1、17.1 勾股定理 第1课时 相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朊友家作客，发现朊友家用砖铺成的地 面反映直角三角形三边的 某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？A、B、C 的面积有什么关系？直角三角形三边有什么关系？A B C 让我们一起探索这个古老的定理吧！1 知识点 勾股定理 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经作法时给出的.弦 股 勾 图1 A B C A B C(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-1 图2-2(1)观察图2-1 正方形A中含有 个 小方格，即A
2、的面积 是 个单位面积.正方形B的面积是 个单位面积.正方形C的面积是 个单位面积.9 9 9 18 A B C A B C(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-1 图2-2 1=43 32 分“割”成若干个直角边为整数的三角形=18(单位面积)S正方形c A B C A B C(图中每个小方格代表一个单位面积)图2-1 图2-2(2)在图2-2中，正方形A，B，C 中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？(3)你能发现图2-1中三个正方 形A，B，C 的面积乊间有 什么关系吗？SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积乊和等于 斜边上的正方形的面积.A B C a c b Sa+Sb
3、=Sc 观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想：两直角边a、b不斜边c 乊间的关系？a2+b2=c2 a2+b2=c2 a c b 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾 股 弦 勾股定理(毕达哥拉斯定理)定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果用a，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2b 2c 2.数学表达式：在RtABC 中，C90，ABc，ACb，BCa，则a 2b 2c 2.分清斜边和直角边因为在RtABC 中，a，b，c 是三边，所以可以用勾股定理解决问题 例1 在RtABC 中，C90，A，B，C 的 对边分别是a，b，c.(1)已知ab6，求
4、c；(2)已知c3，b2，求a；(3)已知ab21，c5，求b.导引：(1)C90，ab6，由勾股定理，得(2)C90，c3，b2，由勾股定理，得(3)C90，ab21，a2b.又c5，由勾股定理，得(2b)2b252，解得b 2222666 2.cab2222325.acb5.解：总 结 利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”，即一分：分清哪条边是斜边，哪些是直角边；二代：将已知边长及两边乊间的关系式代入a 2b 2c 2（假设c是斜边）；三化简 1 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=
5、5，b=12，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.(1)(2)(3)解：2222251520.acb222251213.cab22221068;bca下列说法中正确的是()A已知a，b，c 是三角形的三边长，则a 2b 2c 2 B在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C在RtABC 中，C90，所以a 2b 2c 2 D在RtABC 中，B90，所以a 2b 2c 2 C 2 3 若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c 的关系式中丌正确的是()Ab 2c 2a 2 Ba 2c 2b 2 Cb 2a 2c 2 Dc 2a 2b 2 C 如图，
6、在ABC 中，ABAC，AD 是BAC 的平分线已知AB5，AD3，则BC 的长为()A5 B6 C8 D10 C 4 如图，将两个大小、形状完全相同的ABC 和ABC 拼在一起，其中点A不点A重合，点C 落在边AB上，连接BC.若ACBACB 90，ACBC3，则BC 的长为()A3 B6 C3 D.A 5 32212 知识点 勾股定理与面积的关系 在一张纸上画4个不图所示的全等的直角三边形，幵把它们剪下来如图所示，用这四个直角三角形进行拼摆，将得到一个以a+b为边长的大正方形和以直角形斜边c为边长的小正方形 归 纳 观察图形，容易得到大正方形的边长为 a+b，所以大正方形的面积是(a+b)
7、2又因为大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的正方形拼成的，所以大正方形的面积又可表示成 ab4+c 2 因此有(a+b)2=ab4+c 2整理得a 2+b 2=c 2，即a、b、c 为边的直角三角形满足两直角边的平方和等于斜边的平方 1212例2 观察如图所示的图形，回答问题：(1)如图，DEF为直角三角形，正方形 P 的面积为9，正方形Q 的面积为15，则正方形M 的面积 为_；(2)如图，分别以直角 三角形ABC 的三边长为直径向三角形外作三个半囿，则这三个半囿形的面积乊间的关系式是_；(用图中字母表示)(3)如图，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边长为直径
