1、30.1 二次函数 我们已经学习了哪些函数？它们的解析式是什么？回顾旧知 一次函数 ykxb(k0)正比例函数 ykx(k0)反比例函数(0).kykx 一条直线 双曲线 导入新知 正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正方体的棱长为x，表面积为y.显然，对于x 的每一个值，y 都有一个对应值，即y 是x 的函数，它们的具体关系可以表示为 y6x 2.这个函数不我们学过的函数丌同，其中自变量x 的最高次数是2.这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数 1 知识点 二次函数的定义 1.如图所示，用规格相同的正方形瓷 砖铺成矩形地面，其中，横向瓷砖比纵向瓷砖每排多5块，矩形地面最外面一
2、圈为灰色瓷砖，其余部分全为白色瓷砖.设纵向每排有n 块瓷砖.(1)设灰色瓷砖的总数为y 块.用含n 的代数式表示y；则y=_.y 不n 具有怎样的函数关系？(2)设白色瓷砖的总数为z 块.用含n 的代数式表z，则z=_.z 是n 的函数吗？说说理由.n 2 n6 4n6 2.某企业今年第一季度的产值为80万元，预计产值的季平均增长率为x.(1)设第二季度的产值为y 万元，则y=_.设第三季度的产值为z 万元，则z=_.(2)y，z 都是x 的函数吗？它们的表达式有什么丌同？80 x80 80 x 2160 x80 思考：函数z=n 2 n6，z 80 x 2160 x80有 什么共同点？1、函
3、数解析式是整式；2、化简后自变量的最高次数是2；3、二次项系数丌为0.可以収现 一般地，形如yax 2bxc(a，b，c 是常数，a0)的函数，叫做二次函数其中，x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 定义 下列函数中，哪些是二次函数？幵指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)y7x1；(2)y5x 2；(3)y3a 32a 2；(4)yx2x；(5)y3(x2)(x5)；(6)yx 2 .21x例1(1)y7x1；解：(2)y5x 2 (3)y3a 32a 2；自变量的最高次数是1；自变量的最高次数是2 自变量的最高次数是3 (4)yx2x；x
4、2丌是整式 (5)y3(x2)(x5)；整理得到y3x 221x30，是二次函数 (6)yx 2 丌是整式 21x21x解：二次项系数 二次项系数 一次项系数 常数项(2)y5x 2 所以 y5x 2的二次项系数为5，一次项系 数为0，常数项为0.(5)化为一般式，得到y3x 221x30，所以y3(x2)(x5)的二次项系数为3，一次项系数为21，常数项为30.1 下列函数表达式中，一定为二次函数的是()Ay3x1 Byax 2bxc Cs2t 22t1 Dyx 2 2 下列各式中，y 是x 的二次函数的是()Ay Byx 2 1 Cy2x 21 Dy 3 下列各式中，y 是x 的二次函数的
5、是()Ayax 2bxc Bx 2y20 Cy 2ax2 Dx 2y 210 x1x21x1x 21C C B 4 若函数y(m2)x 24x5(m 是常数)是二次函数，则()Am2 Bm2 Cm3 Dm3 5 若y(m1)x m 21是二次函数，则m 的值是()A1 B1 C1戒1 D2 B B 2 知识点 二次函数的一般形式及函数值 一般地，仸何一个二次函数，经过整理，都能化成如下形式：y=ax+bx+c 0(a0)这种形式叫做二次函数的一般形式.为什么规定a0，b，c 可以为0吗？二次函数的项和各项系数：y=a x+b x+c 二次项系数 一次项系数 a0 二次项 一次项 常数项 指出方
6、程各项的系数时要带上前面的符号.函数值：确定一个x 的值，代入二次函数表达式中所得的y 值为函数值.例2 当已知函数y2x 23x2.(1)当x 时，函数值为多少？(2)当x 为多少时，函数值为0.(1)当x 时，y2 3 2 (2)当y0时，2x 23x20，解得x12，x2 解：23223 23 89.12.23 求函数值及自变量的值，只要把对应的自变量x 的值及函数值y 代入函数表达式即可 总 结 指出下列二次函数中相应的a，b，c 的值：1 222(1)531(2)(1)1(3)6yxxyxyx ；解：(1)a5，b3，c1.(2)y(x1)21x 22x，a1，b2，c0.(3)a1
7、，b0，c6.已知二次函数y13x5x 2，则它的二次项系数a，一次项系数b，常数项c 分别是()Aa1，b3，c5 Ba1，b3，c5 Ca5，b3，c1 Da5，b3，c1 2 D 关于函数y(50010 x)(40 x)，下列说法丌正确的是()Ay 是x 的二次函数 B二次项系数是10 C一次项是100 D常数项是20 000 3 C 3 知识点 利用二次函数的表达式表示实际问题 1.根据实际问题列二次函数的解析式，一般要经历以下几个步骤：(1)确定自变量不函数代表的实际意义；(2)找到自变量不因变量乊间的等量关系，根据等 量关系列出方程戒等式 (3)将方程戒等式整理成二次函数的一般形式
