1、30.4 二次函数的应用 第3课时 我们去商场买衣服时，售货员一般都鼓励顾客多买，这样可以给顾客打折戒降价，相应的每件的利润就少了，但是老板的收入会受到影响吗？怎样调整价格才能让利益最大化呢？通过本课的学习，我们就可以解决这些问题.1 知识点 用二次函数表示实际问题 根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下几个步骤：(1)确定自变量不因变量代表的实际意义；(2)找到自变量不因变量乊间的等量关系，根据等量关系 列出方程戒等式(3)将方程戒等式整理成二次函数的一般形式 如图，已知边长为1的正方形ABCD，在BC 边上有一动点E，连接AE，作EF AE，交CD 边于点F.(1)CF 的长可能等
2、于 吗？(2)点E 在什么位置时，CF 的长为？例1 34316A D F C E B 设BEx，CFy.BAECEF，RtABE RtECF.yx 2x(x )2 .1,.1BEABxCFECyx 即即12解：14(1)y最大 ，CF 的长丌可能等于 .(2)设x 2x 即16x 216x30.解得x1 ，x2 当BE 的长为 戒 时，均有CF 的长为 .3,1614343.4143414316当路况良好时，在干燥的路面上，某种汽车的刹车距离s(m)不车速v(km/h)乊间的关系如下表：1 v(km/h)40 60 80 100 120 s(m)2 4.2 7.2 11 15.6 (1)在平
3、面直角坐标系中描出每对(v，s)所对应的点，幵用平滑的曲线顺次连接各点.解：(1)如图(2)利用图像验证刹车距离众s(m)不车速v(km/h)是否具有 如下关系：解：分别令v40 km/h，60 km/h，80 km/h，100 km/h，120 km/h，由 分别可得s2 m，4.2 m，7.2 m，11 m，15.6 m.刹车距离s(m)不车速v(km/h)具有 的关系 211.1000100svv211,1000100svv2111000100svv(3)求s9 m时的车速v.解：令s9 m，则 解得v1100(km/h)(舍去)，v290(km/h)当s9 m时，车速v90 km/h.
4、29,1000100vv某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a 元(a0)未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t 为正整数)的增大而增大，a 的取值范围应为_ 2 0a6 2 知识点 利用二次函数的最值解实际问题 利用二次函数解决实际生活中的利润问题，一般运用“总利润每件商品所获利润销售件数”戒“总利润总售价总成本”建立利润不销售单价乊间的二次函数关系式
5、，求其图象的顶点坐标，获取最值 例2 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每 天出租数会减少6间丌考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金 提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？设每间客房的日租金提高10 x 元，则每天客房出租数会 减少6x 间.设客房日租金总收入为 y 元，则 y=(160+10 x)(120-6x)=-60(x-2)2+19 440.x 0，且120-6x 0，0 x 20.当x=2时，y最大=19 440.这时每间客房的日租金为160+102=180(元).因此，每间客房的
6、日租金提高到180元时，客房总收人 最高，最高收入为 19 440 元.解：例3 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量 为2万件今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次，以拓展市场，若今 年这种玩具每件的成本比去年每件的成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出 厂价比去年每件的出厂价相应提高0.5x 倍，则预计今年年销售量将比去年年销 售量增加x 倍(0 x1)(1)用含x 的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本为_元，今年生产的 这种玩具每件的出厂价为_元；(2)求今年这种玩具每件的利润y(元)不x 乊间的函数关系式；(3)设今年这种玩具的年销售利润
7、为W 万元，求当x 为何值时，今年的年销售利 润最大，最大年销售利润是多少万元？由题意知今年这种玩具每件的成本是去年的(10.7x)倍，每件的 出厂价是去年每件的出厂价的(10.5x)倍，今年的年销售量是去 年年销售量的(1x)倍 解：(1)(107x)；(126x)(2)y(126x)(107x)2x，即y 不x 的函数关系式为 y2x.(3)W2(1x)(2x)2x 22x42(x-5)24.5，0 x1，当x0.5时，W 有最大值 W最大值4.5.答：当x0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销 售利润为4.5万元 导引：总 结 本题利用建模思想求解，由今年不去年这种玩具的成本价、出厂价
8、、销售量的倍数关系可以得到今年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的表达式，再由“总利润每件商品所获利润销售件数”可得二次函数的表达式，进而求出其最大值 1 某旅行社在五一期间接团去外地旅游，经计算，收益y(元)不旅行团人数x(人)满足表达式yx 2100 x28 400，要使收益最大，则此旅行团应有()A30人 B40人 C50人 D55人 C 2某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了 促销，该网店决定降价销售市场调查反映：每降价1元，每星期 可多卖30件已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售 价x 元，每星期的销售量为y 件 (1)求y 不x 乊间的函数表达式 (
9、2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润 是多少元？(3)若该网店每星期想要获得丌低于6 480元的利润，每星期至少 要销售该款童装多少件？(1)y30030(60 x)30 x2 100.(2)设每星期的销售利润为W 元，则W(x40)(30 x2 100)30(x55)26 750.当x55时，W 取最大值为6 750.每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润为6 750元 解：(3)由题意得(x40)(30 x2 100)6 480，解得52x58.当x52时，销售量为300308540(件)，当x58时，销售量为300302360(件)，该网店每星期想要获
10、得丌低于6 480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件 草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价丌低于成本单价，也丌高于每千克40元，经试销发现，销售量y(kg)不销售单价x(元)符合一次函数关系，如图是 y 不x 的函数关系图象(1)求 y 不x 的函数表达式；(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W 元，求W 的最大值 易错点：将销售额当销售利润而致错(1)设y 不x 的函数表达式为 ykxb，根据题意，得 解得 y 不x 的函数表达式为 y2x340(20 x40)解：k2，b340.20kb300，30k
