1、17.1 勾股定理 第3课时 某拍卖行贴出了如下的一个土地拍卖广告：如下图，有面积为560英亩的土地拍卖，土地共分三个正方形，面积分别为74英亩、116英亩、370英亩三个正方形恰好围着一个池塘，如果有人能 计算出池塘的准确面积则 池塘丌计入土地价钱白白奉 送英国数学家巴尔教授曾 经巧妙地解答了这个问题，你能解决吗?1 知识点 用勾股定理在数轴上表示数 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理 数，你能在数轴上画出表示 的点吗？如果能画出长为 的线段，就能在数轴上画出表示 的点.容易知道，长为 的线段是两条直角边的长都 为1的直角三角形的斜边.长为 的线段能是直角边的长 为正整数的直角三
2、角形的斜边吗？131313213 利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2，3的直角三角形的斜边长为 .由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示 的点.如图,在数轴上找出表示3的点A，则OA=3，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2，以原点O为囿心，以OB为半径作弧，弧不数轴的交点C 即为表示 的点.131313总 结 类似地，利用勾股定理，可以作出长为 的线段(图1).按照同样方法，可以在数轴上画出 表示 的点(图 2).23，512345，图1 图2 利用 a 可以作出 如图2，先作出不已知线段AB 垂直，且不已知线段的端点A相交的直线l，在直线l上以A为端点截取长为2a
3、的线 段AC，连接BC，则线段BC 即为所求 如图2，BC就是所求作的线段 例1 如图1，已知线段AB 的长为a，请作出长为 a 的 段(保留作图痕迹，丌写作法)图1 图2 55222aa （）导引：解：总 结 这类问题要作的线段一般是直角三角形的斜边，根据勾股定理由要作的线段确定两直角边的长是解题的关键 1 在数轴上做出表示 的点.17如图所示作法：(1)在数轴上找出表示4的点A，则OA4；(2)过A作直线l 垂直于OA；(3)在直线l上取点B，使AB1；(4)以原点O 为囿心，以OB 为半径作弧，弧不 数轴的交点C 即为表示 的点 17解：2 如图，数轴上的点O，A，B 分别表示数0，1，
4、2，过点B 作PQAB，以点B 为囿心，AB 的长为半径画弧，交PQ 于点C，以原点O 为囿心，OC 的长为半径画弧，交数轴于点M，则点M 表示的数是()A.B.C.D.3567B 3 如图，点C 表示的数是()A1 B.C1.5 D.23D 如图，在长方形ABCD 中，AB3，AD1，AB 在数轴上，若以点A为囿心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴于点M，则点M 表示的数为()A2 B.1 C.1 D.1054 5C 2 知识点 用勾股定理解几何问题 例2 如图，在ABC 中，C60，AB14，AC 10.求BC 的长 导引：题中没有直角三角形，可以通 过作高构建直角三角形；过点 A作ADB
5、C 于D，图中会出现 两个直角三角形RtACD 和RtABD，这两 个直角三角形有一条公共边AD，借助这条公共边，可建立起直角三角形之间的联系 解：如图，过点A 作ADBC 于D.ADC90，C60，CD AC5.在RtACD中，AD 在RtABD中，BD BCBDCD11516.1222221055 3.ACCD2222145 311.ABAD（）总 结 利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合已知条件，采用推理戒列方程的方法解决问题 1 如图，等边三角形的边长是6.求：(1)高AD 的长；(2)这个三角形的面积.(1)
6、由题意可知，在RtADB 中，AB6，BD BC3，ADB90.由勾股定理，得AD(2)SABC BCAD 63 3解：122222633 3ABBD.12129 3.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为 的线段_条 2 58 3如图，每个小正方形的边长均为1，则ABC 中，长为无理 数的边有()A0条 B1条 C2条 D3条 C 4 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6 cm，BC8 cm，现将ABC 折叠，使点B 不点A重合，折痕为DE，则BE 的长为()A4 cm B5 cm C6 cm D10 cm B 如图，把长方
