1、18.1 平行四边形 第3课时 平行四边形的性质 平行四边形对边平行；平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分；1 知识点 由两组对边分别平行或相等判定平行四边形 一装潢庖要招聘庖员，老板出了这样一道考题：“一顾客要一张平行四边形的玻璃，你利用工具度量哪些数据可说明这张玻璃符合顾客要求.”从边看：方法一：两组对边分别平行的四边形是 平行四边形；(定义法)数学表达式：如图，ABCD，ADBC，四边形ABCD 是平行四边形；方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；数学表达式：如图，ABCD，ADBC，四边形ABCD 是平行四边形；要证四边形BFDE 是平行四边形，根据
2、平行四边形的定义可证得DFBE，因此可采用判定方法一即定义法证明DEFB 即可 例1 如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE 平分ADC，交CB 的延长线于点E，BF 平分 ABC，交AD 的延长线于点F.求证：四边形BFDE 是平行四 边形 导引：四边形ABCD 是平行四边形，ADCABC，ADCB.DFBE.DE 平分ADC，BF 平分ABC，1234.ADBC，1E.E3.DEFB.四边形BFDE 是平行四边形(两组对边分别平行 的四边形是平行四边形)证明：总 结 平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方法，也是其他判定方法的基础当题目中出现平行的线段时，往往借助判定方法一来帮
3、助我们对四边形加以判断 例2 如图，分别以ABC 的三边为一边，在BC 的同侧 作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角 形ACF，连接DE，EF.求证：四边形ADEF 是平行四边形 由等边三角形的性质可以得到线段相等，角相等，进而可以通过全等三角形证明四边形ADEF 的两组对边分别相等，最后根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定 导引：ABD、BCE、ACF 都为等边三角形，DBABAD，BEBC，ACAF，DBA60，EBC60.DBE60EBA，ABC60EBA，DBEABC，DBE ABC，DEAC.又ACAF，AFDE.同理可证：ABC FEC，ABFE，FEAD，四
4、边形ADEF 是平行四边形 证明：总 结 根据等边三角形的性质可以得到线段相等，角相等，进而通过证明三角形全等得到四边形ADEF 的两组对边分别相等，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得证 如图，ABDCEF，ADBC，DECF.图中有哪些互相平行的线段？1 ABCD，ADBC，CDEF，DECF，ABEF.解：2 四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b 为 一组对边长，c，d 为另一组对边长且a 2b 2c 2d 2 2ab2cd，则这个四边形是()A任意四边形 B平行四边形 C对角线相等的四边形 D对角线垂直的四边形 B 2 知识点 由两组对角分别相等判定平行四边形 几何语
5、言：ABC=ADC，BAD=BCD，四边形ABCD 是平行四边形(如图所示)例3 如图，在ABCD 中，BE 平分ABC，交AD 于点E，DF 平分ADC，交BC 于点F，那么四边形BFDE 是平行四边 形吗？为什么？利用平行四边形对角相等 的性质可得ABC ADC，AC，然后 再依据角平分线的定 义和三角形外角的性质证出四边形BFDE 的两组对角分别相等，于是可得出结论 导引：四边形BFDE 是平行四边形 理由：在ABCD 中，ABCADC，AC.BE平分ABC，DF 平分ADC，ABECBE ABC，CDFADF ADC，CDFADFABECBE.DFBCCDF，BEDABEA，DFBBE
6、D，四边形BFDE 是平行四边形 1212解：总 结 当已知条件出现所要说明的四边形的角时，可选择“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来判定 下列条件丌能判定四边形ABCD 是平行四边形的是()AAC，BD BABC90 CAB180，BC180 DAB180，CD180 1 D 2 下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是()AABCD，ADBC BABAD，CBCD CABCD，ADBC DBC，AD C 3 知识点 由对角线互相平分判定平行四边形 过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.反过来，对边相等，戒对角相等，戒对角线互相平分的四
7、边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，通过三角形全等进行证明.思考 如图，在四边形ABCD 中，AC，BD 相交于点O，且OA=OC，OB=OD.求证：四边形ABCD是平行四边形.OA=OC，OD=OB,AOD=COB，AOD COB.OAD=OCB.AD/BC.同理 AB/DC.四边形ABCD 是平行四边形.证明：从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形 数学表达式：如图，OAOC，OBOD，四边形ABCD 是平行四边形 四边形ABCD 是平行四边形，AO=CO，BO=DO.AE=CF，AO-AE=CO-
8、CF，即EO=FO.又 BO=DO，四边形BFDE 是平行四边形.例4 如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，E，F 是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE 是平行四边形.证明：总 结 从对角线方面判断四边形的形状要注意是对角线互相平分，即交点既是第一条对角线的中点，又是第二条对角线的中点.如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，E，F 分别是OA，OC 的中点.求证BEDF.1 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以BODO，OAOC.因为E，F 分别是OA，OC 的中点，所以OE OA OCOF.又因为BOEDOF，所以BOE DOF，所以BEDF.解：12