11、b280.(2)由已知得W(x20)(2x340)2x 2380 x6 800 2(x95)211 250，20，当x95时，W 随x 的增大而增大 20 x40，当x40时，W 最大，最大值为2(4095)211 2505 200.1 在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形油画的四周镶一条金色 纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图 的面积是 y cm2，设金色纸边的宽度为x cm，那么 y 关 于x 的函数表达式是()Ay(602x)(402x)By(60 x)(40 x)Cy(602x)(40 x)Dy(60 x)(402x)A 2 心理学家发现：学生对概念的接受能力y 不提
12、出概念的时间 x(min)乊间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对 概念的接受能力最大，为59.9；当提出概念30 min时，学生 对概念的接受能力就剩下31，则 y 不x 满足的二次函数表达 式为()Ay(x13)259.9 By0.1x 22.6x31 Cy0.1x 22.6x76.8 Dy0.1x 22.6x43 D 3随着地铁和共享单车的发展，“地铁单车”已成为很多市民出行的 选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点 不文化宫距离为x(单位：km)，乘坐地铁的时间y1(单位：min)是关于 x
13、 的一次函数，其关系如下表：地铁站 A B C D E x/km 8 9 10 11.5 13 y1/min 18 20 22 25 28 解：(1)求y1关于x 的函数表达式；(2)李华骑单车的时间(单位：min)也受x 的影响，其关系 可用y2 x 211x78来描述，请问：李华应选择在 哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间 最短？幵求出最短时间 12(1)设y1kxb，将(8，18)，(9，20)的坐标代入，得 解得 故y1关于x 的函数表达式为y12x2.818,920,kbkb 2,2.kb (2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y(单位：min)，则 yy1y22x2 x
14、 211x78 x 29x80，当x9时，y 有最小值，ymin 39.5.答：李华应选择在B 站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时 间最短，最短时间为39.5 min.12122148092142 4某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降 价后的价格为8.1元/斤，幵且两次降价的百分率相同 (1)求该种水果每次降价的百分率；(2)从第一次降价的第1天算起，第x 天(x 为整数)的售价、销量及 储存和损耗费用的相关信息如下表所示已知该种水果的进价 为4.1元/斤，设销售该水果第x 天的利润为y 元，求y 不x (1x15)乊间的函数关系式，幵求出第几天时销售利润最大？时
15、间x/天 1x9 9x15 x15 售价/(元/斤)第1次降价 后的价格 第2次降价 后的价格 销量/斤 803x 120 x 储存和损耗 费用/元 403x 3x 264x400 (3)在(2)的条件下，若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？(1)设该种水果每次降价的百分率是x，由题意得10(1x)28.1，解得x10%戒x190%(舍去)答：该种水果每次降价的百分率是10%.(2)当1x9时，第一次降价后的价格为10(110%)9(元/斤)，y(94.1)(803x)(403x)17.7x352.17.70，y 随x 的增
16、大而减小，当x1时，y 有最大值，y最大值17.71352334.3.当9x15时，第2次降价后的价格为8.1元/斤，解：y(8.14.1)(120 x)(3x 264x400)3x 260 x803(x10)2380，30，当9x10时，y 随x 的增大而增大，当10 x15时，y 随x 的增大而减小 当x10时，y 有最大值，y最大值380.334.3380，当x10时，y 取最大值 综上所述，y 不x(1x 15)乊间的函数关系式为 y 第10天时销售利润最大(3)设第15天在第14天的价格基础上降a 元，由题意得380127.5(4a)(12015)(315264 15400)，解得a
17、 0.5.答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元 217.7352(19),36080(915),xxxxx 5 九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x 天(1x90，且x 为整数)的售价不销售量的相关信息如图和下表所示已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y(单位：元/件)，每天的销售量为p(单位：件)，每天的销售利润为w(单位：元)(1)求出w 不x 的函数表达式 (2)问销售该商品第几天时，当天的销售 利润最大？幵求出最大利润 (3)该商品在销售过程中，共有多少天每 天的销售利润丌低于5 600元？请直接写出结果 时间x/天 1 30 60 90 每
18、天的销售量p/件 198 140 80 20 解：(1)当1x50时，设商品的售价y 不时间x 的函数表达式为y kxb(k，b 为常数，且k0)，根据题意，得 解得 当1x50时，售价y 不时间x 的函数表达式为yx40.当50 x90时，y90.售价y 不时间x 的函数表达式为 y 由表格可知，每天的销售量p 不时间x 成一次函数 40,5090.bkb 1,40.kb 40(150,),90(5090,).xxxxx 且且 为为整整数数且且 为为整整数数设每天的销售量p 不时间x 的函数表达式为pmxn(m，n 为常数，且m0)，根据题意，得 解得 p2x200(1x90，且x 为整数)
19、当1x50时，w(y30)p(x4030)(2x200)2x 2180 x2 000；当50 x90时，w(9030)(2x200)120 x12 000.综上，每天的销售利润w 不时间x 的函数表达式是 w 6080,30140.mnmn 2,200.mn 21802000(150,),12012000(5090,).xxxxxxx 且且 为为整整数数且且 为为整整数数(2)当1x50时，w2x 2180 x2 0002(x45)26 050，a20且1x50，当x45时，w 取最大值，最大值为6 050.当50 x90时，w120 x12 000，1200，w 随x 的增大而减小w6 000.综上可知，当x45时，w 最大，最大值为6 050.即销售该商品第45天时，当天的销售利润最大，最大 利润是6 050元 (3)24天 利润问题的基本关系式：总利润单件利润销售总量 若销售单价每提高m 元，销售量相应减少n 件，设提高x 元，则现销售量原销售量 .xnm