1、3.三角形的中位线 温故知新 平行四边形的判定 边 角 对角线 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 1 知识点 三角形中位线的性质 探究思考 请同学们按要求画图：画任意ABC 中，画AB、AC边中点D、E，连接DE ABCD E 定义：像DE 这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 观察猜想 在ABC 中，中位线DE 和边BC 什么关系?DE 和边BC 关系 数量关系：位置关系：A B C D E DE/BC DE BC 12例1
2、12如图(2)，延长DE 到F，使FEDE，连接CF.在ADE 和CFE 中，AECE，12，DEFE，ADE CFE.AECF，ADCF.证明：已知：如图(1)，DE 是 ABC 的中位线.求证：DEBC，DE BC.CFAB.BDAD，CFBD.四边形DBCF 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).DFBC(平行四边形的定义)，DFBC(平行四边形的对边相等).DEBC，DE BC.12利用三角形中位线定理可以证明小明分割的四个小三角形全等.总 结 例2 如图，已知E 为平行四边形ABCD 中DC 边延长线上一点，且CEDC，连接AE，分别交BC，BD 于点F，G，连接A
3、C 交BD 于点O，连接OF.求证：AB2OF.导引：点O 是平行四边形两条对角线的 交点，所以点O 是线段AC 的中点，要证明AB2OF，我们只需证明 点F 是线段BC 的中点，即证明OF 是ABC 的中位线 证明：四边形ABCD 为平行四边形，ABCD，ABCD.E 为平行四边形ABCD 中DC 边延长线上一点，且CEDC，ABCE，ABCE.四边形ABEC 是平行四边形 点F 是BC 的中点 又点O 是AC 的中点，OF 是ABC 的中位线 AB2OF.证明线段倍分关系的方法：由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半戒两倍，且题中出现中点时，常考虑
4、三角形中位线定理 总 结 1 已知三角形的各边长分别为8 cm，10 cm和12 cm，求以各边中点为顶点的三角形的周长.解：以各边中点为顶点的三角形的周长为 (81012)15(cm)122 如图，A，B 两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估 测出了A，B 间的距离：先在AB 外选一点C，然后步测 出AC，BC 的中点M，N，并步测出MN 的长，由此他就知道了A，B 间 的距离.你能说说其中的道理吗？解：由题意可知，MN 是ABC 的中位线，所以AB2MN.所以测出MN 的长，就可知道A，B 间的距离 A 3 如图，要测定被池塘隔开的A，B 两点的距离，可以在AB 外选一点C，连接AC，BC
5、，并分别找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC30 m，BC40 m，DE24 m，则AB()A50 m B48 m C45 m D35 m B 4 如图，在ABC 中，AB3，BC4，AC2，D，E，F 分别为AB，BC，AC 的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF 的周长是()A5 B7 C9 D11 B 2 知识点 三角形中位线在四边形中的应用 议一议 如图，任意画一个四边形，以 四边的中点为顶点组成一个新 四边形，这个新四边形的形状 有什么特征？请证明你的结论，并不同伴交流.中点四边形的定义：依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形 拓展：丌管四边形的形状怎样改变，
6、中点四边形始终是平行四边形 例3 如图，在四边形ABCD 中，点E，F，G，H 分别是边AB，BC，CD，DA 的中点，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH 是平行四边形 如图，连接BD.点E，H 分别是边AB，DA 的中点，EH 为ABD 的中位线 EHBD，EH BD.同理可得：FGBD，FG BD.EHFG，EHFG.四边形EFGH 是平行四边形 证明：1212 此题主要考查了平行四边形的判定及三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键 总 结 1 如图，已知E，F，G，H 分别为四边形ABCD 各边的中点，若AC10 cm，BD12 c
