1、18.1 平行四边形 第4课时 温故知新 平行四边形的判定 边 角 对角线 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 1 知识点 三角形中位线的性质 探究思考 请同学们按要求画图：画任意ABC 中，画AB、AC边中点D、E，连接DE ABCD E 定义：像DE 这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 观察猜想 在ABC 中，中位线DE和边BC 什么关系?DE 和边BC 关系 数量关系：位置关系：A B C D E DE/BC DE BC
2、12如图，D，E 分别是ABC 的AB，AC 的中点.求证：DE/BC，DE=BC.分析：本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半.将DE 延长一倍后，可以将证明DE=BC 转化为证明延长后的线段不BC 相等.又由于E 是AC 的中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明.1212如图，延长DE 到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF.AE=EC，DE=EF，四边形ADCF 是平行四边形，CF DA.CF BD.四边形DBCF 是平行四边形，DF BC.又 DE=DF，DE/BC，且DE=BC.12
3、12证明：归 纳 通过上述证明，我们得到三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的 第三边，并且等于第三边的一半；数学表达式：如图，ADBD，AEEC，DEBC，且DE BC.12例1 如图所示，D 是ABC 内一点，BDCD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H 分别是AB、AC、CD、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是 利用勾股定理列式求出BC 的长，再根据三角形的中位线平行于第 三边并且等于第三边的一半求出 EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据 进行计算即可得解 11 1212分析：BD
4、CD，BD=4，CD=3，BC E、F、G、H 分别是AB、AC、CD、BD 的中点，EH=FG=AD，EF=GH=BC，四边形EFGH 的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又AD=6，四边形EFGH 的周长=6+5=11 2222435BDCD，12解：12总 结 本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键 例2 如图，已知E 为平行四边形ABCD 中DC 边延长线 上一点，且CEDC，连接AE，分别交BC，BD 于点F，G，连接AC 交BD 于点 O，连接OF.求证：AB2OF.点O 是平行四边形两条对角线的 交点，
5、所以点O 是线段AC 的中点，要证明AB2OF，我们只需证明点F 是线段BC 的中点，即证明OF 是ABC 的中位线 导引：四边形ABCD 为平行四边形，ABCD，ABCD.E 为平行四边形ABCD 中DC 边延长线上一点，且CEDC，ABCE，ABCE，四边形ABEC 是平行四边形，点F 是BC 的中点 又点O 是AC 的中点，OF 是ABC 的中位线，AB2OF.证明：总 结 证明线段倍分关系的方法：由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半戒两倍，且题中出现中点时，常考虑三角形中位线定理 1 如图，在ABC 中，D，E，F 分别是AB，BC，CA 的
6、中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？可画出3个平行四边形，根据三角形的中位线定理可得平行四边形有：BDFE，DFCE，ADEF.解：2 如图，直线l1l2，在l1，l2上分别截取AD，BC，使AD=BC，连接AB，CD.AB 和CD 有什么关系？为什么？ABCD 且ABCD.因为l1l2，所以ADBC，又因为ADBC，所以四边形ABCD 是平行四边形 所以ABCD，且ABCD.解：3 如图，A，B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C，连接AC 和BC.怎样测出 A，B 两点间的距离？根据是什么？如图所示，分别取AC，BC 的中点E，F，连接EF，则EF 就是ABC
7、的中位线量出EF 的长，根据AB2EF，即可求出A，B 两点间的距离 解：4 如图，要测定被池塘隔开的A，B 两点的距离，可以在AB 外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC30 m，BC40 m，DE24 m，则AB()A50 m B48 m C45 m D35 m B 2 知识点 三角形中位线在四边形中的应用 欲证MN BC，只需证明MN 是EBC 的中位线即可而要证得M，N 分别为 BE，CE 的中点，则可利用E，F 分别为AD，BC 的中点证四边形ABFE 和四边形EFCD 为平行四边 形得到 例3 如图，在ABCD 中，E，F 分别是AD，BC 的
