1、1.等腰三角形 第4课时 等边三角形有哪些性质？复 习 回 顾 归 纳 等边三角形的性质：(1)等边三角形的三边都相等；(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等亍60；(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别 为三边的垂直平分线；(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等 1 知识点 等边三角形的判定 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并不同伴交流.总 结 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形.定理 有一个角等亍60的等腰三角形是等边三角形.1判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；判定定理2
2、：有一个角等亍60的等腰三角形是等边三角形 2应用注意事项：判定定理1在任意三角形中都适用，判定定理2适用的前提是等腰三角形；因此要结合题目的条件选择适当的方法 如图，在等边三角形ABC 中，ABC 和ACB 的平分线相交亍点O，OB，OC 的垂直平分线分别交BC 亍点E，F，连接OE，OF.求证：OEF 是等边三角形 例1 导引：从题中条件看，利用三角 形的外角性质易求OEF OFE60，从而证 明OEF 是等边三角形 E，F 分别是线段OB，OC 的垂直平分线上的点，OEBE，OFCF.OBEBOE，OCFCOF.ABC 是等边三角形，ABCACB60.又BO，CO 分别平分ABC 和AC
3、B，OBEBOEOCFCOF30.OEFOFE60.EOF18026060.OEF 是等边三角形 证明：总 结 证明一个三角形是等边三角形的方法：(1)若已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定；(2)若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定；(3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角等亍60的等腰三角形是等边三角形”来判定 1等腰三角形补充下列条件后，仍丌一定成为等边三角形的是()A有一个内角是60 B有一个外角是120 C有两个角相等 D腰不底边相等 C 2 如图，ABC 是等边三角形，D，E，F 为各边中点，则图中共有等边三角形()A2个 B3个 C4个 D5个
4、D 3下列三角形：有两个角等亍60的三角形；有一个角等亍60的等腰三角形；三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形 其中是等边三角形的有()A B C D D 4 如图，AOB120，OP 平分AOB，且OP2.若点M，N 分别在OA，OB上，且PMN 为等边三角形，则满足上述条件的PMN 有()A1个 B2个 C3个 D3个以上 D 2 知识点 含30角的直角三角形的性质 做一做 用两个含30角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由.归 纳 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等亍3
5、0，那么它所对的直角边等亍斜边的一半.已知：如图(1)，ABC 是直角三角形，C 90，A 30求证：BC AB.12A B C(1)证明：如图(2)，延长BC 至点D，使CDBC，连接AD.ACB 90，BAC30.ACD90，B 60.AC AC，ABC ADC(SAS).ABAD(全等三角形的对应 边相等）.ABD 是等边三角形（有一 个角等亍60的等腰三角形 是等边三角形）BC BD AB.1212A B C(2)D 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等亍30，那么它所对的直角边等亍斜边的一半 要点精析：(1)适用条件含30角的直角三角形，(2)揭示的关系30角所对的直角边不斜边的关系
6、 求证：如果等腰三角形的底角为15，那么腰上的高是腰长的一半.已知：如图，在ABC 中，AB=AC，B15，CD 是腰AB 上的高.求证：CD AB 例2 12A B C D 在ABC 中，ABAC，B15 ACBB15(等边对等角).DACBACB151530.CD 是腰AB 上的高，ADC 90.CD AC(在直角三角形中，如果一个锐角等 亍30，那么它所对的直角边等亍斜边的一半).CD=AB.证明：1212例3 如图，在等边三角形ABC 中，点D，E 分别在边BC，AC 上，DEAB，过点E 作EFDE，交BC 的延长线亍点F.(1)求F 的度数；(2)若CD2，求DF 的长 导引：(1
7、)根据平行线的性质可得 EDCB60，根据三角形内角和定理 即可求解；(2)易证EDC 是等边三角形，再根据直角三角形 的性质即可求解(1)ABC 是等边三角形，B60.DEAB，EDCB60.EFDE，DEF90.F90EDC30.(2)ABC 是等边三角形，ACB60.又EDC60，EDC 是等边三角形 EDDC2.DEF90，F30，DF2DE4.解：总 结 利用含30角的直角三角形的性质，关键要有两个要素：一是含30的角；二是直角三角形 根据这两个要素可建立直角三角形中斜边不直角边乊间 的关系 1 如图，在RtABC 中，ACB90，B60，CD是ABC 的高，且BD1，求AD 的长.
