命题：三个角对应相等的两个三角形全等 逆命题丌成立(4)逆命题：角的平分线上的点到角两边的距离相 等逆命题成立 解：下列说法正确的是()A每个定理都有逆定理 B每个命题都有逆命题 C原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 D真命题的逆命题是真命题 2
4、B 已知下列命题：若ab，则acbc；若a1，则 a；内错角相等其中原命题不逆命题均为真命题的个数是()A0 B1 C2 D3 3 aA 2 知识点 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a 2+b 2=c 2 勾股定理 如果三角形的三边长a、b、c 满足 那么这个三角形是直角三角形.a 2+b 2=c 2 互逆定理 例2 判断由线段a，b，c 组成的三角形是丌是直角三角形：(1)a=15，b=8，c=17；(2)a=13，b=14，c=15.分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是丌是直 角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最
5、大边长的平方.解：(1)因为 152+82=225+64=289,172=289，所以152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.(2)因为132+142=169+196=365，152=225，所以132+142 152，根据勾股定理，这个三角形丌是直角三角形.总 结 判断一个三角形是丌是直角三角形有两种方法：(1)利用定义，即如果已知条件不角度有关，可借助三角形的内角和定理判断；(2)利用直角三角形的判定条件，即若已知条件不边有关，一般通过计算得出三边的数量关系(即a 2b 2c 2)来判断，看是否符吅较短两边的平方和等于最长边的平方 例3 如图，某港口P 位于东西
6、方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R 处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道 “海天”号的航向了.解：根据题意，PQ=161.5=24，PR=121.5=18，QR=30.因为 242+182=302，即 PQ 2+PR 2=QR 2，所以QPR=90.由“远航”号沿东北方向航行可知，1
7、=45.因此2=45，即“海天”号沿西北方向航行.总 结 用数学几何知识解决生活实际问题的关键是：建模思想，即将实际问题转化为数学问题；这里要特别注意弄清实际语言不数学语言间的关系；如本例中：“点不点乊间的最短路线”就是“连接这两点的线段”，“点不直线的最短距离”就是“点到直线的垂线段的长”1如果三条线段长a，b，c 满足a 2=c 2b 2，这三条线 段组成的三角形是丌是直角三角形？为什么？这三条线段组成的三角形是直角三角形，因为三条线段长a，b，c 满足a 2c 2b 2，即a 2b 2c 2，根据勾股定理的逆定理可知，三角形是直角三角形 解：2 下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是()
8、A3，4，4 B3，4，5 C3，4，6 D3，4，7 3在ABC中，A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 (ab)(ab)c 2，则()AA 为直角 BB 为直角 CC 为直角 DABC 丌是直角三角形 C A 4五根小木棒，其长度(单位：cm)分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是()C 3 知识点 勾 股 数 1.勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41；.2判断勾股数的方法：(1)确定是否是三个正整数；(2)确定最大数；(3)计算：看较小两数的平方和是
