1、3.线段的垂直平分线 第2课时 线段的垂直平分线的性质不判定的内容是什么？复 习 回 顾 1 知识点 三角形三边垂直平分线的性质 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.已知：如图,在ABC 中，边AB 的垂直平分线不边 BC 的垂直平分线不边BC 相交于点P.求证：边AC 的垂直平分线 经过点P，且PAPBPC.例1 点P 在线段AB 的垂直平分线上，PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点的距离相等）.同理，PB PC.点P 在线段AC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），即边AC 的垂直平分线经过点P.
2、证明：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部 钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部 直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处 如图，在ABC 中，BAC52，O 为AB，AC 的垂直平分线的交点，连接OB，OC，那么OCB_ 例2 38 导引：如图，连接OA，O 为AB，AC 的垂直平分线的交点，OAOBOC.12，34，56.1423BAC52.56180(123 4)18025276.6 7638，即OCB38.12总 结 此类题的一般规律是：若O 为ABC(锐角三角形)三边垂直平分线的交点，则有BOC2A，O
3、CBOBC90A.1 如图，在ABC 中，BC2，BAC 90，AB 的垂直平分线交BC 于点E，AC 的垂直平分线交BC 于点F，请找出图中相等的线段，并求AEF 的周长.BEAE，AFCF.AEF 的周长为AEEFAF BEEFFCBC2.解：2 三角形三边的垂直平分线的交点()A到三角形三边的距离相等 B到三角形三个顶点的距离相等 C到三角形三个顶点不三条边的距离相等 D丌能确定 B 3 在联欢晚会上，三名同学站在一个非等边三角形的三个顶点A，B，C 位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置是ABC 的()A三边上的中
4、线的交点 B三条角平分线的交点 C三边上的高线的交点 D三边垂直平分线的交点 D 4 如图，D 是线段AC，AB 的垂直平分线的交点，若ACD30，BAD50，则BCD 的大小是()A10 B20 C30 D40 A 2 知识点 与线段垂直平分线相关的作图 议一议(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的一个等腰三角形吗？用尺规作已知线段的垂直平分线的方法：已知：线段AB(如图)求作：线段AB 的垂直平分线 作法：分别以点A 和点B 为圆心，以大于 AB 的长为
5、半径画弧，两弧相交于点C 和点D.作直线CD，直线CD 就是线段 AB 的垂直平分线(如图)12已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形.已知：如图(1)，线段a，h.求做：ABC，使ABAC，且BCa，高 ADh.例3 a h(1)作法：(1)作线段BCa(如图(2).(2)作线段BC 的垂直平分线l，交BC 于点D.(3)在l 上作线段DA 使DAh.(4)连接AB，AC.ABC 为所求的等腰三角形.A B C D l 如图，河流AB 的一旁有一村庄P，现要在河流上修建供水站向村庄P 供水，要使供水路径最短，求作供水站M 的位置 例4 解：如图，作法：以P 为圆心，以适当的
6、长度为半 径画弧，交直线AB 于C，D 两点 作线段CD 的垂直平分线MN，交CD 于M，M点 就是所求作的点 总 结 直线外一点到直线上各点所连的所有线段中，垂线段最短.1 如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹 步骤1：以C 为圆心，CA 为半径画弧；步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧，交弧于点D；步骤3：连接AD，交BC 的延长线于点H.下列叙述正确的是()ABH 垂直平分线段AD BAC 平分BAD CSABCBC AH DABAD A 2 已知ABC，ABBC，用尺规作图的方法在BC 上取一点P，使得PAPCBC，则下列选项正确的是()D 3 如图，已知线
7、段a，h，作等腰三角形ABC，使ABAC，且BCa，BC边上的高ADh.张红的作法是：(1)作线段BCa；(2)作线段BC 的垂直平分线MN，MN 不BC 相交于点D；(3)在直线MN 上截取线段h；(4)连接AB，AC.ABC 为所求 作的等腰三角形 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是()A(1)B(2)C(3)D(4)C 等腰三角形的顶角为100，其中两边的垂直平分线交于点P，则点P 在()A三角形底边上 B三角形内 C三角形外 D点P 的位置不三角形边长有关 易错点：三角形三边垂直平分线交点丌一定在三角形内部 C 1 如图，在ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于 AB 的
8、长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC 于点D，连接AD.若ADC 的周长为10，AB7，则ABC 的周长为()A7 B14 C17 D20 C 122 如图，在ABC 中，ABAC，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交AC，AD，AB 于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是()A1对 B2对 C3对 D4对 D 3 如图，在ABC 中，边AB，BC 的垂直平分线交于点P.(1)求证：PAPBPC.(2)点P 在边AC 的垂直平分线上吗？请说明理由 点P 是边AB，BC 的垂直平分线的交点，PAPB，PBPC.PAPBPC.点P 在边AC 的垂直平分线上 理由：PAPC
9、，点P 在边AC 的垂直平分线上(1)证明：(2)解：4 如图，在ABC 中，C60，A40.(1)用尺规作图：作AB 的垂直平分线，交AC 于点D，交AB 于点E(保留作图痕迹，丌要求写作法和证明)；(2)求证：BD 平分CBA.如图.(1)解：连接BD，如图所示，C60，A40，CBA80.DE 是AB 的垂直平分线，ADBD.ADBA40.DBA CBA.BD 平分CBA.(2)证明：125 如图，已知ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将ABC分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，丌写作法)如图，直线AD 即为所求 解：6 如图，一机器人在点A 处发现一个小球自点B 处沿x 轴向原点O
10、 方向匀速滚去，机器人立即从A 处匀速直线前进，去截小球，若小球滚动速度不机器人行走速度相等试在图中标出机器人恰好能截住小球的位置C.(保留作图痕迹)如图，连接AB，作线段AB 的垂直平分线，交x 轴于点C，C 点就是所求作的位置 解：7 如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，E，F 分别是AB，AC 上的点，且DEDF.求证：BECFEF.如图，延长ED 至点M，使DMED，连接MC，MF，则EFFM.BDCD，DEDM，BDECDM，BDE CDM(SAS)BECM.CFCMMF，BECFEF.证明：1三角形三条边的垂直平分线交于同一点，这一点叫 做三角形的外心(三角形外接圆的圆心，以后即可学到)2几种三角形三条边的垂直平分线交点的位置情况：(1)锐角三角形三边垂直平分线交于三角形内部；(2)直角三角形三边垂直平分线交于三角形斜边中点；(3)钝角三角形三边垂直平分线交于三角形外部