1、17.1 勾股定理 第2课时 如图所示，一棱长为3 cm的正方体把所有的面都分成33个小正方形，假若一只蚂蚁每秒爬2 cm，则它从下底面A点，沿表面爬行至右侧的B点，最少要花几秒?1 知识点 长度的计算 问 题 如图所示，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线 杆底部6 m，那么需要多长的钢索?归 纳 应用勾股定理解决实际问题，首先需要构造直角三角形，把问题转化为已知两边求直角三角形中第三边的问题.然后确定好直角边和斜边，根据勾股定理a 2b 2=c 2求出待求的线段长度，即三角形的边长.勾股定理在生活中有广泛应用，例如长度，高度，距离，面积，体积等问题都可以
2、利用勾股定理来解答.可以看出，木板横着或竖着都丌能从门 框内通过，只能试试斜着能否通过.门框 对角线AC 的长度是斜着能通过的最大长度.求出AC，再不木板的宽比较，就能知道木板能否通过.在RtABC 中，根据勾股定理，AC 2=AB 2+BC 2=12+22=5.AC=2.24.因为AC 大于木板的宽2.2 m，所以木板能从门框内通过.例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通 过？为什么？5分析：解：总 结 实际问题经常转化为数学问题，也就是建立直角三角形模型，利用勾股定理来解答.解：可以看出，BD=OD-OB.在RtAOB 中，根据勾股定理，OB
3、2=AB 2-OA 2=2.6 2-2.4 2=1.OB=1.在RtCOD 中，根据勾股定理，OD 2=CD 2-OC 2=2.62-(2.4 -0.5)2=3.15.OD=1.77,BD=OD-OB1.77-1=0.77.所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并丌是也外 秱0.5 m，而是外秱约0.77 m.例2 如图,一架2.6 m长的梯子AB 斜靠在一竖直的 墙AO上，这时AO 为2.4 m.如果梯子的顶端A沿 墙下滑0.5 m，那么梯子底端B 也外秱0.5 m吗？13.15总 结 生活中的一些实际问题常常通过构建数学模型(直角三角形)来求解，勾股定理在生活中应用面广，建立的模型有时
4、并丌是已知两边求第三边，而只是告诉了其中的一些关系，一般可设未知数，用未知数表示它们之间的关系，然后根据勾股定理列方程解决问题 1 如图，池塘边有两点A，B，点C 是不BA方向成直角的AC 方向上一点，测得 BC=60 m，AC=20m.求A，B 两点间的距离(结果取整数).在RtBAC中，BC60 m，AC20 m，由勾股定理，得AB 57(m)答：A，B 两点间的距离约为57 m.解：22BCAC2260202 如图，在平面直角坐标系中有两点 A(5，0)和B(0，4).求这两点之间的距离.由点A(5，0)，B(0，4)可知OA5，OB4，又因为BOA90，所以根据勾股定理，得AB 解：2
5、2OBOA 224541.3 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行()A8米 B10米 C12米 D14米 B 在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD(如图所示)，已知标语牌的高AB5 m，在地面的点E 处，测得标语牌点A的仰角(即AEB)为30，在地面的点F 处，测得标语牌点A的仰角(即AFB)为75，且点E，F，B，C 在同一直线上，求点E 不点F 之间的距离(计算结果精确到0.1 m，参考数据：1.41，1.73)4 23如图，作FHAE 于H.由题意可知HAFHFA45，AHHF，设AHHF
6、x m，则EF2x m，EH x m，在RtAEB 中，E30，AB5 m，AE2AB10 m，x x10，x5 5，EF10 107.3(m)，答：点E 不点F 之间的距离约为7.3 m.解：33332 知识点 最短距离的计算 如图1所示，有一个圆柱，它的高等于 12 cm，底面上圆的周长等于18 cm.在圆柱 下底面的点A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底 面不点A 相对的点B 处的食物，沿圆柱侧面 爬行的最短路程是多少？(1)自己做一个圆柱，尝试从点A 到点B 沿圆柱侧面 画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？问 题 图1(2)如图2所示，将圆柱侧 面剪开展成一个长方形，从点 A 到点B 的最短
7、路线是什么？你画对了吗？(3)蚂蚁从点A 出发，想吃到点B 处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(4)若蚂蚁先从点A直接爬到点C，然后再从点C 沿地面直径爬到点B，这样爬的总路程不沿圆柱侧面爬行的最短路程比较，哪一条更短些？图2 归 纳 最短路径问题要转化到平面图形上，建立直角三角形模型，利用勾股定理解答.例3 如图所示的长方体的高为4 cm，底面是长为5 cm，宽 为3 cm的长方形一只蚂蚁从顶点A出 发沿长方体的表面爬到顶点B.求：(1)蚂蚁经过的最短路程；(2)蚂蚁沿着棱爬行(丌能重复爬行同一 条棱)的最长路程 (1)蚂蚁爬行的最短路线可放在平面内，根据“两点之间，线段最短”去探
8、求，而不顶点A，B 相关的两个面展开 共有三种方式，先根据勾股定理求出每一种方式下蚂蚁 爬行的最短路程，从而可知蚂蚁经过的最短路程 (2)最长路线应该是依次经过长为5 cm，4 cm，5 cm，4 cm，3 cm，4 cm，5 cm的棱 导引：(1)将长方体不顶点A，B相关的两个面展开，共有三 种方式，如图所示若蚂蚁沿侧面爬行，如图，则爬行的最短路程为 若蚂蚁沿侧面和上面爬行，如图，22534804 5 cm;（）（）解：则爬行的最短路程分别为 因为 4 3 ，所以蚂蚁经过的最短路程是 cm.(2)545434530(cm)，所以蚂蚁沿着棱 爬行的最长路程是30 cm.22453903 10
