1、5.3简单的轴对称图形 第1课时 什么样的三角形是等腰三角形？它有哪些特征？复 习 回 顾 1 知识点 等腰三角形的对称性 等腰三角形是生活中常见的图形.(1)等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请找出它的对称轴.(2)等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？(3)等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？(4)沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？说说你的理由.等腰三角形是轴对称图形.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边 上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都 是等腰三角形的对称轴.等腰三角形的两个底角相等.总 结 性质1：等腰三角形是
2、轴对称图形，顶角平分线(或底 边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴 1 下面是由大小丌同的等边三角形组成的图案，请找出它的对称轴.解：有3条对称轴，如图 2 在下列学习用具中，丌是轴对称图形的是()3 一个等边三角形的对称轴共有()A1条 B2条 C3条 D6条 C C 知识点 2 知识点 等腰三角形的“三线合一”性质 性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简写成“三线合一”)知识点 例1 如图，在ABC 中，ABAC，AD 是BC 边上的中 线，ABC 的平分线BG 交AC 于点G，交AD 于点E，EFAB，垂足为F.(1)若BAD25，求C 的度数；(2)
3、试说明：EFED.知识点(1)因为ABAC，AD 是BC 边上的中线，所以BADCAD.所以BAC2BAD50.因为ABAC，所以CABC (180 BAC)(18050)65.(2)因为ABAC，AD 是BC 边上的中线，所以 EDBC，又因为BG 平分ABC，EFAB，所以EFED.解：1212知识点(1)等腰三角形的“三线合一”的性质是说明角相等、线段相等和垂直关系的既重要又简便的方法；因为 题目的说明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”性质的应用也是单一的，一般得出一 个结论，因此应用要灵活(2)在等腰三角形中，作“三线”中“一线”，利用“三线合一”是等腰三角形中常用的方法
4、总 结 知识点 例2 如图，ABAE，BCDE，BE，AMCD，垂足为M.试说明：CMMD.由已知AMCD 和结论 CMMD，联想到等腰 三角形“三线合一”的 性质，由此连接AC，AD 构造等腰三角形 导引：如图，连接AC，AD.在ABC 和AED 中，所以ABC AED(SAS)所以ACAD.又因为AMCD，所以CMMD.解：ABAEBEBCED ，知识点 对于单一等腰三角形作“三线合一”的基本图形，作底边上的高、中线还是顶角平分线，可根据解题需要作辅助线；对于叠合等腰三角形作“三线合一”的基本图形，则需巧作辅助线，下面就如下几种图形说明巧作辅助线 的方法：1.如图甲的情形，需作底边上的高；
5、总 结 知识点 2.如图乙的情形，需作顶角平分线；3.如图丙的情形，需作中线；4.如图丁的情形，需连接AD 并延长再说明其是“三 线”即可 1 墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平.他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，ABAC，BC 边的中点D 处挂了一个重锤.小明将BC 边不木条重合，观察此时重锤是否通过A 点.如果重锤过A 点，那么这根木条就是水平的.你能说明其 中的道理吗？能根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形ABC 底边BC 上的中线DA 应垂直于底边BC(即木条)如果重锤过点A，说明AD 所在直线垂直于水平线，那么木条就是水平的 解：2 如图，在ABC 中，A
6、BAC，D 为BC 的中点，BAD35，则C 的度数为()A35 B45 C55 D60 C 3 如图，在ABC 中，ABAC，ADBC 于点D，DEAB 于点E，DFAC 于点F，下列结论：BADCAD；AD上任意一点到AB，AC 的距离相等；BDCD；若点P 在直线AD 上，则PBPC.其中正确的是()A B C D D 4 如图，在ABC 中，ABAC，ADBC 于点D，若AB6，CD4，则ABC 的周长是_ 20 3 知识点 等腰三角形的边、角性质 性质3：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)例3 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为()A16
7、 B20或16 C20 D12 B.错解分析：本题错在没有对结果迚行验证 当腰长为4时，两边之和为448，丌大于第三边，丌能构成三角形，应该把腰长为4的情况舍去周长应为88420.错误答案：例4 (1)在ABC 中，ABAC，若A50，求B；(2)若等腰三角形的一个角为70，求顶角的度数；(3)若等腰三角形的一个角为90，求顶角的度数 给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运 用三角形的内角和为180不等腰三角形的两底 角相等的性质求解；若给出的条件中底角、顶角 丌确定，则要分两种情况求解 导引：(1)因为ABAC，所以BC.因为ABC180，所以502B180，解得B65.(2)当底角为7
8、0时，顶角为18070240.当顶角为70时，底角为 因此顶角为40或70.(3)若顶角为90，底角为 若底角为90，则三个内角的和将大于180，丌符合三角形内角和为180.因此顶角为90.解：1807055.21809045.2(1)在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确定 为顶角或底角若已确定，则直接利用三角形的 内角和为180求解；若没有指出所给的角是顶角 还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三 角形内角和为180.(2)若等腰三角形中给出的一内角是直角或钝角，则 此角必为顶角 总 结 1 如图，在下面的等腰三角形中，A 是顶角，分别求出它们的底角的度数.(1)(18060)260
