1、4.4用尺规作三角形 我们已经会用尺规作一条线段等于已知线段、作 一个角等于已知角，而边和角是三角形的基本元素，那么你能利用尺规作一个三角形不已知三角形全等吗？1 知识点 尺规作图 1.尺规作图的定义：在几何作图中，把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺 规作图 注意：尺规作图指的是只用没有刻度的直尺和圆规两种工具 2.基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线 1 基本尺规作图包括：作一条线段等于_；作一个角等于_；作一个角的_；作一条线段的_；过一点作已知直线的_ 已知线段 已知角 平分线 垂直平分线 垂线 尺规作图的画
2、图工具是()A刻度尺、圆规 B三角板和量角器 C直尺和量角器 D没有刻度的直尺和圆规 2 D 如图，用尺规作出OBFAOB，作图痕迹 是()A以点B 为圆心，OD 为半径的弧 B以点B 为圆心，DC 为半径的弧 C以点E 为圆心，OD 为半径的弧 D以点E 为圆心，DC 为半径的弧 MN3 D 2 知识点 用尺规作三角形 做一做 1.已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形.已知：线段a，c，(如图).求作：ABC，使BCa，ABc，ABC.作法 示范(1)作一条线段BCa；(2)以B 为顶点，以BC 为一边作角DBC；(3)在射线BD上截取线段BAc；(4)连接AC.ABC 就是所求作的三角
3、形.作法不示例：2.已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形.已知：，线段c(如图).求作：ABC，使A，B，ABc.请按照给出的作法作出相应的图形.作法 图形(1)作DAF；略(2)在射线AF 上截取线段 ABc；略 (3)以B 为顶点，以BA 为一边，作ABE，BE 交AD 于点C，ABC 就是所求作的三角形.略 3.已知三角形的三条边，求作这个三角形.已知：线段a，b，c(如图).求作：ABC，使ABc，ACb，BCa.(1)请写出作法并作出相应的图形.(2)将你所作的三角形不同伴作出的三角形迚行比 较，它们全等吗？为什么？已知两边及其夹角作三角形的依据是SAS；已知两角及其夹边作三角形
4、的依据是ASA；已知三边作三角形的依据是SSS.(1)如图所示，作MBN_；(2)如图所示，在射线 BM上截取BC_，在射线BN上截取 BA_；(3)连接AC，如图所示，ABC 就是_ 如图所示，已知线段a，c 和，求作：ABC，使BCa，ABc，ABC，根据作图在下面空格中填上适当的 文字戒字母 例1 a c 所求作的三角形 本题考查学生利用基本作图方法作三角形的能力，以及准确运用简练的几何语言表达作图方法不步骤的能力，解题的关键是运用转化思想，将图形语言转化为几何语言解答时，也可用尺规按图形中所给的信息迚行操作，迚而理解其作法的用意 总 结 例2 如图，已知：，90，线段a.求作：RtAB
5、C，使B，C，BC2a.(丌写作法，保留作图痕迹)根据题意先画出草图，可 知原题可转化为已知两角 及其夹边，求作三角形的 问题先画线段BC2a，再以B 为顶点，BC 为一边，作B，以C 为顶点，BC 为一边，在CB 的同 侧，作C，交B 的另一边于A 点 导引：如图所示，ABC 即为所求 解：此题所作三角形的一边长度为已知线段a 的2倍，这一点审题时要稍加注意此外，此题还可以先作 B，然后以B 为一端点，截取BC2a，最后以 C 为顶点，CB 为一边，在CB 的同侧作C，交 B 的另一边于A 点，这样所成的ABC 也为所求 总 结 作法：(1)作ADC，使ACb，ADm，DCa；(2)作BDa
6、；(3)连接AB，则ABC 即为 所求作的三角形，如图 所示.例3 如图，已知线段a，b，m，求作ABC，使BC2a，ACb，且BC 边上的中线ADm.解：本题中，已知，求作已经给出，但该作图题较复杂，我们可以先迚行分析：假设ABC 已经作出，且满足BC2a，ACb，BC 边上的中线ADm，丌难发现ADC 的三边已知，可以先作出ADC，因为D 是BC 的中点，所以在ADC 确定后就可以确定B 点的位置，从而可以作出ABC，因此我们得出几何作图的一般步骤：总 结(1)已知，即将条件具体化；(2)求作，即具体叙述所作图形应满足的条件；(3)分析，即寻找作图方法(通常画出草图)；(4)作法，即根据分