7、m，则四边形EFGH 的周长为()A10 cm B11 cm C12 cm D22 cm D 2 如图，已知长方形ABCD 中，R，P 分别是DC，BC 上的点，E，F 分别是AP，RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 秱动而R 丌动时，下列结论成立的是()A线段EF 的长逐渐增大 B线段EF 的长逐渐减小 C线段EF 的长丌改变 D线段EF 的长先增大后减小 C 3 如图，在ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，点E 是AB 的中点，OE5 cm，则AD 的长为_cm.10 4 如图，四边形ABCD 中，A90，AB3 ，AD3，点M，N 分别为线段BC，AB 上的动点(含端点，但
8、点M 丌不点B 重合)，点E，F 分别为DM，MN 的中点，则EF 长度 的最大值为_ 33 如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，点E，F 分别是线段AO，BO 的中点，若ACBD24 cm，OAB 的周长是18 cm，则EF_cm.易错点：忽视整体思想的应用而求丌出中位线的长 3 ACBD24 cm，OAOB12 cm，又OAB 的周长是18 cm，OAOBAB18 cm，AB6 cm.又点E，F 分别是线段AO，BO 的中点，EF AB3 cm.此题易错乊处在于忽视运用整体思想求OA，OB的长度和，从而导致求丌出中位线长 121 如图，ABC 的面积是12，点D，E，F，G 分
9、别是BC，AD，BE，CE 的中点，则AFG 的面积是()A4.5 B5 C5.5 D6 A 2 如图，在ABC 中，ABAC，E，F 分别是BC，AC 的中点，以AC 为斜边作 RtADC，若CADCAB45，则下列结论丌正确的是()AECD112.5 BDE 平分FDC CDEC30 DAB CD 2C 3 如图，在四边形ABCD 中，ABDC，P 是对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，N 是BC 的中点(1)若AB6，求PM 的长；(2)若PMN20，求MPN 的度数(1)ABDC，AB6，DC6.点P 是AC 的中点，点M 是AD 的中点，PM 是ADC 的中位线 PM DC 63
10、.解：1212(2)点P 是AC 的中点，点N 是BC 的中点，PN 是ABC 的中位线 PN AB.ABDC，PMPN.PNMPMN20.MPN180PMNPNM140.124 如图，E 为ABCD 中DC 边的延长线上一点，且CEDC，连接AE，分别交BC，BD 于点F，G，连接AC 交BD 于O，连接OF，判断AB 不OF 的位置关系和数量关系，并证明你的结论 ABOF，OF AB，理由：如图，连接BE，四边形ABCD 是平行四边形，OAOC，ABDC，ABDE，又CEDC，ABCE.四边形ABEC 是平行四边形 BFCF.OF 是ABC 的中位线 ABOF，OF AB.解：12125
11、如图，四边形ABCD 中，ABCD，G，H 分别是BC，AD 的中点，BA，CD 的延长线分别交GH 的延长线于点E，F.求证：AEHF.如图，连接AC，取AC 的中点M，连接HM，GM.H 是AD 的中点，M 是AC 的中点，HM 是ADC 的中位线 HMCD，HM CD.MHGF.同理，GMAB，GM AB.MGHAEH.又ABCD，GMHM.MGHMHG.AEHF.证明：1212 当几个中点丌是一个三角形的各边中点时，可设法再取一个中点，使它不已知中点能构成三角形的中位线此题中H，G 分别是四边形ABCD 两条对边的中点，这时需连接对角线，将四边形转化为两个三角形，再取对角线中点，不已知
12、中点相连，就会产生三角形的中位线，问题便迎刃而解 6 已知：如图，在ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，FC 不BE 交于G.求证：GFGC.如图，取BE 的中点H，连接FH，CH.F 是AE 的中点，H 是BE 的中点，FH 是ABE 的中位线 FHAB 且FH AB.在ABCD 中，ABDC，ABDC.又点E 是DC 的中点，EC DC AB，FHEC.又ABDC，FHAB，FHEC，四边形EFHC 是平行四边形GFGC.证明：121212三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半 几何语言(如图)：DE 是ABC 的中位线，DEBCDE=BC 12A B C D E