9、；(2)(18090)245；(3)(180120)230.解：2 等腰三角形有一个角是90，则另两个角分别是()A30，60 B45，45 C45，90 D20，70 B 3 如图，在ABC 中，ABAC，D 为BC 上一点，且DADC，BDBA，则B 的大小为()A40 B36 C30 D25 B 4 如图，在ABC 中，D 为AB上一点，E 为BC上一点，且ACCDBDBE，A50，则CDE 的度数为()A50 B51 C51.5 D52.5 D 4 知识点 等边三角形的性质 想一想(1)等边三角形有几条对称轴？(2)你能发现它的哪些特征？1.等边三角形的三条边都相等；2.等边三角形的内
10、角都相等，且等于 60;3.等边三角形是轴对称图形，有三条对称；4.等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线 都三线合一.例5 如图，点C 是线段AB 上任意一点(点C 不点A，B 丌重合)，分别以AC，BC 为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，AE 不CD 相交于点M，BD 不CE 相交于点N.连接MN.试说明：(1)ACM DCN；(2)MNAB.(1)因为ACD 和BCE 都是等边三角形，所以ACDC，CECB，ACDBCE60.因为ACDDCEECB180，所以DCE60.所以ACEDCB120.所以ACE DCB(SAS)所以EACBDC.又因为ACDC，A
11、CMDCN60，所以ACM DCN(ASA)解：(2)由(1)知ACM DCN，所以CMCN.又因为MCN60，所以NMCMNC60.所以NMCACM.所以MNAB.1 如图，将ABC 绕点B 顺时针旋转60得DBE，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，连接AD.下列结论一定正确的是()AABDE BCBEC CADBC DADBC C 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有()A1条 B2条 C1条或3条 D丌确定 易错点：忽略等腰三角形的特殊情形造成漏解 C 某城市几条道路的位置关系如图所示，已知ABCD，AE 不AB 的夹角为48，若CF 不EF 的长度相等，则C 的度数为()A4
12、8 B40 C30 D24 D 1 如图，ABC 是等边三角形，AD 是角平分线，ADE 是等边三角形，下列结论：ADBC；EFFD；BEBD.其中正确结论的个数为()A3 B2 C1 D0 A 2 3 如图，在等腰三角形ABC 中，ABAC，点D，E 分别在 边AB，AC上，且ADAE，连接BE，CD，交于点F.(1)判断ABE 不ACD 的数量关系，并说明理由；(2)试说明：过点A，F 的直线垂直平分线段BC.(1)ABEACD.理由如下：在ABE 和ACD 中，所以ABE ACD.所以ABEACD.(2)连接AF，并延长交BC 于点G.因为ABAC，ADAE，所以BDCE.由(1)可知A
13、BEACD.解：ABACAAAEAD，行行在BDF 和CEF 中，所以BDF CEF.所以FBFC.在ABF 和ACF 中，所以ABF ACF.所以BAFCAF.所以AG 既是等腰三角形ABC底边BC上的高，又是底边BC上的中线 所以过点A，F 的直线垂直平分线段BC.DFBEFCDBFECFBDCE，行行行行ABACABFACFBFCF，行行4 如图，四边形ABCD 是正方形，EBC 是等边三角形(1)试说明：ABE DCE；(2)求AED 的度数(1)因为四边形ABCD 是正方形，所以ABBCCD，ABCDCB90.因为EBC 是等边三角形，所以EBBCEC，EBCECB60.所以EBAE
14、CD30.在ABE 和DCE 中，所以ABE DCE.解：ABDCEBAECDEBEC，行行(2)由(1)可知，ABBE，ABE30，所以BAEBEA75.同理CDECED75.所以AED360757560150.5 如图，点C 是线段AB上任意一点(点C 不点A，B 丌重合)，分别以AC，BC 为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，AE不CD 相交于点M，BD 不CE 相交于点N.连接MN.试说明：(1)ACM DCN；(2)MNAB.(1)因为ACD 和BCE 都是等边三角形，所以ACDC，CECB，ACDBCE60.因为ACDDCEBCE180，所以DCE60.所
15、以ACEDCB120.所以ACE DCB(SAS)所以EACBDC.又因为ACDC，ACMDCN60，所以ACM DCN(ASA)解：(2)由(1)知ACM DCN，所以CMCN.又因为MCN60，所以NMCMNC60.所以NMCACM.所以MNAB.6 如图，已知ABAE，BE，BCED，点F 是CD 的中点，你知道AF 不CD 之间具有怎样的位置关系吗？请说明理由 AFCD.理由：如图，连接AC，AD.在ABC 和AED 中，所以ABC AED(SAS)所以ACAD(全等三角形的对应边相等)又因为AF 是ACD 中CD 边上的中线，所以AFCD(等腰三角形“三线合一”)解：ABAEBEBCED，行行1.等腰三角形的性质总结：(1)性质1：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或 底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴(2)性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简写成“三线合一”)(3)性质3：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)2.等边三角形的性质：(1)等边三角形的三条边都相等；(2)等边三角形的内角都相等，且等于 60;(3)等边三角形是轴对称图形，有三条对称；(4)等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线 都三线合一.