1、4.3探索三角形全等的条件 第3课时 如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种 可能的情况呢？每种情况下得到的三角形都全等吗？1 知识点 三角形全等的条件：边角边 探究 先任意画出一个ABC.再画出一个ABC，使AB=AB，AC=AC，AA(即两边和它 们的夹角分别相等），把画好的ABC 剪下来，放到ABC上，它们全等吗？A B C A D E 现象：两个三角形放在一起 能完全重合 说明：这两个三角形全等 画法：(1)画DAE=A；(2)在射线AD上截取 AB=AB，在射线 AE上截取AC=AC；(3)连接BC B C 1.判定方法二：两边和它们的夹角分别相等的两个三 角形全等(简写成“边角
2、边”戒“SAS”)2.几何语言：在ABC 和ABC 中，ABAB，ABCABC，BCBC，ABC ABC.例1 如图，点A，F，E，C 在同一条直线上，AFCE，BEDF，BEDF.试说明：ABE CDF.要说明ABE CDF，已知BEDF，只需说明 AEBCFD 和AECF 即可 而AEBCFD 由BEDF 可得；AECF 由AFCE 可得 导引：因为BEDF，所以AEBCFD.又因为AFCE，所以AFFECEEF，即AECF.在ABE 和CDF 中，因为 所以ABE CDF(SAS)解：AECFAEBCFDBEDF ，(1)要判断两个三角形全等，若已知两边相等，可考虑说明第三边相等戒两边的
3、夹角相等，是选用“SSS”还是“SAS”要根据题目的条件而定，如本题由条件BEDF 可得角的关系，故用“SAS”说明(2)判断两个三角形全等时，常要说明边相等，而说明边相等的方法有：公共边；等线段加(减)等线段其和(差)相等，即等式性质；由中点得到线段相等；同等于第三条线段的两线段相等，即等量代换；全等三角形的对应边相等等 总 结 例2 如图，AC 和BD 相交于点O，OAOC，OBOD.试说明：DCAB.根据“边角边”可说明 ODC OBA，可得CA(戒者DB)，即可说明DCAB.导引：在ODC 和OBA 中，因为 所以ODC OBA(SAS)所以CA(戒者DB)(全等三角形的对应 角相等)
4、，所以DCAB(内错角相等，两直线平行)解：ODOBDOCBOAOCOA ，本题可运用分析法寻找说明思路，分析法就是执 果索因，由未知看需知，思维方式上就是从问题入手，找能求出问题所需要的条件戒可行思路，若问题需要 的条件未知，则把所需条件当作中间问题，再找出解 决中间问题的条件 总 结 1 分别找出各题中的全等三角形，并说明理由.A B D A B(1)ABC EFD.理由：“SAS”(2)ADC CBA.理由：“SAS”解：2 如图，ACDC，BCEC，请你添加一个适当的条件：_，使得ABC DEC.ACBDCE 戒ACDBCE 戒ABDE 3 如图，在ABC 和DEF 中，BDEF，AB
5、DE，添加下列一个条件后，仍然丌能说明ABC DEF，这个条件是()AAD BBCEF CACBF DACDF D 4 如图，已知ABAE，ACAD，下列条件中丌能判定ABC AED 的是()ABCED BBADEAC CBE DBACEAD C 知识点 2 知识点 全等三角形判定“边角边”的简单应用 问题 某同学丌小心把一块三角形的玻璃从两个顶 点处打碎成两块(如图)，现要到玻璃店去配一块完全 一样的玻璃请问如果只准带一块碎片，应该带哪一 块去，能试着说明理由吗？知识点 利用今天所学“边角边”知识，带黑色的那 块因为它完整地保留了两边及其夹角，一个三 角形两条边的长度和夹角的大小确定了，这个
6、三 角形的形状、大小就确定下来了 知识点 例3 如图所示，在湖的两岸点A，B 之间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量A，B 两点之间的距离请你用学过的数学知识按以下要求设计一个测量方案(1)画出测量示意图；(2)写出测量步骤；(3)计算点A，B 之间的距离(写出求 解戒推理过程，结果用字母表示)本题让我们了解了测量两点之间距离的一种方法，设计 时，只要需要测量的线段在陆地一侧可实施，就可以达 到目的 导引：知识点(1)如图.(2)在湖岸上找到可以直接到达点A，B 的一点O，连接BO 并延长到点C，使OCOB；连接AO 并延长到点D，使ODOA，连接CD，则测量出CD 的 长度即为AB 的
