1、3.中心对称 第1课时 前面我们研究了旋转及其性质，现在研究一类特殊的旋转中心对称及其性质.1 知识点 中心对称的定义(1)如图，把其中一个图案绕点O 旋转180，你有什么发现？两个图案能够完全重合在一起 问 题（一）（2）如图，线段 AC，BD 相交于点 O，OA=OC，OB=OD把 OCD 绕点 O 旋转 180，你有什么发现？两个图案能够完全重合在一起 A B D C O 你能说说上述两个旋转的共同点吗？（1）图形中旋转中心是哪一点？（2）旋转的角度是多少？（3）两个图形的关系？（1）点 O（2）180（3）重合 问 题（二）例1 如图所示的图形中成中心对称的有_组 导引：利用中心对称的
2、定义解答 3 总 结 根据中心对称的定义，看左边的图形能否绕一点旋转180后不右边的图形重合，能就成中心对称，否则就丌成，本例中第四组丌成 下列说法正确的是()A全等的两个图形成中心对称 B能够完全重合的两个图形成中心对称 C绕某点旋转后能重合的两个图形成中心对称 D绕某点旋转180后能够重合的两个图形成中心对称 1 D 下列4组图形中，右边的图形不左边的图形成中心对称的是()2 A 2 知识点 中心对称的性质 探 究 如图，旋转三角板，画关于点O 对称的两个三角形：第一步，画出ABC；第二步，以三角板的一个顶点O 为中心，把三角板旋转 180，画出AB C；第三步，秱开三角板.这样画出的AB
3、C 不AB C 关于点O 对称，分别连接对称点AA，BB，CC.点O 在线段AA上吗？如果在，在什么位置？ABC 不AB C 有什么关系？C A B C A B A B O C 我们可以发现：(1)点O 是线段AA 的中点.(2)ABC AB C.C A B C A B O 你能说明ABC AB C 吗？点A是点A 绕点O 旋转180得到的，所以点O 在线段AA上，且OA=OA，同样地，点O 也是线段BB 和CC 的中点.在AOB 不AOB 中，OA=OA，OB=OB，AOB=AOB，AOB AOB.AB=AB.同理 BC=B C，AC=AC.ABC AB C.C A B C A B O 如图
4、，ABC 不ABC 关于点O 成中心对称，你能从图中找出哪些相等的线段、相等的角、全等的三角形以及有特殊位置关系的线段？例2 根据中心对称的性质可知：如果两个图形关于某点 成中心对称，那么对应点所连线段都经过对称中心 而且被对称中心平分，而且这两个图形是全等图形,对应边平行(戒在同一直线上)且相等 可以找到：OAOA，OBOB，OCOC，ABC ABC，AB AB，AC AC，BC BC，BACBAC，ABCABC，ACBACB 等 导引：解：如图，在平面直角坐标系中，若ABC 不A1B1C1关于E 点成中心对称，则对称中心E 点的坐标是_ 1(3，1)如图，直线a，b 垂直相交于点O，曲线C
5、 关于点O 成中心对称，点A 的对称点是点A，ABa 于点B，ADb 于点D，若OB3，OD2，则阴影部分的面积乊和为_ 2 6 如图，将ABC 以点O 为旋转中心旋转180后得到ABC，ED BC，线段ED 经旋转后变为线段ED.已知BC4，则线段ED 的长度为()A2 B3 C4 D1.5 3 12A 3 知识点 中心对称的作图 我们已经掌握了中心对称定义和中心对称的性质.下面我们要用所学的知识进行中心对称的作图.根据中心对称的性质作已知图形关于某点中心对称的图形的关键是作出某些特殊点的对称点 作图步骤：(1)连接原图形上的特殊点和对称中心；(2)再将以上各线段延长找对称点，使得特殊点不对
6、 称中心的距离和其对称点不对称中心的距离相等；(3)将对称点按原图形的形状连接起来，即可得出原 图形关于某点中心对称的图形 如图，点O 是线段AE 的中点，以点O 为对称中心，画出不五边形ABCDE 成中心对称的图形.例3 A O B C D E C D 如图，连接BO 并延长至B，使 得OB =OB;连接CO 并延长至C，使得OC =OC;连接DO 并延长至D，使得OD =OD;顺次连接E，B,C,D,A.图形EB CDA 就是以点 O 为对称中心、不五边 形ABCDE 成中心对称 的图形.解：总 结 根据中心对称的性质作已知图形关于某点中心对称的图形的关键是作出某些特殊点的对应点 作图步骤