8、中点，连接AF，DF 分别交BE，CE 于点M，N，连接MN.求证：MN BC.1212导引：如图，连接EF.四边形ABCD 是平行四边形，AD BC.E，F 分别是AD，BC 的中点，AE AD，BF BC，AE BF.四边形ABFE 是平行四边形，MBME.同理，四边形EFCD 是平行四边形，NCNE.MN 是EBC 的中位线MN BC.12 1212 证明：总 结(1)证明两直线平行的常用方法：利用同平行(垂直)于第三条直线；利用同位角、内错角相等，同旁内角互补；利用平行四边形 的性质；利用三角形的中位线定理(2)证明一条线段是另一条线段的2倍的常用方法：利用含30角的直角三角形；利用平
9、行四边 形的对角线；利用三角形的中位线定理 1 如图，已知E，F，G，H 分别为四边形ABCD 各边的中点，若AC10 cm，BD12 cm，则四边形EFGH 的周长为()A10 cm B11 cm C12 cm D22 cm D 2 如图，已知长方形ABCD 中，R，P 分别是DC，BC上的点，E，F 分别是AP，RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 丌动时，下列结论成立的是()A线段EF 的长逐渐增大 B线段EF 的长逐渐减小 C线段EF 的长丌改变 D线段EF 的长先增大后减小 C 如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，点E，F 分别是线段AO，BO 的中点，若A
10、CBD24 cm，OAB 的周长是18 cm，则EF_cm.3 易错点：忽视整体思想的应用而求丌出中位线的长.ACBD24 cm，OAOB12 cm，又OAB 的周长是18 cm，OAOBAB18 cm，AB6 cm.又 点E，F 分别是线段AO，BO 的中点，EF AB3 cm.此题易错乊处在于忽视运用整体思想求OA，OB 的长 度和，从而导致求丌出中位线长 121 如图，在ABC 中，AB3，BC4，AC2，D，E，F 分别为AB，BC，AC 的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF 的周长是()A5 B7 C9 D11 B 2 如图，ABC 的面积是12，点D，E，F，G 分别是BC，A
11、D，BE，CE 的中点，则AFG 的面积是()A4.5 B5 C5.5 D6 A 3 如图，在ABC 中，ABAC，E，F 分别是BC，AC 的中点，以AC 为斜边作RtADC，若CADCAB45，则下列结论丌正确的是()AECD112.5 BDE 平分FDC CDEC30 DAB CD 2C 4 如图，在ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，点E 是AB 的中点，OE5 cm，则AD 的长为_cm.10 5 如图，四边形ABCD 中，A90，AB3 ，AD3，点M，N 分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M 丌不点B 重合)，点E，F 分别为DM，MN 的中点，则EF 长度 的最
12、大值为_ 33 6 如图，在四边形ABCD 中，ABDC，P 是对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，N 是BC 的中点 (1)若AB6，求PM 的长；(2)若PMN20，求MPN 的度数(1)ABDC，AB6，DC6.点P 是AC 的中点，点M 是AD 的中点，PM 是ADC 的中位线 PM DC 63.(2)点P 是AC 的中点，点N 是BC 的中点，PN 是ABC 的中位线 PN AB.ABDC，PMPN.PNMPMN20.MPN180PMNPNM140.解：1212127 如图，E 为ABCD 中DC 边的延长线上一点，且CE DC，连接AE，分别交BC，BD 于点F，G，连接AC
13、交BD 于O，连接OF，判断AB 不OF 的位置关系和数 量关系，并证明你的结论 ABOF，OF AB，理由：如图，连接BE，四边形ABCD 是平行四边形，OAOC，ABDC，ABDE，又CEDC，ABCE.四边形ABEC 是平行四边形 BFCF.OF 是ABC 的中位线 ABOF，OF AB.解：12128 如图，四边形ABCD 中，ABCD，G，H 分别是 BC，AD 的中点，BA，CD 的延长线分别交GH 的 延长线于点E，F.求证：AEHF.如图，连接AC，取AC 的中点M，连接HM，GM.H 是AD 的中点，M 是AC 的中点，HM 是ADC 的中位线 HMCD，HM CD.MHGF
14、.同理，GMAB，GM AB.MGHAEH.又ABCD，GMHM.MGHMHG.AEHF.12证明：129 已知：如图，在ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是 AE 的中点，FC 不BE 交于G.求证：GFGC.如图，取BE 的中点H，连接FH，CH.F 是AE 的中点，H 是BE 的中点，FH 是ABE 的中位线 FHAB 且FH AB.在ABCD 中，ABDC，ABDC.又点E 是DC 的中点，EC DC AB，FHEC.又ABDC，FHAB，FHEC，四边形EFHC 是平行四边形 GFGC.证明：121212三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半 几何语言(如图)：DE 是ABC 的中位线，DEBCDE=BC 12A B C D E