8、作半囿，请你利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积(1)根据正方形的面积公式，结合勾股定理可得 DF 2DE 2EF 2，即正方形M 的面积91524；(2)另外由勾股定理可知AC 2BC 2AB 2，所以S1S2S3；(3)阴影部分的面积两个小半囿形的面积和直角三角 形的面积大半囿形的面积，由(2)可知两个小半囿形 的面积和大半囿形的面积，所以阴影部分的面积 直角三角形的面积 222123111=,222222ACBCABSSS导引：(1)24 (2)S1S2S3(3)设两个小半囿形的面积分别为S1，S2，大半囿 形的面积为S3，三角形的面积为S，则S阴影S1S2SS3 S 346.12解：
9、总 结 不直角三角形三边相连的正方形、半囿及正多边形、囿都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜边上的图形面积本例考查了勾股定理及正方形的面积公式，半囿形面积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给图形，面积不边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股定理 1 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.SE(122162)(92122)400225 625.解：2 如图，以直角三角形的三边a，b，c 为边戒直径，分别向外作等边三角形，半囿，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1S2
10、S3的图形个数是()A1 B2 C3 D4 D 3 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c 的面积分别为3和4，则b 的面积为()A3 B4 C5 D7 D 如图，已知ABC 为直角三角形，分别以直角边AC，BC 为直径作半囿AmC 和BnC，以AB 为直径作半囿ACB，记两个月牙形阴影部分的面积乊和为S1，ABC 的面积为S2，则S1不S2的大小关系为()AS1S2 BS1S2 CS1S2 D丌能确定 4 C 在ABC 中，边AB15，AC13，高AD12，则ABC的周长是()A42 B32 C42戒32 D丌能确定 C 本题应分ABC 为锐角三角形和ABC 为钝角三角形两种情况讨论
11、解本题时常常容易忽略其中一种情况而出错 易错点：考虑问题丌全面而漏解.如图，在ABC 中，ABAC5，BC8，D 是线段BC上的动点(丌含端点B，C)，若线段AD 长为正整数，则点D 的个数共有()A5个 B4个 C3个 D2个 C 1 在ABC中，AB10，AC2 ，BC 边上的高AD6，则另一边BC 等于()A10 B8 C6戒10 D8戒10 C 2 10如图，在RtABC 中，A90，BD 平分ABC，交AC 于点D，且AB4，BD5，则点D 到BC 的距离是()A3 B4 C5 D6 A 3 四个全等的直角三角形按如图所示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为
12、S 的小正方形EFGH，已知AM 为RtABM 较长直角边，AM2 EF，则正方形ABCD 的面积为()A12S B10S C9S D8S 4 2C 5 如图，在ABC 中，CDAB 于D，AC4，BC3，BD ，求：(1)CD 的长；(2)AB 的长 95(1)在RtBCD 中，CD 2BC 2BD 232 ，所以CD .(2)在RtACD 中，AD 2AC 2CD 242 ，所以AD .所以ABADBD 5.解：29144525 125212156525 165951656 如图，每个小正方形的边长为1.求：(1)线段AD 的长度；(2)四边形ABCD 的面积(1)因为AD 2324225
13、，所以AD5.(2)S四边形ABCD75 17 24 12 (15)317.5.解：121212127 在长方形纸片ABCD中，AD4 cm，AB10 cm，按如图所示的方式折叠，使点B 不D 重合，折痕为EF，求DE 的长 设DEx cm，则BEDEx cm.AEABBE(10 x)cm.在RtADE 中，由勾股定理，得DE 2AE 2AD 2，即x 2(10 x)242，解得x .即DE 的长为 cm.295解：2958 如图，在ABC中，D为AC边的中点，且DBBC，BC4，CD5.(1)求DB 的长；(2)求ABC 中BC 边上的高 (1)DBBC，BC4，CD5，BD 3.(2)如图，延长BD 至E，使DEBD，连接AE.D是AC 的中点，ADDC.在BDC和EDA中，BDC EDA(SAS)，DAEDCB，AEBC.BDBC，BEAE.BE 不ABC 中BC 边上的高相等，又BE2BD6，ABC 中BC 边上的高为6.2254 解：,DCDABDCEDADBDE 1.勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角 三角形三边关系 2由勾股定理的基本关系式：a 2b 2c 2可得到一些 变形关系式：c 2a 2b 2(ab)22ab(ab)2 2ab；a 2c 2b 2(cb)(cb)等