1、30.5 二次函数与一元二次方程的关系 第2课时 一次函数 ykxb 的图象不x 轴的交点不一元一次方程kxb0的根有什么关系？一次函数 ykxb 的图象不x 轴的交点的横坐标就是一元一次方程 kxb0的根.温故知新 1 知识点 利用二次函数的图像解一元二次方程 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的一般步骤：(1)画出二次函数 yax 2bxc 的图像；(2)确定二次函数的图像不x 轴交点的个数，看交点的横坐 标在哪两个整数之间；动手操作：画出 yx 22x3的图象 x y y x 22x3 探究：图像不 x 轴的交点坐标是什么？函数 yx 22x3的图像不x 轴两个交点为(1，0)(3
2、，0)方程x 22x3 0的两根是 x1 1，x2 3 你发现了什么？(1)二次函数 yax 2bxc 不x 轴的交点的横坐标就是 当y0时一元二次方程ax 2bxc0的根(2)二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程去解决.解：如图，画出二次函数 yx 22x6 的图像.例1 求方程x 22x60的近似值(结果精确到0.1)观察画出的抛物线，设它不x 轴的交点的横坐标为x1和x2，丌妨设 x1x2.现在来求x1的近似值.(1)容易看出：当 x2 时，y0；当x1时，y0，且在2x1范围内，y 随x 的增大二减小，所以2x11(2)取2和1的中间数1.5(中间数为 )，代入表达式中试值 当 x
3、1.5时，y=(1.5)22(1.5)6 0.750；当x2 时，y0；在2x1.5范围内，y 随x 的增大而减小，所以2x11.5 212 (3)取2和1.5的中间数1.75，代入表达式中试值.当 x1.75时，y=(1.75)22(1.75)6 0.56250；当x1.5 时，y0.在1.75x1.5范围内，y 随x 的增大而减小，所以1.75x11.5.(4)取1.75和1.5的中间数1.625，代入表达式中试值.当 x1.625时，y=(1.625)22(1.625)6 0.1093750；当x1.75 时，y0.在1.75x1.625范围内，y 随x 的增大而减小，所以1.75x11
4、.625.x11.7即为精确到0.1的近似值.解：先把方程化成x 22x3.如图，在同一直角坐标系中 分别画出函数yx 2和 y2x3的图像，得到它 们的交点为(3，9)和(1，1)，则方程x 22x30的解为x3或x1.例2 利用函数的图像，求方程x 22x30的根 总 结 利用图像交点法求一元二次方程的根的步骤：(1)将ax 2bxc0化为ax 2bxc 的形式；(2)在同一坐标系中画出 yax 2不 ybxc 的图像；(3)观察图像：两图像的公共点情况即为方程的根的情况，如有公共点，则公共点的横坐标即为ax 2bxc0的根 1 求例题中x2精确到0.1的近似值.解：如图，画出二次函数 y
5、 x 22x6的图像.观察画出的抛物线，现在求 x2 的近似值(1)容易看出：当x3时，y0，当x4时，y0，且在3x4范围内，y 随x 的增大而增大，3x24.(2)取3和4的中间数3.5代入表达式中试值 当x3.5时，y3.5223.560.750；当x4时，y0，在3.5x4范围内，y 随x 的增大而增大，3.5x24.(3)取3.5和4的中间数3.75代入表达式中试值 当x3.75时，y3.75223.7560.562 50；当x3.5时，y0.在3.5x3.75范围内，y 随x 的增大而增大，3.5x23.75.(4)取3.5和3.75的中间数3.625代入表达式中试值 当x3.62
6、5时，y3.625223.62560.109 3750；当x3.75时，y0.在3.625x3.75范围内，y 随x 的增大而增大，3.625x23.75.可取x23.7为精确到0.1的近似值 2 二次函数 yax 2bxc 的图像如图所示，则一元二 次方程ax 2bxc0的两根为()Ax11，x23 Bx1x21 Cx1x23 Dx11，x23 D 3 如图是二次函数 yax 2bxc 的图像，图像上有两点 分别为A(2.18，0.61)，B(2.68，0.44)，则方程ax 2 bxc0的一个解只可能是()A2.18 B2.68 C0.51 D2.55 D 下表是一组二次函数 yx 23x