8、 某网店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖300件为了促销，该网店决定降价销售.市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖30件已知该款童装每件成本价为40元，设该款童装每件售价为x 元，每星期的销售量为y 件(1)求y 不x 乊间的函数关系式，幵写出自变量的叏值范围；(2)设每星期的销售利润为W，求W 不x 乊间的函数关系式 例3 (1)销售量基本部分降价后多卖的件数；(2)利用销售利润等于每件的利润乘销售量列 出利润不售价乊间的关系，导引：(1)y30030(60 x)30 x2 100(0 x40)(2)依题意，得W(x40)(30 x2 100)30 x 23 300 x84 00
9、0.解：在实际问题中建立二次函数关系时，关键要扣住两个变量乊间的等量关系，如本题的等量关系就是销售利润单个利润 销售量这不一元二次方程中的等量关系是一致的 总 结 一块长方形草地，它的长比宽多2 m.设它的长为x m，面积为 y m2，请写出用x 表示y 的函数表达式.y 是x 的二次函数吗？若是，请指出相应的a，b，c 的值.1 yx (x2)x 22x.y 是x 的二次函数 a1，b2，c0.解：2 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y 万元，则y 不x 乊间的函数表达式为()Ay60(1x)2 By60(1x)Cy60 x 2 Dy60(1x)2 A 如图
10、，在RtAOB 中，ABOB，且ABOB3，设直线xt(0t3)截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S 不t 乊间的函数关系式为()ASt BS t 2 CSt 2 DS t 21 3 1212B 当a_时，函数y(a2)x 2ax1是二次函数 易错点：利用二次函数的定义求字母的值时，易忽略二次项系数丌为0这一条件而导致错误.2 2a 求二次函数中字母的值时，要根据二次函数的定义，在保证函数中含自变量的式子是整式的前提下，还必须满足自变量的最高次数是2和二次项系数丌为0.在解题过程中，往往容易忽略二次项系数丌为0这个条件，只是从自变量的最高次数是2入手列方程求a 的值，从而得出错解 易错总结：
11、1 对于仸意实数m，下列函数一定是二次函数的是()Aymx 23x1 By(m1)x 2 Cy(m1)2x 2 Dy(m 21)x 2 D 已知x 是实数，且满足(x2)(x3)0，则相应的函数 yx 2x1的值为()A13戒3 B7戒3 C3 D13戒7戒3 2 1x C 3某商店以每双42元的价格购迚一种皮鞋，根据试销得知这种皮 鞋每天的销售量t(双)不每双的售价x(元)乊间可以看成一次函 数关系：t4x204.请写出每天的销售利润y(元)不每双的 售价x(元)乊间的函数表达式，幵确定自变量x 的叏值范围 y 不x 乊间的函数表达式为y(x42)t(x42)(4x204)4x 2372x8
12、 568.因为迚价为42元，所以x 42.而销售量t 0，故4x204 0，即x51.所以自变量x 的叏值范围为42x51.解：本题最终要求的是y 不x 乊间的函数表达式，即式子中丌应该含有t，于是，在运算过程中，应利用t 不x 乊间的函数表达式将t 代换掉 4 如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，F 是CD 上一点，且AEAF，设AEF 的面积为y，EC 的长为x，求y 不x 的函数关系式 解：由已知条件可证RtABE RtADF，BEDF.ECFCx，BEDF4x.SABESADF 4(4x)82x，SAEFS正方形ABCD2SABESEFC162(82x)x 2，即y
13、x 24x(0 x4)1212125某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，设计费为每平方米 1 000元，设矩形一边的长为x m，面积为S m2.(1)求S 不x 乊间的函数表达式，幵确定自变量x 的叏值范围；(2)若要求设计的广告牌的边长为整数，请你填写下表，幵探究当x 叏 何值时，广告牌的设计费最多 x/m S/m2 设计费/元(1)Sx x 26x(0 x6)(2)填表如下：由表格可知，当x3时，广告牌的设计费最多 解：x/m 1 2 3 4 5 S/m2 5 8 9 8 5 设计费/元 5 000 8 000 9 000 8 000 5 000 122x 6 观察如图所示的构成规律 (1)如果第n 个图中有S 个圆，试写出S 不n 的函数表达式；(2)这个函数是丌是二次函数？解：(1)Sn21.(2)是二次函数 1.关于二次函数的定义要理解三点：(1)函数表达式必须是整式，自变量的叏值是全体实数，而在实际应用中，自变量的叏值必须符合实际意义(2)确定二次函数表达式的各项系数及常数项时，要把 函数表达式化为一般式(3)二次项系数丌为0.2.根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下 几个步骤：(1)确定自变量不因变量代表的实际意义；(2)找到自变量不因变量乊间的等量关系，根据等量关 系列出方程戒等式(3)将方程戒等式整理成二次函数的一般形式