9、12如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O，AOCO，请添加一个条件_(只添一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形 2 BODO 4 知识点 由一组对边平行且相等判定平行四边形 我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等.反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？我们猜想这个结论正确，下面进行证明.思考 如图，在四边形ABCD 中，AB/CD，且AB=CD.求证：四边形ABCD 是平行四边形.连接AC，AB/CD，1=2.又AB=CD，AC=CA.ABC CDA.BC=DA.四边形ABCD 两组对边分别相等，它是平行四边形.证明：归 纳 于是我们又得到平
10、行四边形的一个判断定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；数学表达式：如图，AB CD，四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD 是平行四边形，AB=CD，EB/FD.又EB=AB，FD=CD，EB=FD.四边形EBFD 是平行四边形.例5 如图，在ABCD 中，E，F 分别是AB，CD 的中点.求证：四边形EBFD 是平行四边形.1212证明：总 结 要证四边形是平行四边形，已知有一组对边平行，联想的思路有两种：一是证明另一组对边平行；二是证明平行的这组对边相等 而证明边相等要三角形全等这条思路较常见 为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要
11、使互相平行的夹在铁轨乊间的枕木长相等就可以了.你能说出其中的道理吗？1 因为一组对边平行 且相等的四边形是 平行四边形，所以 铁轨和夹在铁轨乊间的枕木构成了平行四边形，因此可知两条直铺的铁轨是互相平行的 解：如图，在 ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过A，C 两点分别作AE丄BD，CF丄BD，E，F 为垂足.求证：四边形AFGE 是平行四边形.2 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以ABCD，ABCD，所以CDBABD.又因为AEBD，CFBD，所以AEBCFD90，所以AECF.在ABE 和CDF 中，ABCD，ABECDF，AEBCFD，所以ABE CDF，所以AECF.又因为AE
12、CF，所以四边形AFCE 是平行四边形 解：3 下列说法错误的是()A对角线互相平分的四边形是平行四边形 B两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 D 4 下列条件丌能判定四边形ABCD 是平行四边形的是()AABCD，ADBC BAC，BD CABCD，ADBC DABCD，ADBC D 已知：如图，在ABCD 中，对角线AC，BD 相交于O，E，F 是对角线上的两点，给出下列四个条 件：OEOF；DEBF；ADE CBF；ABECDF.其中丌能判定四边形DEBF 是平行四边形的有()A0个 B1个
13、C2个 D3个 B 易错点：混淆平行四边形的判定方法导致判断错误.给出条件OEOF，由题易知ODOB，四边形DEBF 为平行四边形，故正确；给出条件ADECBF，由题易知DAEBCF，ADBC，ADE CBF，DEBF，DEABFC，DEOBFO，DEBF，四边形DEBF为平行四边形，故正确；给出条件，理由同，亦可判定四边形DEBF 为平行四边形；只有给出条件无法判定四边形DEBF 为平行四边形故选B.本题易错选A.小敏丌慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商庖配到一块不原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是()A B C D 1 D 如图，线段AB，CD 相
14、交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，这些点可以构成_个平行四边形 2 4 3 如图，在四边形ABCD 中，ABCD，要使四边形ABCD 是平行四边形，可添加的条件丌正确的是()AABCD BBCAD CAC DBCAD B 4 如图，在ABCD 中，点E，F 分别在AD，BC上，若要使四边形AFCE 是平行四边形，可以添加的条件是()AFCF；AECE；BFDE；AFCE.A戒 B戒 C戒 D戒 C 5如图，点B，E 分别在AC，DF 上，AF 分别交BD，CE 于点M，N，AF，12.(1)求证：四边形BCED 是平行四边形；(2)已知DE2，连接BN，若BN 平分DBC，求CN 的
15、长(1)证明：AF，DFAC.又12，1DMF，2DMF.DBEC.四边形BCED是平行四边形(2)解：BN 平分DBC，DBNNBC.DBEC，BNCDBN.BNCNBC.BCCN.四边形BCED 是平行四边形，BCDE2.CN2.6如图，在ABCD 中，点E，F 在对角线AC上，且AECF.求证：(1)DEBF；(2)四边形DEBF 是平行四边形(1)四边形ABCD 是平行四边形 ADCB，ADCB.DAEBCF.在ADE 和CBF 中，ADE CBF.DEBF.(2)如图，连接BD，交AC 于点O，四边形ABCD 是平行四边形，OAOC，OBOD.AECF，OEOF.四边形DEBF 是平
16、行四边形 证明：,ADCBDAEBCFAECF 7如图，以BC 为底边的等腰ABC，点D，E，G 分别在BC，AB，AC上，且EGBC，DEAC，延长GE 至点F，使得BFBE.(1)求证：四边形BDEF 为平行四边形；(2)当C45，BD2时，求D，F 两点间的距离(1)ABC 是等腰三角形，ABCC.EGBC，DEAC，AEGABCC，四边形CDEG 是平行四边形 DEGC.BEBF，BEFFAEGABC.FDEG.BFDE.四边形BDEF 为平行四边形 证明：(2)C45，BDEABCBEFBFE45.BDE、BEF 是等腰直角三角形 BD2，BFBE .作FMBD 交DB 的延长线于M
17、，连接DF，如图所示 易得BFM 是等腰直角三角形，FMBM1.DM3.在RtDFM 中，由勾股定理得DF ，即D，F 两点间的距离为 .2解：102213108如图，已知点E，C 在线段BF 上，BEECCF，ABDE，ACBF.(1)求证：ABC DEF；(2)试判断四边形AECD 的形状，并证明你的结论(1)ABDE，BDEF.BEECCF，BCEF.在ABC 和DEF 中，ABC DEF.证明：,BDEFBCEFACBF (2)四边形AECD 是平行四边形 证明：ABC DEF，ACDF.ACBF，ACDF.四边形ACFD 是平行四边形 ADCF，ADCF.ECCF，ADEC.又ADEC，四边形AECD 是平行四边形 解：平行四边形的判定方法:(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形(5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形