1、18.1 平行四边形 第2课时 平行四边形的性质：对边相等；对角相等 回顾旧知 1 知识点 平行四边形的性质对角线互相平分 探究 如图，在ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点O,OA不OC，OB 不OD 有什么关系？你能证明发现 的结论吗？我们猜想，在ABCD 中，OA=OC，OB=OD.归 纳 由此我们又得到平行四边形的一个性质：平行四边形的对角线互相平分.对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分 数学表达式：如图，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC，BD 相交于点O，OAOC，OBOD.例1 如图，已知ABCD 的周长是60，对角线AC，BD 相交于 点O.若AOB 的周
2、长比BOC 的周长长8，求这个平行四 边形各边的长 由平行四边形对边相等知，2AB2BC60，所以ABBC30.又由AOB 的周长比BOC 的周长长8，知ABBC8，联立以上两式，即可求出各边长 导引：四边形ABCD 是平行四边形，OAOC，OBOD，ABCD，ADBC.ABBCCDDA60，OAABOB(OBBCOC)8，ABBC30，ABBC8.ABCD19，BCAD11.即这个平行四边形各边长分别为19，11，19，11.解：例2 如图，已知ABCD 不EBFD 的顶点A，E，F，C 在一条直线上，求证：AECF.平行四边形的性质提供了边的平行 不相等，角的相等不互补，对角线 的平分，当
3、所要证明的结论中的线 段在对角线上时，往往利用平行四边形的对角 线互相平分这一性质因此本例要证对角线上 的AECF，可考虑利用对角线互相平分这一 性质，先连接BD 交AC 于点O，再进行证明 导引：如图，连接BD 交AC 于点O.四边形ABCD 是平行四边形，OAOC(平行四边形的对角线互相平分)四边形EBFD 是平行四边形，OEOF(平行四边形的对角线互相平分)，OAOEOCOF，即AECF(等式的性质)证明：总 结 本例易受全等三角形思维定式的影响欲证的两线段相等且又属于丌同的三角形，习惯上就联想到证这两个三角形全等，这样虽然能达到证明的目的，却忽视了平行四边形特有的性质，易走弯路因此在解
4、决平行四边形的有关问题中，应注意运用平行四边形的性质 1如图，在ABCD 中，BC=10，AC=8，BD=14.AOD 的周长是多少?ABC 不DBC 的周长哪个长？长多少？在ABCD 中，ADBC10，ABCD.因为AC8，BD14，所以OAOC AC 84，OBOD BD 147.解：12121212所以AOD 的周长为OAODAD471021，ABC的周长为ABACBCAB81018AB，DBC 的周长为BCCDBD10CD1424CD24AB，所以DBC 的周长ABC 的周长，DBC 的周长ABC 的周长24AB(18AB)24AB18AB6，即DBC 的周长比ABC 的周长长，长6.
5、2 如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，EF 过点O 且不AB，CD 分 别相交于点E，F.求证OE=OF.因为四边形ABCD 为平行四边形，所以OAOC，ABCD，所以EAOFCO.又因为AOECOF，所以OAE OCF.所以OEOF.解：如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，则下列说法一定正确的是()AAOOD BAOOD CAOOC DAOAB 3 C 如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，且ACBD16，CD6，则ABO 的周长是()A10 B14 C20 D22 4 B 2 知识点 平行四边形的面积 1面积公式：平行四边形的面积底高(底为平行四 边形的
6、任意一条边，高为这条边不其对边间的距离)2等底等高的平行四边形的面积相等 例3 如图，在ABCD 中，AB=10，AD=8，ACBC.求BC，CD，AC，OA 的长，以及ABCD 的面积.四边形ABCD 是平行四边形，BC=AD=8，CD=AB=10.ACBC，ABC 是直角三角形.根据勾股定理，又 OA=OC，OA=AC=3，SABCD=BC AC=86=48.22221086.ACABBC12解：总 结 求平行四边形的面积时，根据平行四边形的面积公式，要知道平行四边形的一边长及这边上的高平行四边形的高丌一定是过顶点的垂线段，因为平行线间的距离处处相等 如图，若ABCD 的周长为36 cm，
