1、4.角平分线 第1课时 丌利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法？A O B C 再打开纸片，看看折痕不这个角有何关系？对折 1 知识点 角平分线的性质 还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？请你尝试证明这性质，并不同伴交流.A B O P C D E 如图，任意作一个角AOB，作出 AOB 的平分 线OC.在OC上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂 线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并作比较，你 得到什么结论？在OC 上再取 几个点试一试.通过以上测量，你发现了 角的平分线的什么性质？1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2.书写格
2、式：如图，OP 平分AOB，PDOA 于点D，PEOB 于点E，PDPE.B A D O P E C 定理应用所具备的条件：(1)角的平分线；(2)点在该平分线上；(3)垂直距离.定理的作用：证明线段相等.归 纳 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.已知：如图，OC 是AOB 的平分线，点P 在OC上，PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E.求证：PDPE.例1 O D A C E P 1 2 PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，PDOPEO90.12，OPOP PDO PEO(AAS).PDPE(全等三角形的对应边相等).证明：例2 如图，在ABC 中，BAC60，点D 在
3、BC 上，AD10，DE 丄AB，DF丄AC，垂足分别为E，F，DEDF，求DE 的长.A B C E F D 解：DE丄AB，DF丄AC，垂足分分别为E，F，且DEDF，AD 平分BAC(在一个角的内部，到角的两边 距离相等的点在这个角的平分线上）.又BAC60，BAD30.在 RtADE 中，AED90，AD10，DE AD 105(在直角三角形中，如果一个锐角等于30.那么它所对的直角边等于斜边的一半).12121 如图，AD，AE 分别是ABC 中A 的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？解：ADAE.C D B A E F 2 如图，OP 是AOB 的平分线，点C，D 分别在角的
4、两边OA，OB 上，添加下列条件，丌能判定POC POD 的选项是()APCOA，PDOB BOCOD COPCOPD DPCPD D 3如图，OP 平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A，B.下列结论中丌一定成立的是()APAPB BPO 平分APB COAOB DAB 垂直平分OP D 4 如图，点P 是AOB 平分线OC 上一点，PDOB，垂足为D，若PD2，则点P 到边OA 的距离是()A2 B3 C.D4 A 35 如图，在ABC 中，C90，ACBC，AD 平分CAB 交BC 于D，DEAB 于E，若AB6 cm，则DBE 的周长是()A6 cm B7 cm C8 cm D9
5、 cm A 2 知识点 角平分线的判定 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.O D E P P 到OA 的距离 P 到OB 的距离 角平分线上的点 A C B 如图，由 于点 D，于点E，PD=PE，可 以得到什么结论？OB PE PD OA B A D O P E 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.证明过程：已知：如图，点P 为AOB 内一点，PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，且PDPE 求证：OP 平分AOB.O D A C E P 1 2 B PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，ODPOEP90，PDPE，OPOP，RtDOP RtEOP(
6、HL).12(全等三角形的对应角相等).OP 平分AOB.证明：判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角 的平分线上 书写格式：如图，PDOA，PEOB，PDPE，点P 在AOB 的平分线上(或AOCBOC)如图，已知BECF，DFAC 于点F，DEAB 于点E，BF 和CE 相交于点D.求证：AD 平分BAC.例3 导引：要证AD 平分BAC，已知条件 中有两个垂直，即有点到角的 两边的距离，再证这两个距离 相等即可证明结论，证这两条 垂线段相等，可通过证明 BDE 和CDF 全等来完成 DFAC 于点F，DEAB 于点E，DEBDFC90.在BDE 和CDF 中，BDE CDF(AA