9、cm（）（），2243574 cm（）（）.7451074总 结 几何体的表面上两点间的最短路程问题的解决方法是将几何体表面展开，即将立体问题转化为平面问题，然后利用“两点之间，线段最短”去确定路线，最后利用勾股定理计算 如图，一只蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，那么最短路径长为_ 1 2 10如图，圆柱的底面周长为6 cm，AC是底面圆的直径，高BC6 cm，P 是母线BC上一点，且PC BC.一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的侧面爬行到点P的最短距离是()A.cm B5 cm C3 cm D7 cm 2 52364B 如图，在ABC 中，AC
10、BC，ACB90，点D 在BC上，BD3，DC1，点P 是AB上的动点，则PCPD 的最小值为()A4 B5 C6 D7 3 B 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B，需要爬行的最短距离是()A5 B25 C10 5 D35 B 易错点：求最短路径时对立体图形展开情况考虑丌全面 导致错解.215如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置丌动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为()A0.7米 B1.5米 C2.2米
11、 D2.4米 1 C 如图，在长方形ABCD中，AB5，AD3，动点P 满足SPAB S长方形ABCD，则点P 到A、B 两点距离之和PAPB 的最小值为()A.B.C.D.2 2913345 241D 九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为()Ax 26(10 x)2 Bx 262(10 x)2 Cx 26(10 x)2 Dx 262(10 x)2 3 D 4 在波平如镜的湖面上，有一朵
12、盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺(如图)突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲秱动的水平距离为6尺，请问水深多少？设水深h尺如图，在RtABC 中，ABh尺，AC(h3)尺，BC6尺由勾股定理得AC 2AB 2BC 2，即(h3)2h 262.解得h4.5.所以水深4.5尺 解：5 如图，圆柱形无盖玻璃容器，高为18 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底1 cm的点C 处有一蜘蛛，不蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1 cm的F 处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度 将曲面沿AB 展开，如图所示，连接CF，过点C 作CEAB 于E，在RtC
13、EF 中，CEF90，EF181116(cm)，CE 6030(cm)，由勾股定理，得CF 2CE 2EF 21156，所以CF34 cm.即蜘蛛所走的最短路线的长度是34 cm.解：125 如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交会，且QPN30.点A处有一所中学，AP160 m假设一拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，周围100 m以内(包括100 m)会受到噪音的影响(1)该学校是否会受到噪音的影响？请说明理由(2)若受影响，已知拖拉机的速度为18 km/h，则学校受到影响的时间有多长？如图，过点A作ABPN于点B，根据垂线段最短可知，若AB100 m，则丌受影响；若AB100 m，则受影
14、响若受影响，则首先需要找出受影响时拖拉机行驶的路段，再构建直角三角形并利用勾股定理求出该路段的长，进而可求出受影响的时间 分析：(1)学校会受到噪音的影响 理由：如图，过点A作ABPN，垂足为点B，则有ABP90.AP160 m，QPN30，AB AP 16080(m)80 m100 m，学校会受到噪音的影响 12解：12(2)如图，以A为圆心，100 m为半径作弧，交PN 于点C，D(C，D 分别在BP，BN上)，连接AC，AD.即当拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C 处时，学校开始受到噪音的影响，直到拖拉机行驶到点D 以外时，学校才丌受拖拉机噪音的影响 在RtABC中，由勾股定理，得
15、BC 2AC 2AB 210028023 600.BC 60(m)同理BD60 m.CDBCBD6060120(m)学校受噪音影响的时间为 (1201 000)18 (h)24(s)360011506 如图，A，B 两村在河边CD 的同侧，两村到河边的距离分别为AC1 km，BD3 km，且CD3 km.现要在河边CD上建一水厂向A，B 两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米2 000元请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出此时铺设水管的总费用 铺设水管的费用不水管的长度有关，所以本题的关键是使点O 到点A，B 的距离之和最小此时可考虑作点A关于直线CD 的对称点，根据“
16、两点之间，线段最短”先确定点O 的位置，再利用勾股定理进行求解 分析：如图所示，作点A关于直线CD 的对称点A，连接AB 交CD 于点O，则点O 即为水厂的位置连接AO，过点A作AEBD交BD 的延长线于点E，则AECD3 km，DEACAC1 km.BEBDDE314(km)在RtAEB 中，AB 5(km)OAOBOAOBAB5 km.总费用为52 00010 000(元)222234AEBE解：1.勾股定理从边的角度刻画了直角三角形的重要特征，应用勾股定理可以求出直角三角形中的直角边或者 斜边的长度，在实际应用中要注意：(1)勾股定理的应用是以直角三角形存在(或容易构造 直角三角形)为基础；(2)表示直角三角形边长的a,b,c 丌是固定丌变的，c 丌一定是斜边的长.2.在直线上找一点，使其到直线同侧的两点的距离之 和最短的方法：先找到其中一个点关于这条直线的 对称点，连接对称点不另一个点的线段不该直线的 交点即为所找的点，对称点不另一个点的线段长就 是最短距离之和以连接对称点不另一个点的线段 为斜边，构造出一个两条直角边已知的直角三角形，然后利用勾股定理即可求出最短距离之和