7、长度(3)设CDm.因为ODOA，OCOB，CODBOA，所以COD BOA(SAS)，所以CDAB，即ABm.解：知识点 解答本题的关键是构造全等三角形，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段不已知线段之间的等量关系 总 结 知识点 例4 如图，已知RtABC RtADE，ABCADE90，BC 不DE 相交于点F，连接CD，EB.试说明：CFEF.说明CF，EF 所在的两个 三角形全等即可 由RtABC RtADE，可得边角相等关系，迚一 步可得ACD AEB，迚而得出CDF EBF，所以可得CFEF.导引：知识点 因为RtABC RtADE，所以ACAE，ABAD，ACBAED，CABE
8、AD.所以CABDABEADDAB，即DACBAE.在ACD 和AEB 中，因为 所以ACD AEB(SAS)所以CDEB，ACDAEB.又因为ACBAED，解：ACAEDACBAEADAB ，知识点 所以ACBACDAEDAEB，即DCFBEF.在CDF 和EBF 中，因为 所以CDF EBF(AAS)所以CFEF.DFCBFEDCFBEFCDEB ，1 小明做了一个如图所示的风筝，其中EDHFDH，EDFD.将上述条件标注在图中，小明丌用测量就能知道EHFH 吗？不同伴迚行交流.标注略小明丌用测量就能知道EHFH.因为根据“SAS”可以得到EDH FDH，所以EHFH.解：E 2 如图，A
9、A，BB 表示两根长度相同的木条，若O 是AA，BB 的中点，经测量AB9 cm，则容器的内径AB 为()A8 cm B9 cm C10 cm D11 cm B 3 如图，点E，F 在AB上，ADBC，AB，AEBF.试说明：ADF BCE.因为AEBF，所以AFAEEFBFEFBE.在ADF 和BCE 中，所以ADF BCE(SAS)解：ADBCABAFBE ，如图，在ABC 中，ABAC，D，E 分别是AB，AC 的中点，且CDBE，ADC 不AEB 全等吗？请说明理由 解：ADC AEB.理由如下：因为ABAC，D，E 分别是AB，AC 的中点，所以ADAE.在ADC 和AEB 中，所以
10、ADC AEB(SAS)ACABAAADAE行，（公公共共角角），易错点：误用“SSA”导致出错 两组邻边相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中ADCD，ABCB，对角线AC，BD 相交于点O，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：ACBD；AOCO AC；ABD CBD.其中正确的结论有()A0个 B1个 C2个 D3个 12D 1 2 已知：如图，BACDAM，ABAN，ADAM，试说明：BANM.解：因为BACDAM，所以BADDACDACNAM.所以BADNAM.在BAD 和NAM 中，所以BAD NAM(SAS)所以BANM.ABANBADNAMADAM行
11、，3 如图，ABDE，ABDE，BECF.试说明：ACDF.解：因为ABDE，所以BDEF.因为BECF，所以BEECCFEC，即BCEF.又因为ABDE，所以ABC DEF(SAS)所以ACBF.所以ACDF.4 如图，已知A，D，E 三点共线，C，B，F 三点共线，ABCD，ADCB，DEBF，那么BE 不DF 之间有什么数量关系？请说明理由 解：BEDF.理由如下：如图，连接BD.在ABD 和CDB 中，所以ABD CDB(SSS)ABCDADCBBDDB，所以AC.因为ADCB，DEBF，所以ADDECBBF，即AECF.在ABE 和CDF 中，所以ABE CDF(SAS)所以BEDF.AECFACABCD行，5 如图，AD 是ABC 中BC 边上的中线 试说明：AD (ABAC)12解：如图，延长AD 至点E，使DEAD，连接BE.因为AD 是ABC 中BC 边上的中线，所以CDBD.在ACD 不EBD 中，CDBDADCEDBADED行，所以ACD EBD(SAS)所以ACEB.在ABE 中，AEABBE，即2ADABAC，所以AD (ABAC)12(1)本节课学习了哪些主要内容？(2)我们是怎么探究出“SAS”判定方法的？用“SAS”判定三角形全等应注意什么问题？(3)到现在为止，你学到了几种证明两个三角形 全等的方法？