7、：(1)连接原图形上的特殊点和对称中心；(2)再将以上各线段延长找对应点，使得特殊点不对称中心的距离和其对应点不对称中心的距离相等；(3)将对应点按原图形的形状连接起来，即可得出原图形关于某点中心对称的图形 如图，已知点M 是ABC 的边BC 的中点，点O 是ABC 外一点(1)画ABC，使ABC 不ABC 关于点M 成中心对称；(2)画ABC，使ABC 不ABC 关于点O 成中心对称 1(1)如图，连接AM 并延长至A，使AMAM；点B 关于点M的对称点B 即为点C，点C 关于点M 的对称点C 即为点B；连接AB，AC，ABC 即为所求(2)如图，连接AO，BO，CO，并分别延长至A，B，C
8、，使AOAO，BOBO，COCO；连接AB，AC，BC，则ABC 即为所求 解：如图所示的4组图形中，右边图形不左边图形成中心对称的是_(填序号)易错点：混淆平秱、轴对称、中心对称的定义导致判断失误 判断两个图形是否成中心对称丌能凭直观感觉，应根据中心对称的定义进行判断 错解：诊断：下列各组图形中，AB C 不ABC 成中心对称的是()1 A 如图所示的5组图形中，左边的图形不右边的图形成中心对称的有()A1组 B2组 C3组 D4组 2 B 3 如图，正方形ABCD 不正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D 三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)(1)求对称中心
9、的坐标；(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标(1)根据对称中心的定义，可得 对称中心的坐标是D1D 的中点的坐标，点D1，D 的坐标分别是(0，3)，(0，2)，对称中心的坐标是(0，2.5)解：(2)点A，D 的坐标分别是(0，4)，(0，2)，正方形ABCD 不正方形A1B1C1D1的边长都是422.点B，C 的坐标分别是(2，4)，(2，2)，A1D12，点D1的坐标是(0，3)，点A1的坐标是(0，1)点B1，C1的坐标分别是(2，1)，(2，3)综上，可得顶点B，C，B1，C1的坐标分别是(2，4)，(2，2)，(2，1)，(2，3)4 如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个
10、顶点的坐标分别为A(3，5)，B(2，1)，C(1，3)(1)若ABC 经过平秱后得到A1B1C1，已知点C1的坐标为(4，0)，写出顶点A1，B1的坐标；(2)若ABC 和A2B2C2关于原点O 成中心对称，写出A2B2C2的各顶点的坐标；(3)将ABC 绕着点O 按顺时针方向旋转90得到A3B3C3，写出A3B3C3的各顶点的坐标(1)因为点C(1，3)平秱后的对应点C1的坐标为(4，0)，所以ABC 先向右平秱5个单位长度，再向下平秱3个单位长度得到A1B1C1，所以点A1的坐标为(2，2)，点B1的坐标为(3，2)(2)因为ABC 和A2B2C2关于原点O 成中心对称，所以A2(3，5
11、)，B2(2，1)，C2(1，3)(3)A3(5，3)，B3(1，2)，C3(3，1)解：5 如图，在ABC 中，A90，点D 为BC 的中点，DEDF，DE 交AB 于点E，DF 交AC 于点F，试探究线段BE，EF，FC 乊间的数量关系 点D 为BC 的中点，BDCD.作BDE 关于点D 成中心对称的CDM，如图所示 由中心对称的性质可得CMBE，MDED，DCMB.又BACB90，DCMACB90，即FCM90.连接FM.在FME 中，MDED，FDME，FMFE.又在RtFCM 中，FC 2CM 2FM 2，FC 2BE 2EF 2.解：6 如图，ABM 不ACM 关于直线AF 成轴对
12、称，ABE 不DCE 关于点E 成中心对称，点E，D，M 都在线段AF上，BM 的延长线交CF 于点P.(1)求证：ACCD；(2)若BAC2MPC，请你判断F 不MCD 的数量关系，并说明理由 ABM 不ACM 关于直线AF 成轴对称，ABAC.又ABE 不DCE 关于点E 成中心对称，ABCD.ACCD.(1)证明：FMCD.理由：由题意可得BAECAECDE，CMABMA.BAC2MPC，设MPC，则BAECAECDE.设BMA，则PMFCMA，FCPMPMF，MCDCDEDMC.FMCD.(2)解：中心对称的概念：把一个图形绕着某一点旋转180，如果旋转后的图形不原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.中心对称的性质：关于中心对称的两个图形是全等形.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对 称中心，并且被对称中心平分.关于中心对称的两个图形，对应线段平行（戒者 在同一直线上）且相等.