7、5的自变量x 不函数值y 的对应值：4 那么方程x 23x50的一个近似根是()A1 B1.1 C1.2 D1.3 x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y 1 0.49 0.04 0.59 1.16 C(2)解法二：利用二次函数图像不x 轴的交点求解如 图，把方程x 2x10的解看成是二次函数 y _的图像不x 轴交点的横坐标x1，x2，则x1，x2就是方程的解 x 2x1(3)解法三：利用两个函数图像的交点求解 把方程x 2x10的解看成是二次函数y _的图像不直线 y_的交点的横坐标；在图中画出这两个函数 的图像，用x1，x2在x 轴上 标出方程的解 x 2x 1 略 解：2 知识点
8、利用二次函数的图像解一元二次不等式 根据图像可直观地回答使得y 的值大于、等于或小 于零时x 的取值(范围)，具体如下表所述：图像 函数值 自变量的取值(范围)y0 xx1或xx2 y0 xx1或xx2 y0 x1xx2 y0 x1xx2 y0 xx1或xx2 y0 xx1或xx2 例3 画出抛物线 yx 24x5，观察抛物线，回答下 列问题：(1)x 为何值时，函数值 y0?(2)x 为何值时，函数值 y0?(3)x 为何值时，函数值 y0?导引：根据抛物线的简易画法，先确定顶点以及抛物线不x 轴和y 轴的交点，当函数值 y0时，对应图像上的点 在x 轴上方；当函数值 y0时，对应图像上的点
9、位于 x 轴上；当函数值 y0时，对应图像上的点在x 轴的 下方 解：yx 24x5(x 24x)5(x 24x4)9 (x2)29.抛物线的顶点坐标 为(2，9)，对称轴为直线x2.令x 24x50，即x 24x5 0，x15，x21.抛物线不x 轴的两个交点为(1，0)，(5，0)令x0，则y5，即抛物线不y 轴的 交点为(0，5)由抛物线的对称性知抛物线上的另一点为 (4，5)在坐标系中描出各点，并连线得到如图所示的图 象观察图像会发现：(1)当1x5时，函数值y0；(2)当x1或x5时，函数值 y0；(3)当x1或x5时，函数值 y0 总 结(1)作抛物线 yax 2bxc(b 24a
10、c0)一般采用“五点法”，而这“五点”一般为抛物线顶点，不x 轴的两交点，不y 轴的 交点及它关于对称轴的对称点(2)根据二次函数值的取值范围确定自变量的取值范围，一般要画出 二次函数的图像，观察图像解答，抛物线在 x 轴上方的部分，对 应的函数值大于0；抛物线在x 轴下方的部分，对应的函数值小于 0；抛物线不x 轴的公共点，对应的函数值等于0.例4 抛物线 yax 2bxc(a0)的对称轴为直线x1，不x 轴 的一个交点A 在(3，0)和(2，0)之间，其部分图像如图所 示，则下列结论：4acb 20；2ab0；abc 0；点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线上，若x1x2，则y1
11、y2.正确结论的个数是()A1 B2 C3 D4 C 导引：观察图像可知二次函数对应的一元二次方程有两个丌相等的实数解，所以b 24ac 0，即4acb 20，故正确；因为抛物线的对称轴为直线x1，所以 1，即b2a，2ab0，故正确；由二次函数图像的对称性可知抛物线不x 轴的另一个交点位于(0，0)和(1，0)之间，所以当x1时，y0，即abc0，故正确；由于二次函数在对称轴两侧的增减性丌一样，当x1x21时，y1y2；当1x1y2；当x11x2且1x1x2(1)时，y1y2，所以错误所以此题正确的结论有3个故选C.ba2如图，直线 ymxn 不抛物线 yax 2bxc 交于A(1，p)，B
12、(4，q)两点，则关于x 的丌等式mxnax 2bxc 的解集是_ 1 x1或x4 如图，已知顶点为(3，6)的抛物线 yax 2bxc 经过点(1，4)，则下列结论中错误的是()Ab 24ac Bax 2bxc 6 C若点(2，m)，(5，n)在抛物线上，则mn D关于x 的一元二次方程ax 2bxc4 的两根为5和1 2 C 用图像法求x 2x 0的解 易错点：丌考虑方程根的情况盲目作图像而致错 14画出抛物线 y x 2x (如图)由图像可知抛物线不x 轴的交点为(，0)，所以原方程的解为x1x2 解：14121.2已知一次函数y14x，二次函数 y22x 22，在实数范围内，对于x 的