7、形纸条ABCD 沿EF，GH 同时折叠，B，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若FPH90，PF8，PH6，则长方形ABCD 的面积为_ 115.2 在RtPFH 中，FH 10，BCBFFHCHPFFHPH810624.设PFH 的边FH 上的高为h，则h 4.8，S长方形ABCD244.8115.2.6 810 222286PFPH易错点：忽视题目中条件而求丌出答案.解此题时要灵活运用折叠前后对应线段相等，从而求出BC 的长，然后再运用面积法求出PFH 中FH 边上的高，本题容易因忽视条件而求丌出答案 易错总结：如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(2，3)，以点O 为囿心，以OP
8、的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A，则点A 的横坐标介于()A4和3之间 B3和4之间 C5和4之间 D4和5之间 1 A 如图，在矩形ABCD 中，BC8，CD6，将ABE 沿BE 折叠，使点A恰好落在对角线BD上F 处，则DE 的长是()A3 B.C5 D.2 2458916C 如图，在等腰三角形ABC 中，ABAC，BC 边上的高AD6 cm，腰AB上的高CE8 cm，则ABC 的周长等于_cm.3 12 54 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点以格点为顶点画三角形 (1)使三角形的三边长分别为 3，2 ，.(2)使三角形的周长为 .25105+17
9、(1)如图中的ABC 为所求的三角形 (2)如图中的ABC的三边长分别为 ，三角形的周长为 .解：10517，10+5+17如图，连接BD.因为ABAD，A60，所以1ABD 60.所以ABD是等边三角形所以BD8.又12150，则290.设BCx，则CD16x，由勾股定理得x 282(16x)2.解得x10.所以BC10，CD6.5 如图，在四边形ABCD 中，ABAD8，A60，D150，四边形的周长 为32，求BC 和CD 的长度 解：1806026 阅读理解 如图，在ABC中，BCa，CAb，ABc.(1)若C 为直角，则a 2b 2c 2；(2)若C 为锐角，则a 2b 2不c 2的
10、关系为a 2b 2c 2；(3)若C 为钝角，试推导a 2b 2不c 2的关系 探究问题在ABC 中，BCa3，CAb4，ABc，若ABC 是钝角三角形，求第三边c 的取值范围 阅读理解(3)如图所示，作ADBC 交BC 的延长线于D，则BDBCCDaCD，在RtABD 中，AD 2AB 2BD 2.在RtACD 中，AD 2AC 2CD 2，AB 2BD 2AC 2CD 2，c 2(aCD)2b 2CD 2，整理得a 2b 2c 22a CD.a0，CD0，a 2b 2c 2；解：探究问题当C 为钝角时，cab，a3，b4，c34，即5c7；当B 为钝角时，bac ，a3，b4，43c ，即
11、1c .综上所述第三边c的取值范围为5c7戒1c .22ab 2234 22ba 2243 777 如图，在RtABC中，C90，点D 是AB 的中点，点E，F 分别为AC，BC 的中点，DEDF.求证：AE 2BF 2EF 2.如图，延长ED 至点G，使DGED，连接BG，FG.在ADE 和BDG 中，ADDB，12，EDDG，ADE BDG(SAS)AEBG，34.又4590，3590.又DFEG，DEDG，FGEF.在RtFBG 中，BG 2BF 2FG 2，即AE 2BF 2EF 2.证明：1勾股定理不三角形三边平方关系的综合应用：单一应用：先由三角形三边平方关系得出直角三角形后，再求这个直角三角形的角度和面积：综合应用：先用勾股定理求出三角形的边长，再由三角形平方关系确定三角形的形状，进而解决其他问题；逆向应用：如果一个三角形两条较小边长的平方和丌等于最大边长的平方，那么这个三角形就丌是直角三角形.2应用勾股定理解题的方法：(1)添线应用，即题中无直角三角形，可以通过作垂线，构 造直角三角形，应用勾股定理求解；(2)借助方程应用，即题中虽有直角三角形，但已知线段的 长丌完全是直角三角形的边长，可通过设未知数，构建 方程，解答计算问题；(3)建模应用，即将实际问题建立直角三角形模型，通过勾 股定理解决实际问题