7、过点D 分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE4 cm，DF5 cm，ABCD 的面积为()cm2.A40 B32 C36 D50 1 A 如图，过ABCD 的对角线BD上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 不GH，那么图中的AEMG 的面积S1不HCFM 的面积S2的大小关系是()AS1S2 BS1S2 CS1S2 D2S1S2 2 C 四边形ABCD 为平行四边形，ADBC，OAOC，EAOFCO，OEAD，OFBC，AEOCFO90，AOE COF，OEOF.解：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O,OEAD 于点E，OFBC 于点F.试说明：OEOF.易错
8、点：容易把未知条件当作已知条件使用.四边形ABCD 为平行四边形，OAOC，OEAD 于点E，OFBC 于点F，AEOCFO90，又AOECOF，AOE COF，OEOF.错解：错解误认为已知E，O，F 三 点共线，从而得到AOECOF，而已知条件中并没有这个E，O，F 三点共线需要在解题过程中加以推理，否则就犯了逻辑错误 诊断：如图，ABCD 的对角线AC 不BD 相交于点O，AEBC，垂足为E，AB3，AC2，BD4，则AE 的长为()A.B.C.D.1 32322172 217D 如图，EF 过ABCD 对角线的交点O，交AD 于E，交BC 于F，若ABCD 的周长为18，OE1.5，则
9、四边形EFCD 的周长为()A14 B13 C12 D10 2 C 如图，在ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，AEBD于点E，CFBD于点F，连接AF，CE，则下列结论：CFAE；OEOF；DEBF；图中共有四对全等三角形 其中正确结论的个数是()A4 B3 C2 D1 3 B 如图，在平行四边形ABCD 中，AC，BD 为对角线，BC6，BC 边上的高为4，则图中阴影部分的面积为()A3 B6 C12 D24 4 C 5如图，在ABCD 中，BEAC，垂足E 在CA 的延长线上，DFAC，垂足F 在AC 的延长线上，求证：AECF.连接BD，交EF 于点O，如图 四边形ABCD 是
10、平行四边形，OAOC，OBOD.BEAC，DFAC，EF90.又BOEDOF，BOE DOF(AAS)OEOF.OEOAOFOC，即AECF.证明：6如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，EF 过点 O 且不AB，CD 分别相交于点E，F，连接EC.(1)求证：OEOF；(2)若EFAC，BEC 的周长是10，求ABCD 的周长.(1)四边形ABCD 是平行四边形，ODOB，DCAB.FDOEBO.在DFO 和BEO 中，DFO BEO(ASA)OEOF.证明：,FDOEBOODOBFODEOB (2)四边形ABCD 是平行四边形，ABCD，ADBC，OAOC.EFAC，AECE.B
11、EC 的周长是10，BCBECEBCBEAEBCAB10.ABCD 的周长2(BCAB)20.解：7如图，四边形ABCD 为平行四边形，BAD 的平分线 AE 交CD 于点F，交BC 的延长线于点E.(1)求证：BECD；(2)连接BF，若BFAE，BEA60，AB4，求 ABCD 的面积(1)四边形ABCD 是平行四边形，ADBC，BACD.DAEE.又AE 平分BAD，BAEDAE.BAEE.BABE，BECD.证明：(2)BEA60，BABE，ABE 为等边三角形.BFAE，F 为AE 的中点，AFEF.在AFD 和EFC 中，AFD EFC(ASA)AFD 的面积等于EFC 的面积 A
12、BCD 的面积等于ABE 的面积 在RtABF 中，AB4，AFEF2，BF2 .ABE 的面积为 42 4 .ABCD 的面积为4 .解：,DAFEAFEFAFDEFC 1233338如图，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC，BD 相交 于点O，过点O 作直线EF 分别交AD，BC 于点E，F.(1)求证：OEOF.(2)如图，若过O 点的直线EF 不BA，DC 的延长线分别交于 点E，F，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般 性结论？(1)证明：四边形ABCD 是平行四边形，ADBC，AOCO.EAOFCO.AOECOF，AOE COF.OEOF.(2)解：能得到OEOF，方法同(1)一般性结论：经过平行 四边形的对角线的交点的直线被平行四边形的对边或 对边的延长线截得的线段被平行四边形的对角线的交 点平分 1.平行四边形的对角线互相平分 2.平行四边形的面积底高(底为平行四边形的 任意一条边，高为这条边不其对边间的距离)