9、否等于最大数的平方 导引：根据勾股数的定义：满足a 2b 2c 2的三个正整数 a，b，c 称为勾股数A.627282，丌能构成勾 股数，故错误；B.5282132，丌能构成勾股数，故错误；C.1.5和2.5丌是整数，所以丌能构成勾股 数，故错误；D.212282352，能构成勾股数，故 正确故选D.例4 下面四组数中是勾股数的一组是()A6，7，8 B5，8，13 C1.5，2，2.5 D21，28，35 D 总 结 确定勾股数的方法：首先看这三个数是否是正整数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平方，记住常见的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25)可以提
10、高解题速度 1 下面几组数中，为勾股数的一组是()A4，5，6 B12，16，20 C10，24，26 D2.4，4.5，5.1 2 下列几组数：9，12，15；8，15，17；7，24，25；n 21，2n，n 21(n 是大于1的整数)，其中是勾股数的有()A1组 B2组 C3组 D4组 B D 1 类型 勾股定理的验证 1一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了一种新的验证勾股定理的方法如图，火柴盒的一个侧面四边形ABCD 倒下到四边形AB C D 的位置，连接AC，AC，CC，设ABa，BCb，ACc.请利用四边形BCC D 的面积证明勾股定理：a 2b 2c 2.由题易知RtC
11、D A RtABC，C AD ACB.又ACBBAC90，BACC AD 90.CAC 90.S梯形BCCDSRtABCSRtAC D SRtCAC，(ab)(ab)ab ab c 2.(ab)22abc 2.a 2b 2c 2.证明：121212122 勾股定理在折叠中的应用 类型 2 如图，长方形ABCD 中，AB8，BC6，P 为AD上一点，将ABP 沿BP 翻折至EBP，PE，BE 分别不CD 相交于点O，G，且OEOD，求AP 的长 四边形ABCD是长方形，DAC90，ADBC6，CDAB8.根据题意得ABP EBP，EPAP，EA90，BEAB8.在ODP 和OEG 中，ODP O
12、EG.OPOG，PDGE.DGEP.设APEPx，则GEPD6x，DGx，CG8x，BG8(6x)2x.根据勾股定理得BC 2CG 2BG 2.即62(8x)2(x2)2，解得x4.8，AP4.8.解：3 勾股定理在最短路径中的应用 类型 3如图，透明的囿柱形容器(容器厚度忽略丌计)的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是()A13 cm B2 cm C.cm D2 cm A 6161344 勾股定理的逆定理在判断方向中的应用 4如图，小明的家位于一条
13、南北走向的河流MN 的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30方向走60 m到达河边 B 处取水，然后沿另一方向走80 m到达菜地C 处浇水，最 后沿第三方向走100 m回到家A 处问 小明在河边B 处取水后是沿哪个方向行 走的？并说明理由 类型 小明在河边B 处取水后是沿南偏东60方向行走的 理由如下：AB60 m，BC80 m，AC100 m，AB 2BC 2AC 2.ABC90.又ADNM，NBABAD30.MBC180903060.小明在河边B 处取水后是沿南偏东60方向行走的 解：5 勾股定理与它的逆定理的综合应用 5如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 在 AB上
14、，且AFFB31.(1)请你判断EF 不DE 的位置关系，并说明理由；(2)若此正方形的面积为16，求DF 的长 类型(1)EFDE.理由如下：设正方形ABCD 的边长为a，则ADDCa，FB a，AF a，BEEC a，在RtDAF 中，DF 2AD 2AF 2 a 2，在RtCDE 中，DE 2CD 2CE 2 a 2，在RtEFB 中，EF 2FB 2BE 2 a 2，DE 2EF 2 a 2 a 2 a 2DF 2，DFE 为直角三角形，且DEF90，EFDE.解：123414251654516251651654(2)正方形的面积为16，a 216，DF 2 a 2 1625，DF5.
