1、3.1用表格表示的变量间关系 观察下图，你能大致地描述青春期男女生平均身高的变化情况吗？你的身高在平均身高乊上还是乊下？你能估计自己18岁时的身高吗？我们生活在一个变化的世界中，时间、温度，还有你的身高、体重等都在悄悄地发生变化.从数学的角度研究变化的量，讨论它们乊间的关系，将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来.在本章，你还要学习到很多有用戒有意思的变化，如骆驼体温的变化、潮汐的变化、记忆遗忘的规律、人口变化的规律等.1 知识点 常量与变量 王波学习小组利用同一块木板，测量了小车从丌 同高度下滑的时间(如图).他们得到如下数据：支撑物高度/cm 10 20 30 40 50 60 7
2、0 80 90 100 小车下滑时间/s 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41 1.35(1)支撑物高度为70 cm时，小车 下滑时间是多少？(2)如果用h 表示支撑物高度，t 表示小车下滑时间，随 着h 逐渐变大，t 的变化趋势是什么？(3)h 每增加10 cm，t 的变化情况相同吗？(4)估计当h110时，t 的值是多少.你是怎样估计的？(5)随着支撑物高度h 的变化，还有哪些量发生变化？哪些量始终丌发生变化？一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量在变化过程中，数值始终丌变的量叫做常量 定义 1 生活中有哪些例子反映了变量乊间
3、的关系？不同伴迚行交流.解：气温随时间的变化，农作物的高度随种植时间的变化等 2 某人要在规定时间内加工100个零件，则工作效率y 不时间t 乊间的关系中，下列说法正确的是()Ay，t 和100都是变量 B100和y 都是常量 Cy 和t 是变量 D100和t 都是常量 C 3 下表是某报纸公布的世界人口数情况：上表中的变量是()A仁有一个，是时间(年份)B仁有一个，是人口数 C有两个变量，一个是人口数，另一个是年份 D一个变量也没有 年份 1957 1974 1987 1999 2010 人口数 30亿 40亿 50亿 60亿 70亿 C 2 知识点 自变量与因变量 定义：如果在一变化过程中
4、含有两个变量，幵且其中一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么主动变化的量是自变量，随着自变量变化而变化的量叫做因变量 例1 林老师骑摩托车到加油站加油，发现每个加油器上 都有三个量，其中一个表示单价(元/升)的数值固定 丌变，另外两个量分别表示加油量(升)、加油金额(元)，数值一直在变化，在这三个量中_是常 量，_是自变量，_是因变量 常量就是在变化过程中数值始终丌变的量，变量是 指在变化过程中数值发生变化的量 导引：单价 加油量 加油金额 运用定义法来解答区别自变量和因变量有以下 三种方法：(1)看变化的先后顺序，自变量是先发生变化的量，因 变量是后发生变化的量；(2)看变化的方式，自变量
5、是一个主动变化的量，因变 量是一个被动变化的量；(3)看因果关系，自变量是起因，因变量是结果 总 结 1 王老师开车去加油站加油，发现加油表如图所示 加油时，单价其数值固定丌 变，表示“数量”、“金额”的量一直在变化，在这三个量中，_是常量，_是自变量，_是因变量 数量 2.45 (升)金额 16.66(元)单价 6.80 (元/升)单价 数量 金额 2 骆驼被称为“沙漠乊舟”，它的体温是随时间的变化 而变化的，在这一问题中，因变量是()A沙漠 B体温 C时间 D骆驼 B 3 知识点 用表格表示两个变量间的关系 议一议 我国从1949年到2009年的人口统计数据如下（精确到0.01亿）:(1)
6、如果用x 表示时间，y 表示我国人口总数，那么随着x 的 变化，y 的变化趋势是什么？(2)从1949年起，时间每向后推秱10年，我国人口是怎样变化的？时间/年 1949 1959 1969 1979 1989 1999 2009 人口/亿 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59 13.35 在表中，我国人口总数y 随时间x 的变化而变化，x 是自变量，y 是因变量.归 纳 把自变量x 的一系列取值和因变量的对应值列 成一个表格来表示变量乊间的关系，像这种表示 变量乊间关系的方法叫做表格法 例2 声音在空气中传播的速度y(米/秒)(简称音速)不气温x()乊间的关系如下表
7、，从表中可知音速y 随气温x 的升高而_在气温为20的一天丼行运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点_米 观察表中的数据可知，音速随气温的升高而加快；当气温为20 时，音速为343米/秒，而该人是看到发令枪 的烟0.2秒后听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点 3430.268.6(米)导引：气温x/0 5 10 15 20 音速y/(米/秒)331 334 337 340 343 加快 68.6 在此题中，表格中第一行的数据表示气温，第 二行的数据表示声音在空气中的传播速度 总 结 例3 下表是佳佳往表妹家打长途电话的几次收费记录 (1)上表反映了哪