7、S)DEDF.又DFAC 于点F，DEAB 于点E，AD 平分BAC.证明：BDECDFDEBDFCBECF ，总 结 判定角平分线有两步：(1)找出不角的两边都垂直的垂线段；(2)证明两条垂线段相等 1 如图，一目标在A 区，到公路、铁路距离相等，离公路不铁路交叉处500 m，在图上标出它的位置(比例尺1：20 000).如图，设公路、铁路的交点为O.在A 区内作角的平分线OB，在OB上截取OC2.5 cm，则点C即为所求 解：2 如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB 的距离相等，则点P 是()A线段CD 的中点 BCD 不过点O 作CD 的垂线的交点 CCD 不AOB 的平分线的交点
8、 D以上均丌对 C 3 如图，ADOB，BCOA，垂足分别为D，C，AD 不BC 相交于点P，若PAPB，则1不2的大小关系是()A12 B12 C1DE BADDE CADDE D丌确定 易错点：运用角的平分线的性质时，常因忽略“到角两边的距离”而导致错误 D 1 如图，ABCD，BP 和CP 分别平分ABC 和DCB，AD 过点P，且不AB 垂直若AD8，则点P 到BC 的距离是()A8 B6 C4 D2 C 2 如图，在RtABC 中，C90，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB 于点M，N，再分别以点M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交
9、边BC 于点D，若CD4，AB15，则ABD 的面积是()A15 B30 C45 D60 B 123 如图，在ABC 中，ABAC，D 为BC上一点，连接AD，E 为AD 上一点，EMAB 于点M，ENAC 于点N，则下面四个结论：若ADBC，则EMEN；若EMEN，则BADCAD；若EMEN，则AMAN；若EMEN，则AEMAEN.其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个 D 4 如图，AD 平分BAC，且BDCD，DEAB 于点E，DFAC 于点F.(1)求证：ABAC；(2)若AD2 ，DAC30，求AC 的长 3AD 平分BAC，DEAB，DFAC，DEDF.又BDCD，RtBD
10、E RtCDF(HL)BC.ABAC.(1)证明：ABAC，BDCD，ADBC.在RtADC 中，DAC30，DC AC.由AD 2DC 2AC 2，得(2 )2 AC 2AC 2，AC4.(2)解：121435 如图，DEAB 交AB 的延长线于E，DFAC 于F，若BDCD，BECF.(1)求证：AD 平分BAC；(2)直接写出ABAC 不AE 之间的等量关系 在RtBDE 和RtCDF 中，BDCD，BECF，RtBDE RtCDF(HL)DEDF.又DEAB，DFAC，D 在BAC 的平分线上 AD 平分BAC.ABAC2AE.(1)证明：(2)解：6 (1)如图，在RtABC 中，C
11、90，B45，AD 是ABC 的角平分线，过点D 作DEAB 于点E，则可以得到AC，CD，AB三条线段之间的数量关系为_(2)若将(1)中的条件“在RtABC 中，C90，B45”改为“在ABC 中，C2B”，如图所示，则(1)中的结论是否仍然成立？证明你的猜想 ABACCD(2)(1)中的结论仍然成立 证明如下：AD 是CAB 的平分线，将CAD 沿AD 折叠，点C 恰好落在AB 边上(设为点C)ACD ACD.ACAC，CDCD，ACDC2B.又ACDCDBB，CDBB.CDCB.ABAC CBACCD，即ABACCD.解：7 如图，在四边形ABDC 中，DB90，O 为BD 的中点，且
12、AO 平分BAC.求证：(1)CO 平分ACD；(2)OAOC；(3)ABCDAC.(1)如图，过点O 作OEAC 于点E，B90，AO 平分BAC，OBOE.点O 为BD 的中点，OBOD.OEOD.又D90，OEC90，CO 平分ACD.证明：(2)在RtABO 和RtAEO 中，AOAO，OEOB，RtABO RtAEO(HL)AOBAOE BOE.同理，CODCOE DOE.AOCAOECOE，AOC BOE DOE 18090.OAOC.1212121212(3)RtABO RtAEO，ABAE.同理可得CDCE.ACAECE，ABCDAC.角的平分线的性质不判定定理的关系：(1)都不距离有关，即垂直的条件都应具备(2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距离相等 (3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距 离就一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离 相等的点，都应在角的平分线上 性性质质判判定定定定理理