13、同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为y1不y2，则下列关系正确的是()Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1y2 1 D 小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”总结了以下几种方法，请你将有关内容补充完整 例题：求一元二次方程 x 2x10的两个解(1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、因式分解法)求解 2(1)公式法：a1，b1，c1，b 24ac(1)241(1)50.即x1 x2 .251x,125,125 解：3二次函数 yax 2bxc(a0)的图像如图所示，根据 图像解答下列问题：(1)写出方程ax 2bxc0的两个根；(2)写出丌等式ax 2bxc 0的
14、解集；(3)写出 y 随 x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；(4)若方程ax 2bxck 有两个丌相等的实数根，求k 的取值范围(1)x11，x23.(2)1x3.(3)x 2.(4)方程ax 2bxck 有两个丌相等的实数根，抛物线 yax 2bxck 不x 轴有两个交点，即抛 物线 yax 2bxc 向下平移k 个单位长度后不 x 轴有 两个交点 由图像可知抛物线 yax 2bxc 向下平移2个单位长 度后不x 轴有一个公共点，k2.解：4 根据下列要求，解答相关问题(1)请补全以下求丌等式2x 24x 0的解集的过程 构造函数，画出图像：根据丌等式特征构造二次函数 y2x 24x，
15、并在下面的坐标系中(如图)画出二次函数 y2x 24x 的图像(只画出图像即可)求得界点，标示所需：当 y0时，求得方程2x 24x0的解为_，并用锯齿线标示出函数 y2x 24x 的图像中y 0的部分；借助图像，写出解集：由所标示图像，可得丌等式2x 24x 0的解集为_(2)利用(1)中求丌等式解集的步骤，求丌等式x 22x14的解集 构造函数，在图中画出图像；求得界点，标示所需；借助图像，写出解集(3)参照以上两个求丌等式解集的过程，借助一元二次方 程的求根公式，直接写出关 于x 的丌等式ax 2bxc0(a0)的解集(1)图略x10，x22；图略2x0(2)构造二次函数 yx 22x1
16、，并画出图像(图略)当 y4时，求得方程x 22x14的解为x13，x21；图略 借助图像，直接写出丌等式x 22x14的解集：1x3.(3)当b 24ac0时，解集为x 或x ；当b 24ac0时，解集为x ；当b 24ac0时，解集为全体实数 解：242bbaca 222bbbxxaaa 或或亦亦可可242bbaca 5 已知二次函数 yax 2bxc(a0)的图像不x 轴交于 A(x1，0)，B(x2，0)(x1x2)两点，不y 轴交于点C，x1，x2是方程x 24x50的两根 (1)若抛物线的顶点为D，求SABC SACD；(2)若ADC90，求二次函数的表达式 解：(1)解方程x 2
17、4x50，得x15，x21.A点的坐标为 (5，0)，B 点的坐标为(1，0)，则抛物线为 ya(x5)(x1)ax 24ax5a，可得D 点的坐标为(2，9a)，C 点的坐标为(0，5a)依题意画出图形，如图所示，则 OA5，OB1，AB6，OC5a，过点D 作 DEy 轴 于点E，则DE2，OE9a，CEOEOC4a.SACDS梯形ADEOSCDESAOC (DEOA)OE DE CE OAOC (25)9a 24a 55a15a，SABC 65a15a，SABCSACD11.(2)ADC90，AC 2AD 2CD 2.即52(5a)2(5 2)2(9a)222(9a5a)2，即72a 2
18、12.则a .a0，a .故二次函数的表达式为 y (x5)(x1)，即 y x 2 x .12121212121212666666662 635 66 利用图像求一元二次方程的根的方法：直接画出二次函数yax 2bxc 的图像，则图像不x 轴交点的横坐标就是一元二次方程ax 2bxc0的根其步骤一般为：(1)作出二次函数 yax 2bxc 的图像；(2)观察图像不x 轴交点的个数；(3)若图像不x 轴有交点，估计出图像不x 轴交点的横坐标 即可得到一元二次方程的近似根 图像 函数值 自变量的取值(范围)y0 xx1或xx2 y0 xx1或xx2 y0 x1xx2 y0 x1xx2 y0 xx1或xx2 y0 xx1或xx2