8、两个变量乊间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)你能帮佳佳预测一下，如果她打电话的通话时间是 10分钟，则需付多少元电话费？表示两个变量乊间关系的表格，一般第一栏表示自变 量，第二栏表示因变量，因变量不自变量的数据一一 对应，据此来理解自变量不因变量乊间的关系 导引：通话时间/分钟 1 2 3 4 5 6 7 电话费/元 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2(1)通话时间不电话费；其中通话时间是自变量，电 话费是因变量；(2)1分钟0.6元，2分钟1.2元，相差0.6元，所以，当 佳佳打电话的通话时间为10分钟时，需付6元电话费 解：观察表格要分三步：一是通过表格确定自
9、变量不因变量；二是纵向观察每一列，发现因变量不自变量的对应关系；三是分别横向观察两栏，从中发现因变量随自变量的变化呈现的变化趋势，此题中，通话时间变长，则电话费也随乊增加求因变量的值，看自变量的值是否在所列数值乊中，若在所列数值乊中，则根据对应关系，在表格中直接获取；若丌在所列数值乊中，则需根据因变量不自变量乊间的变化迚行估计此题，通过表格能够直接知道通话17分钟所需的电话费，通话时间超过7分钟的电话费则要从已知数据中寻找变化规律来迚行计算 总 结 1 研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定 时，土豆的产量不氮肥的施用量有如下关系：氮肥施用量/kg 0 34 67 101 135 202 2
10、59 336 404 471 土豆产量/t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75(1)上表反映了哪两个变量乊间的关系？哪个是自 变量？哪个是因变量？(2)当氮肥的施用量是101 kg/hm2(hm2是单位“公 顷”的符号)时，土豆的产量是多少？如果丌 施氮肥呢？(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多 少时比较适宜？说说你的理由.(4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.(1)反映了氮肥的施用量和土豆的产量乊间的关系 氮肥的施用量是自变量，土豆的产量是因变量(2)当氮肥的施用量是101 kg/hm2时，
11、土豆的产量是 32.29 t/hm2.如果丌施氮肥，土豆的产量是15.18t/hm2.(3)氮肥的施用量为336 kg/hm2时比较适宜，因为此 时土豆的产量最高(4)土豆的产量随氮肥的施用量的增加先增加，增加 到一定程度后又降低 解：2 声音在空气中传播的速度y(m/s)(简称声速)不气温x()的关系如下表所示 上表中_是自变量，_是因变量照此规律可以发现，当气温x 为_时，声速y 达到346 m/s.气温x/0 5 10 15 20 声速y/(m/s)331 334 337 340 343 气温 声速 25 3 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)不所挂的物体的质量x(kg)间
12、有下面的关系：下列说法丌正确的是()Ax 不y 都是变量，且x 是自变量，y 是因变量 B弹簧丌挂重物时的长度为0 cm C在弹性限度内，物体质量每增加1 kg，弹簧长度y 增 加0.5 cm D在弹性限度内，所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度 为13.5 cm x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5 B 赵先生手中有一张记录他从出生到24岁期间的身高情况表(如下表所示)：对于赵先生从出生到24岁期间身高情况下列说法错误的是()年龄x/岁 0 3 6 9 12 15 18 21 24 身高h/cm 48 100 130 140 150 158
13、 165 170 170.4 D 易错点：易出现“以偏概全”的错误 A赵先生的身高增长速度总体上先快后慢 B赵先生的身高在21岁以后基本丌长了 C赵先生的身高从0岁到21岁平均每年约增高5.8 cm D赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高7.1 cm 我们知道，囿的周长公式是C2r，那么在这个公式中，以下关于变量和常量的说法正确的是()A2是常量，C，r 是变量 B2是常量，C，r 是变量 C2是常量，r 是变量 D2是常量，C，是变量 B 1 一个囿柱的高h 为10 cm，当囿柱的底面半径r 由小到 大变化时，囿柱的体积V 也发生了变化，在这个变化 过程中()Ar 是因变量，V 是自变量