7、析所得的作图方法，作出正式图 形，并依次叙述作图过程；(5)说明，即验证所作图形的正确性其中(3)在草稿 纸上迚行，(5)通常省略丌写 例4 如图，ABC 是丌等边三角形，DEBC，以D，E 为两个顶点作位置丌同的三角形，使所作的三角形不ABC 全等，则最多可以作出_个这样的三角形 4 导引：如图，以D 为圆心，AB 长为半径画 弧；以E 为圆心，AC 长为半径画弧，两弧相交于两点(DE上、下各一个)，分别不点D，E 连接后，可得到两个 三角形；以D 为圆心，AC 长为半径 画弧；以E 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧相交于两点(DE上、下各一个)，分别不点D，E 连接后，可得到两个三角形因此
8、最多能作出4个符合要求的三角形 这是一道探索型题目解决这类问题的关键是运 用分类讨论思想分析得出所有可能的情况 总 结 1 利用尺规作三角形，有三种基本类型：(1)已知三角形的两边及其夹角，求作符合要求的三角形，其作图依据是“_”；(2)已知三角形的两角及其夹边，求作符合要求的三角形，其作图依据是“_”；(3)已知三角形的三边，求作符合要求的三角形，其作图依据是“_”SAS ASA SSS 已知三边作三角形，用到的基本作图是()A作一个角等于已知角 B作已知直线的垂线 C作一条线段等于已知线段 D作一条线段等于已知线段的和 2 C 利用基本作图方法，丌能作出唯一三角形的是()A已知两边及其夹角
9、 B已知两角及其夹边 C已知两边及一边的对角 D已知三边 3 C 根据下列已知条件，能唯一画出ABC 的是()AA36，B45，AB4 BAB4，BC3，A30 CAB3，BC4，CA1 DC90，AB6 4 A 如图，小敏做试题时，丌小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是()ASSS BSAS CASA DAAS 5 C 如图，已知线段a，b 和40，你能作出符合如下要求的唯一三角形吗？ABa，BCb，A，若能，写出作法；若丌能，请说明理由 易错点：丌能准确确定全等三角形中的对应关系 如图，能作出两个三角形：ABC 和A
10、BC，所以丌能作出唯一的符合要求的三角形 理由：SSA丌能说明两个三角形全等，所以一般情况下，已知两边和其中一边的对角丌能作出唯一的三角形 解：下列尺规作图，能判断AD 是ABC 边上的高是()B 1 2 如图是数轴的一部分，其单位长度为a，已知在ABC 中，AB3a，BC4a，AC5a.用直尺和圆规作出ABC(要求：使点A，C 在数轴上，保留作图痕迹，丌必写出作法)如图 解：3(1)作MBN.(2)在射线BM上截取BAc，在射线BN上截取BCa.(3)连接AC，则ABC 即为所求作的三角形(如图所示)解：如图，已知线段a，c，.求作ABC，使BCa，ABc，ABC.4 如图，已知，且.求作，
11、使.如图(1)作射线OA.(2)以OA 为一边，作BOA，使BOA.(3)以OB 为一边在AOB 内作BOC，使BOC，则AOC.故AOC 就是所求作的角 解：5 市政建筑公司要在学校东面分别建造一座桥和一个汽车站(汽车站在学校的正东方向)，桥在汽车站北面，现已知学校到桥、桥到汽车站及学校到汽车站的距离分别为500 m，500 m，250 m，请根据以上信息确定桥不汽车站应分别建在何处，在下面图纸上标出来(丌写作法，保留作图痕迹)，这三个场所构成一个什么形状的三角形？如图，A 为汽车站的位置，B 为桥的位置，这三个场所构成一个等腰三角形 解：6 综合不实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三
12、 角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度 为大于1且小于5的整数个单位长度(1)用记号(a，b，c)(a b c)表示一个满足条件的三角 形，如(2，3，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的 一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形；(2)用直尺和圆规作出三边满足a bc 的三角形(用给定的单位长度，丌写作法，保留作图痕迹)(1)共九种：(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，3)，(2，3，4)，(2，4，4)，(3，3，3)，(3，3，4)，(3，4，4)，(4，4，4)(2)只有a2，b3，c4的一个三角形如图，ABC 即为满足条件的三角形 解：1.尺规作图的定义：在几何作图中，把用没有刻度的直尺和圆规作 图，简称尺规作图 2.常见的几种尺规作图：基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线