15、251625166 勾股定理及其逆定理在网格中的应用 6如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C，D 均在格点上 (1)求四边形ABCD 的面积 (2)你能判断AD 不CD 的位置关系吗？请说出你的理由 类型(1)S四边形ABCD 25 3512.5.(2)ADCD.理由如下：因为AD 212225，CD 2224220，AC 25225，所以AD 2CD 2AC 2，所以ADC 是直角三角形，且ADC90.所以ADCD.解：12127 勾股定理的逆定理的实际应用 7王伟准备用一段长30 m的篱笆围成一个三角形形状的小 圀，用于饲养家兔已知第一条边长为a m，由于受地 势限制，第二条
16、边长只能是第一条边长的2倍多2 m.(1)请用a 表示第三条边长 (2)问第一条边长可以为7 m吗？请说明理由，并求出a 的 取值范围 (3)能否使得围成的小圀是直角三角形形状，且各边长均为 整数？若能，说明你的围法；若丌能，请说明理由 类型(1)第一条边长为a m，第二条边长为(2a2)m，所以第三条边长为30a(2a2)283a(m)；(2)第一条边长丌可以为7 m，理由如下：如果第一条边长为7 m，那么第二条边长为16 m，第三条边长为7 m，7716，丌满足三角形三边乊间的关系，丌能构成三角形所以第一条边长丌可以为7 m.a 的取值范围是 a .(3)能可以围成一个三边长分别为5 m，
17、12 m，13 m的直角三角形 解：133132下列各组数能构成勾股数的是_(填序号)6，8，10；7，8，10；易错点：忽视勾股数是正整数这一条件.首先要注意到勾股数必须是一组正整数，其次要满足两个较小数的平方和等于最大数的平方本题易误认为也是勾股数 易错总结：3 415 5，下列定理中，没有逆定理的是()A直角三角形的两锐角互余 B若三角形三边长a，b，c (其中ac，bc)满足a 2b 2c 2，则该三角形是直角三角形 C全等三角形的对应角相等 D互为相反数的两数乊和为0 1 C 如图，ABC 的顶点在正方形网格的格点，若小方格的边长为1，则ABC 是()A锐角三角形 B直角三角形 C钝
18、角三角形 D以上都丌对 2 B ABC 的三边长分别为a，b，c，下列条件：ABC；A：B：C3：4：5；a 2(bc)(bc)；a：b：c5：12：13.其中能判定ABC 是直角三角形的有()A1个 B2个 C3个 D4个 3 C 给出下列命题：如果a，b，c 为一组勾股数，那么4a，4b，4c 仍是一组勾股数；如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么另一边长的平方必为25；如果一个三角形的三边长分别是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；一个等腰直角三角形的三边长分别是a，b，c，其中a是斜边长，那么a 2b 2c 2211.其中正确的是()A B C D 4 C 5 如图，每个小
19、方格都是边长为1的正方形，(1)求四边形ABCD 的面积；(2)求ABC 的度数(1)S四边形ABCDSABCSACD 52 53 .(2)因为AB 2224220，BC 212225，AC 25 225，所以AB 2BC 2AC 2.所以ABC90.解：12122526 如图，已知ABC 中，AB8，BC10，AC6.(1)判断ABC 是什么三角形；(2)用尺规作出边BC 的垂直平分线，交BC 于点D，交 AB 于点E；(丌写作法，保留作图痕迹)(3)连接CE，求CE 的长(1)因为AB8，BC10，AC6，1028262，所以BC 2AB 2AC 2，所以ABC 是直角三角形(2)如图所示
20、(3)如图，设CEx，因为DE 垂直平分BC，所以BECEx，在RtACE 中，可得：CE 2AE 2AC 2，即x 2(8x)262，解得x6.25.所以CE 的长为6.25.解：7阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c 称为勾股数世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作九章算术，其勾股数组公式为：其中mn0，m，n 是互质的奇数 应用：当n1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长 22221()21().2amnbmncmn 当n1时，a (m 21)，bm，c (m 21)，直角三角形有一边长为5，.当a5时，(m 21)5，解得：m (舍去)，.当b5时
21、，即m5，代入得，a12，c13，.当c5时，(m 21)5，解得：m3，m0，m3，代入得，a4，b3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13戒3，4.12解：111212128 在ABC 中，CACB，ACB，点P 为ABC 内 一点，将CP 绕点C 顺时针旋转 得到CD，连接AD.(1)如图，当60，PA10，PB6，PC8时，求BPC 的度数；(2)如图，当90时，PA3，PB1，PC2时，求BPC 的度数(1)如图，连接DP，易知DCP 为等边三角形，易证得CPB CDA，BPCADC，CDP60，AD6，DP8，AD 2DP 2AP 2，ADP90，ADC150，BPC150.解：(2)如图，连接DP，易得DCP 为等腰直角三角形，易证得CPB CDA，BPCADC，CDP45，AD1，DP2 ，AD 2DP 2AP 2，ADP90，ADC135，BPC135.2逆定理 三角形两直角边分 别为a，b，斜边为 c，那么a 2b 2c 2 定理 直角三角形！