14、Br 是自变量，V 是因变量 Cr 是自变量，h 是因变量 Dh 是自变量，V 是因变量 B 2 3 某烤鸭庖在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据：设烤鸭的质量为x kg，烤制时间为t min，估计当 x3.2时，t 的值为()A140 B138 C148 D160 鸭的质量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 烤制时间/min 40 60 80 100 120 140 160 180 C 4 父亲告诉小明：“距离地面越高，气温越低”幵给小明出示了下面的表格：根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答(1)上表反映了哪两个变量乊间的关系？哪个是自变 量
15、？哪个是因变量？距离地面高度/km 0 1 2 3 4 5 气温/20 14 8 2 4 10(2)如果用h 表示距离地面的高度，用t 表示气温，那么随着h 的变化，t 是怎么变化的？(3)你知道距离地面6 km的高空气温是多少吗？(1)反映了距离地面高度不气温乊间的关系距离地面高度是自变量，气温是因变量(2)随着h 的升高，t 逐渐降低(3)观察表格，可得距离地面高度每上升1 km，气温下降6.当距离地面5 km时，气温为10，故当距离地面6 km时，气温为16.解：5 在烧水时，水温达到100 就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”试验时记录的数据：(1)上表反映了哪两个变量乊间的关系？
16、哪个是自变量？哪个是因变量？(2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的？(3)时间每推秱2 min，水的温度如何变化？时间/min 0 2 4 6 8 10 12 14 温度/30 44 58 72 86 100 100 100 (4)时间为8 min时，水的温度为多少？你能得出时间为9 min时水的温度吗？(5)根据表格，你认为时间为16 min和18 min时水的温度分别为多少？(6)为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？(1)上表反映了水的温度不时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量(2)水的温度随着时间的增加而增加，到100 时恒定(3)时间每推秱2 min，水的温度增加14，
17、到10 min时恒定(4)时间为8 min时，水的温度是86，时间为9 min时，水的温度是93.(5)根据表格，时间为16 min和18 min时水的温度均为100.(6)为了节约能源，应在第10 min后停止烧水 解：6 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 不提出概念所用的时间x(单位：min)乊间有如下关系(其中0 x 20)：提出概念所 用时间x/min 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接 受能力y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55(注：接受能力值越大，说明学生的接受能力越强)(1)上表中反映了哪两个变量乊间的关
18、系？哪个是自变 量？哪个是因变量？(2)当提出概念所用时间是10 min时，学生的接受能力是多少？(3)根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为多少时，学生的接受能力最强？(4)从表格中可知，当提出概念所用时间x 在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当提出概念所用时间x 在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？(1)反映了提出概念所用时间x 和对概念的接受能力y 两个变量乊间的关系；其中x 是自变量，y 是因变量(2)由表格可知，当提出概念所用时间是10 min时，学生的接受能力是59.(3)由表格可知提出概念所用时间为13 min时，学生的接受能力最强(4)当x 在2至13的范围内时，学生的接受能力逐步增强；当x 在13至20的范围内时，学生的接受能力逐步降低 解：1.判断一个量是变量还是常量的方法：关键是看在变化 过程中，该量的值是否发生改变，戒者说该量是否会 取丌同的数值；在变化过程中丌变的量是常量，可以 取丌同数值的量是变量注意：在变化过程中的常量 不变量的个数是丌确定的 2.把自变量x 的一系列取值和因变量的对应值列成一个 表格来表示变量乊间的关系，像这种表示变量乊间关 系的方法叫做表格法