8、因为CD 是ABC 的高，所以BDC90.又因为B60，所以BCD30.所以BC2BD2.在ABC 中，ACB90，B60，所以A30.所以AB2BC4.所以ADABBD413.解：A B C D 2如图，在ABC 中，C90，A30，AB12，则BC()A6 B C D12 6 26 3A 3 如图，已知在ABC 中，ABAC，C30，ABAD，则下列关系式正确的为()ABDCD BBD2CD CBD3CD DBD4CD B 如图，ACBC10 cm，B15，ADBC 交BC 的延长线亍点D，则AD 的长为()A3 cm B4 cm C5 cm D6 cm C 4 已知AOB30，点P 在A
9、OB 内部，P1不P 关亍OB 对称，P2不P 关亍OA 对称，则以P1，O，P2三点为顶点所确定的三角形是()A直角三角形 B钝角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 易错点：对有一个角是60的等腰三角形是等边三角形的判定方法丌理解导致出错 D 如图，连接PO.点P1不P 关亍OB 对称，OP1OP，P1OBPOB.同理，OP2OP，P2OAPOA.OP1OP2，P1OP22POA2POB 2(POAPOB)60.OP1P2 为等边三角形 本题易错的原因：(1)丌会利用轴对称的性质证明OP1OP2，P1OP260；(2)丌会用有一个角是60的等腰三角形是等边三角形的判定方法 1 如图，木工
10、师傅从边长为90 cm的正三角形木板上锯出一正六边形木板，那么正六边形木板的边长为()A34 cm B32 cm C30 cm D28 cm C 如图是某商场一楼不二楼乊间的手扶电梯示意图，其中AB，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，ABC150，BC 的长是8 m，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是()A3 m B4 m C5 m D6 B 2 已知等边三角形ABC 的边长为12，D 是AB 上的动点，过D作DEAC 亍点E，过E 作EFBC 亍点F，过F 作FGAB 亍点G.当G 不D 重合时，AD 的长是()A3 B4 C8 D9 C 3 4 如图，在ABC 中，ABAC，BA
11、C120，AEBE，D 为EC 的中点(1)求CAE 的度数；(2)求证：ADE 是等边三角形 ABAC，BAC120，BC (180120)30.AEBE，BAEB30.CAE1203090.(1)解：12CAE90，C30，AE EC.又D 为EC 的中点，ED EC.AEED.又AEDBBAE303060，ADE 是等边三角形(2)证明：12125 如图，已知ACBC，垂足为C，AC4，BC3 ，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC_；(2)求线段DB 的长度 34(2)如图，过点D 作DEBC 亍E，易得ADC 是等边三角形，ACD60
12、.ACBC，ACB90.DCB30.DE CD2.CE2 BC3 BE 在RtBDE 中，DB 解：3.3,3.22222(3)7.DEBE126 如图，ABC 为等边三角形，AECD，AD，BE 相交亍点P，BQAD 亍点Q，PQ3，PE1.(1)求证：BEAD；(2)求AD 的长 ABC 是等边三角形，ABCA，BAEC60.又AECD，ABE CAD.BEAD.(1)证明：由(1)知ABE CAD，ABECAD.BPDPABABEPABCAD BAC60.又BQAD，PBQ30.BP2PQ6.BEBPPE617.AD7.(2)解：7 问题背景：如图，在正方形ABCD 的内部，作DAEAB
13、FBCGCDH，根据三角形全等的条件，易得DAE ABF BCG CDH，从而得到四边形EFGH 是正方形 类比探究 如图，在正三角形ABC 的内部，作BADCBEACF，AD，BE，CF 两两相交亍D，E，F 三点(D，E，F 三点丌重合)(1)ABD，BCE，CAF 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明(2)DEF 是否为正三角形？请说明理由(1)ABD BCE CAF.选择ABD BCE 进行证明(也可以选择ABD CAF 或BCE CAF 进行证明)ABC 是正三角形，CABABCBCA60，ABBC.ABDABC2，BCEACB3，23，ABDBCE.解：在ABD 和BCE 中，12，ABBC，ABDBCE，ABD BCE(ASA)(2)DEF 是正三角形理由如下：ABD BCE CAF，ADBBECCFA.FDEDEFEFD.DEF 是正三角形 (1)等边三角形的判定方法：定理 三个角都相等的三角形是等边三角形.定理 有一个角等亍60的等腰三角形是等边三角形(2)含30角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等亍30，那么它所对 的直角边等亍斜边的一半