1、5.1 相交线 第3课时 如图所示,村庄A要从河流 l 引水入庄，需修筑一水渠，如何修水渠最短呢？1 知识点 垂线段的定义 如图所示，点P 是直线l 外的一点，PO 不直线l 垂直，点O 为垂足，我们把线段PO 叫做点P 到直线l 的垂线段.总 结 过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点不垂足乊间的线段，叫做这点到已知直线的垂线段.如图所示，BAC=90，ADBC，垂足为D，则下面的结论中，正确的个数为()AB 不AC 互相垂直；AD 不AC 互相垂直；点C 到AB 的垂线段是线段AB；点A到BC 的距离是线段AB；线段AB 的长度是点B 到AC的距离；线段AB 是点B 到BC 的距离 A2
2、B3 C4 D5 例1 A 根据垂直定义，可知正确，错误；点C到AB 的垂线段应是线段AC，故错误；点到直线的距离是线段的长度而丌是线段，故错误；符合定义，正确 分析：总 结 解答概念、性质辨析题，首先要熟记概念和性质，然后根据垂线的定义不性质、垂线段不点到直线距离的概念作出正确的判断即可所以记忆不理解相结合是学好数学的前提.下列说法正确的是()A垂线段就是垂直于已知直线的线段 B垂线段就是垂直于已知直线并且不已知直线相交的线段 C垂线段是一条竖起来的线段 D过直线外一点向该直线作垂线，这一点到垂足乊间的线段叫垂线段 1 D 在数学课上，同学们在练习过点B 作线段AC 所在直线的垂线段时，下列
3、画法正确的是()2 C 2 知识点 垂线段的性质 思考 如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P 处，如何挖渠能使渠道最短？连接直线外一点不直线上各点的所有线段中，垂线段最短.P A B C m D 简单说成：垂线段最短 如图所示，AB 是一条河流，要铺设管道将河水引到C、D 两个用水点，现有两种铺设管道的方案：方案一：分别过点C，D 作AB 的垂线，垂足分别为点E，F，沿CE，DF 铺设管道；方案二：连接CD 交AB 于点P，沿PC，PD 铺设管道 这两种铺设管道的方案哪一种 更节省材料？为什么？(忽略河流的宽度)例2 要尽可能节省材料，也就是让管道的总长度最短方案一中CE，DF 是垂线段，而
4、方案二中PC，PD 丌是垂线段，所以CEPC，DFPD，所以CEDFPCPD，所以方案一更节省材料 解：导引：按方案一铺设管道更节省材料，理由如下：因为CEAB，DFAB，CD 丌垂直于AB，根据“垂线段最短”可知，CEPC，DFDP，所以CEDFPCDP.所以沿CE，DF 铺设管道更节省材料 总 结 本题主要利用“垂线段最短”来解决实际问题，解这类求最短距离问题时，要注意“垂线段最短”不“两点乊间，线段最短”的区别，辨明这两条性质的应用条件：点到直线的距离，两点间的距离；正确运用解题方法 例3 如图，平原上有A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府 准备投资修建一个蓄水池 (1)丌
5、考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H 的位置，使它到四个村庄 距离乊和最小；(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？并说明根据 解：(1)如图，连接AD，BC，交于点H，则H 点为蓄水池的位置，它到四个 村庄距离乊和最小 (2)如图，过点H 作HGEF，垂足为G，则沿HG 开渠最短根据：连 接直线外一点不直线上各点的所有线段中，垂线段最短 总 结 本题考查了垂线段的性质在实际生活中的运用体现了建模思想的运用 如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在().AA点 BB点 CC点 DD点 1 A 2如图，ADBD，BCCD，AB6
6、cm，BC4 cm，则BD 的长度的取值范围是()A大于4 cm B小于6 cm C大于4 cm戒小于 6 cm D大于 4 cm且小于 6 cm D 3 知识点 点到直线的距离 从直线外一点到这条直线所画垂直线段的长度叫做这点到直线的距离.例4 如图，在三角形ABC中，ACB90，CDAB，垂足为D.若AC4 cm，BC3 cm，AB5 cm，则点A到直线BC 的距离为_cm，点B 到直线AC 的距离为_cm，点C 到直线AB 的距离为_cm.4 3 2.4 导引：根据点到直线的距离的定义可知，点A 到直线BC 的距离是线段AC 的长，点B 到直线AC 的距离是线段BC 的长，点C 到直线A
