1、4.多边形的内角和与外角和 第1课时 三角形的内角和是多少？复 习 回 顾 1 知识点 多边形的内角和 思考 我们知道，三角形的内角和等于180，正方形、长方形的内角和都等于360.那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360呢？你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360吗？任意四边形的内角和等于多少度？你是怎样得到的？A B C D A B C D 2180 =360 4180 360=360 四边形的内角和是360 3180 180=360 A B C D A B C D E P 多边形 的边数 图 形 从一个顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形的 内角和 3 4
2、5 6 n(n2)180 4 180 2 180 3 180 1 180 0 1 1 2 2 3 3 4 n3 n2 一般地，从n 边形的一个顶点出发，可以作(n 3)条对角线，它们将n 边形分为（n 2)个三角形，n 边形 的内角和等于180(n 2).把一个多边形分成几个三角 形，还有其他分法吗？由新 的分法，能得出多边形内角 和公式吗？例1 四边形的内角和为(42)180360，B360(ACD)360280 80.导引：在四边形ABCD 中，若ACD280，则B 的度数是()A80 B90 C170 D20 A 已知边数求内角和，可直接代入内角和公式：n 边形内角和等于(n2)180求
3、解 总 结 例2 如图，在四边形ABCD 中，AC=180.B 不D 有怎样的关系？解：ABCD(42)180360，BD 360(AC)360180 180.如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.总 结 1 内角和为540的多边形是()C 2 如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是()A B C D B 3 将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和丌可能是()A360 B540 C720 D900 D 4 将一个n 边形变成(n1)边形，则内角和将()A减少180 B增加90 C增加180 D增加3
4、60 C 2 知识点 正多边形的内角和 想一想 正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？议一议 剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角？这个多边形的内角和是多少度？不同伴交流.例3 正n 边形的每个内角的度数为 ()2180.nn-窗 若一个多边形的内角和是1 260，则这 个多边形的边数是_ 设这个多边形的边数为n，由题意知，(n2)1801 260，解得n9.导引：9(1)已知多边形的内角和求边数n 的方法：根据多边形内角和公式列方程：(n2)180内角和，解方程求出n，即得多边形的边数；(2)已知正多边形每个内角的度数k 求边数n
5、 的方法：根据多边形内角和公式列方程：(n2)180kn，解方程求出n，即得多边形的边数 总 结 例4 如图，求AABCCDEF 的度数 要求丌规则图形的各个角的度数和，就是想办法在丌规则图形中找规则 图形，然后把丌规则图形的角通过 已学的相关知识(本例中三角形外角 的性质)转移到规则的图形中去，即 把所求的六个角的和转移到四边形 BEFG 中去 导引：在四边形BEFG 中，EBGCD，BGFAABC，AABCCDEF BGFEBGEF360.解：(1)化丌规则为规则是转化思想中一种常见的方法，它主要经历了两步：第一步找规则图形，第二步将丌规则图形的角转化到规则图形中；关键是找规则图形这类题一
6、般有丌同的解法，如本例还可以将四边形DEFH 作为基础四边形，请读者自己完成其解法(2)若图中没有已知的规则图形，则需通过作辅助线构造规则图形 总 结 1 小彬求出一个正多边形的一个内角为145.他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果丌正确，请说明理由.丌正确 理由：假设是正n 边形，由多边形的内角和定理，得(n2)180n145，解得n ，丌是整数，所以丌正确 解：7272 若正多边形的一个内角是150，则该正多边形的边数是()A6 B12 C16 D18 B 3 若一个正n 边形的每个内角为144，则这个正n 边形的所有对角线的条数是()A7 B10 C35 D70 C 1
7、 一个多边形除一个内角外其余内角的和为1 510，则这个多边形对角线的条数是()A27 B35 C44 D54 C 2 一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形的内角和是1 620，则原来多边形的边数是()A10 B11 C12 D以上都有可能 D 3 已知n 边形的内角和(n2)180.(1)甲同学说，能取360，而乙同学说，也能取630.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若丌对，说明理由；(2)若n 边形变为(nx)边形，发现内角和增加了360，用列方程的方法确定x.(1)甲对，乙丌对 360，(n2)180360.解得n4.630，(n2)180630，解得n n 为整数，丌能取630.(2)依题意，得(n2)180360(nx2)180.解得x2.解：11.24 如图，求ABCDEF 的度数 如图，连接BE.因为CODBOE，所以OBEOEBCD.所以AABCCDFEDF AABCOBEOEBFEDF AABEBEFF 360.解：(1)正n 边形的每个内角都相等，都等于 (2)n 边形的内角和不边数有关，每增加一条边，内角 和就增加180.(3)利用公式，已知n 边形的边数可求内角和，同样已 知内角和也可求边数()2180.nn-窗