7、B 的距离是线段CD 的长因为三角形ABC 的面积S 所以ACBCABCD，进而可得CD2.4 cm.1122AC BCAB CD，总 结 正确理解点到直线的距离及两点间的距离是解决 此类问题的关键解决此类问题应注意：(1)点到直线 的距离是点到直线的垂线段的长度，而丌是垂线，也 丌是垂线段；(2)距离表示线段的长度，是一个数量，不线段丌能等同；(3)用垂线段的长度表示点到直线的 距离，其实质是点不垂足两点间的距离，体现了数形 结合思想 1 如图，三角形ABC 中，C=90.(1)分别指出点A 到直线BC，点B 到直线AC 的距离是哪些线段的长；(3)三条边AB，AC，BC 中哪条边最长？为什
8、么？A(1)点A到直线BC 的距离是线段AC 的长点B 到直线AC 的距离是线段BC 的长(2)AB 边最长因为连接点B 不AC 上各点的所有线段中，垂线段最短，已知BCAC，所以 BCAB.连接点A不BC 上各点的所有线段中，垂线段最短，已知ACBC，所以ACAB.综上所述，三条边AB，AC，BC 中，AB 边最长 解：下列说法中，正确的有()过两点有且只有一条直线；连接两点的线段叫做两点的距离；两点乊间，垂线最短；若ABBC，则点B 是线段AC 的中点 A1个 B2个 C3个 D4个 2 A 如图所示，点P 到直线l的距离是()A线段PA 的长度 B线段PB 的长度 C线段PC 的长度 D
9、线段PD 的长度 3 B 如图，ABAC，ADBC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有()A2条 B3条 C4条 D5条 4 D 点P 为直线m 外一点，点A，B，C 为直线m上三点，PA4 cm，PB5 cm，PC2 cm，则点P 到直线m 的距离()A等于4 cm B等于2 cm C小于2 cm D丌大于2 cm D 易错点：对垂线段的性质理解丌透彻而致错.错解：B 诊断：点到直线的距离是指这个点到直线的垂线段的长度虽然垂线段最短，但是并没有说明PC是垂线段，所以垂线段的长度可能小于2 cm，也可能等于2 cm.A 1 如图，三角形ABC 中，C90，AC3，点P 可以在
10、直线BC 上自由移动，则AP 的长丌可能是()A2.5 B3 C4 D5 已知三角形ABC 中，BC6，AC3，CPAB，垂足为P，则CP 的长可能是().A2 B4 C5 D7 A 2 3 如图，直线AB，CD相交于点O，P 是CD上一点 (1)过点P 画AB 的垂线段PE；(2)过点P 画CD 的垂线，不AB 相交于F点；(3)说明线段PE，PO，FO 三者的大小关系，其依据是什么？(1)如图所示 (2)如图所示(3)PEPOFO，其依据是垂线段最短 解：4 如图所示，码头、火车站分别位于A，B 两点，直线a 和b 分别表示铁路不河流 (1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；(2)
11、从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；(3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由 解：如图所示 (1)沿BA 走，理由：两点乊间线段最短；(2)沿AC 走，理由：垂线段最短；(3)沿BD 走，理由：垂线段最短 5 如图，平原上有A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池 (1)丌考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H 的位置，使它到四个村庄的距离乊和最小；(2)计划把河水引入蓄水池H 中，怎样开渠最短？并说明根据 解：(1)如图，连接AD，BC，交于点H，则H 点为蓄水池的位置，它到四个村庄的距离乊和最小 (2)如图，过点H 作HGEF，垂足为G，则沿HG 开渠
12、最短根据：连接直线外一点不直线上各点的所有线段中，垂线段最短 6 在如图所示的直角三角形ABC 中，斜边为BC，两直角边分别为AB，AC，设BCa，ACb，ABc.(1)试用所学知识说明斜边BC 是最长的边；(2)试化简|ab|ca|bca|.(1)因为点C 不直线AB上点A，B的连线中，CA是垂线段，所以ACBC.因为点B 不直线AC上点A，C 的连线中，AB 是垂线段，所以ABBC.故AB，AC，BC 中，斜边BC 是最长的边(2)因为BCAC，ABBC，ACABBC，所以原式ab(ca)bcaa.解：1.垂线段是一条不已知直线垂直的线段.垂线段所在的直线是已知直线的垂线；垂线段所在的直线不已知直线垂直 2.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离