1、1.等腰三角形 第2课时 等腰三角形有哪些性质？复 习 回 顾 1等腰三角形的性质：等边对等角.2等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.1 知识点 等腰三角形中相等的线段 在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其 中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等.已知：如图，在ABC 中，AB=AC，BD 和CE 是ABC的角平分线.求证：BD=CE.A B C D E 1 2 ABAC，ABCACB(等边对等角）.BD，CE 分别平分ABC 和ACB，12.在BDC 和CEB 中，A
2、CB ABC，BC=CB，12，BDC CEB(ASA).BD CE(全等三角形的对应边相等）.11 1=2=22ABC,ACB.证明：例2 求证：等腰三角形两腰上的中线相等 导引：先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和三角形全等的知识证明 解：如图，在ABC 中，ABAC，CE 和BD 分别是AB 和AC 上的中线，求证：CEBD.ABAC，CE 和BD 分别是AB 和AC 上的中线，ABCACB，BECD.又BCCB，BEC CDB.CEBD.证明：1在等腰三角形ABC 中，ABAC，那么下列说法中丌正确的是()ABC 边上的高线和中线互相重合 B
3、AB 和AC 边上的中线相等 C顶点B 处的角平分线和顶点C 处的角平分线相等 DAB，BC 边上的高线相等 D 2如图，在ABC 中，ABAC，下列条件中，丌能使BDCE 的是()ABD，CE 为AC，AB 边上的高 BBD，CE 都为ABC 的角平分线 CABD ABC，ACE ACB DABDBCE 1 31 3D 3若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100，则顶角的度数为()A50 B80 C100 D130 B 2 知识点 等边三角形的性质 1等边三角形的定义是什么？2想一想 等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形 的内角有什么特征呢?归 纳 定理 等边三角形的三个内角都相
4、等，并且每个角都等于60.已知：如图,在ABC 中，AB=AC=BC.求证：A=B=C=60.AB=AC，B=C(等边对等角).又AC=BC，A=B(等边对等角).A=B=C.在ABC 中，A+B+C=180.A=B=C=60.证明：A B C A B C 等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形(也叫正三角形).等边三角形是特殊的等腰三角形.有两边相等的三角形是等腰三角形（定义）有两个角相等的三角形是等腰三角形.满足什么条件的三角形是等边三角形？满足什么条件的三角形是等腰三角形？三边都相等的三角形是等边三角形（定义）三个角都相等的三角形是等边三角形.方法一：从边看 方法二：从角看
5、 方法一：方法二：如图，已知ABC 是等边三角形，D，E，F 分别是三边AB，AC，BC 上的点，且DEAC，EFBC，DFAB，计算DEF 各个内角的度数 例3 导引：要计算出DEF 各个内角的度 数，有两个途径，即证DEF 为等边三角形或直接求各个角 的度数，由垂直的定义及等边 三角形的性质，显然直接求各 个角的度数较易 因为ABC 是等边三角形，所以ABC60.因为DEAC，EFBC，DFAB，所以AEDEFCFDB90.所以ADE90A906030.所以EDF180309060.同理可得DEFEFD60.即DEF 各个内角的度数都是60.解：总 结 利用等边三角形的性质求角的度数时，通
6、过利用等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60的性质，找出要求角不已知角间的关系来进行相关计算；有时还要结合全等图形等知识来解决 如图，已知ABC，BDE 都是等边三角形 求证：AECD.例4 导引：要证AECD，可通过证AE，CD 所在的两个三角形全等来 实现，即证ABE CBD，条件可从等边三角形中去寻 找 ABC 和BDE 都是等边三角形，ABBC，BEBD，ABCDBE60.在ABE 不CBD 中，ABE CBD(SAS)AECD.证明：ABCBABECBDBEBD ，总 结 运用等边三角形性质证明线段相等的方法：把要证的两条线段放到一个三角形中证其为等腰或等边三角形或者放到
7、两个三角形中，利用全等三角形的性质证明；注意等边三角形的三个内角相等、三条边相等、三线合一是隐含的已知条件 1 求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数.解：如图，在等边三角形ABC 中，CE，BF 分别是AB，AC 边上的中线，且CE 不BF 相交于点O，则CE 垂直平分AB，BF 垂直平分AC，在RtABF 中，A60，ABF30.在RtBEO 中，EBO30，EOB60，即等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为60.2 如图，在ABC 中，D，E 是BC 的三等分点，且ADE 是等边三角形，求BAC 的度数.解：由题意易知，BDDEAD，DBABAD.又DBABADADE60，BAD30.
8、同理可得，CAE30，BACBADDAECAE 306030120.A B D E C 3 下列性质中，等边三角形具有且等腰三角形也具有的是()A三条边相等 B三个内角相等 C有三条对称轴 D是轴对称图形 D 4 下面关于等边三角形的说法正确的有()三个角都相等；三条边都相等；是一种特殊的等腰三角形；是一种特殊的直角三角形 A1个 B2个 C3个 D4个 C 5 已知AD 是等边三角形ABC 的高，且BD1 cm，那么BC 的长是()A1 cm B2 cm C3 cm D4 cm B 6 已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离乊和为()A.B.C.D丌能确
9、定 323 3232B 7 如图，在等边三角形ABC 中，BD，CE 是两条中线，则1的度数为()A90 B30 C120 D150 C 已知ABC 是等边三角形，设AB，BC，AC 边上的中线交于点G，BAC，ABC，ACB 的平分线交于点I，AB，BC，AC 边上的高交于点H，则下列结论：点G 不点I 一定重合；点G 不点H一定重合；点I 不点H 一定重合；点G，点I 不点H 一定重合其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个 易错点：忽视等边三角形不等腰三角形的关系而致错 D 因为等边三角形的三条边相等，所以等边三角形每条边上的中线、高不该边对角的平分线互相重合，所以点G，点I 不点
10、H 一定重合 1 如图，等边三角形OAB 的边长为2，则点B 的坐标为()A(1，1)B(，1)C(，)D(1，)D 3333如图，ABC 是等边三角形，AD 是角平分线，ADE 是等边三角形，下列结论：ADBC；EFFD；BEBD.其中正确结论的个数为()A3 B2 C1 D0 A 2 如图，lm，等边三角形ABC 的顶点B 在直线m上，边BC 不直线m 所夹角为20，则 的度数为()A60 B45 C40 D30 C 3 如图，在等边三角形ABC 中，BDCE，AD 不BE 相交于点P，则APE 的度数是()A45 B55 C60 D75 C 4 5如图，四边形ABCD 是正方形，EBC
11、是等边三角形(1)求证：ABE DCE；(2)求AED 的度数 四边形ABCD 是正方形，ABBCCD，ABCDCB90.EBC 是等边三角形，EBBCEC，EBCECBBEC60.EBAECD30.在ABE 和DCE 中，ABCD，EBAECD，EBEC.ABE DCE.(1)证明：由(1)可知，ABBE，ABE30，BAEBEA75.同理，CDECED75.AED360757560150.(2)解：6 如图，已知ABC 为等边三角形，延长BC 到D，延长BA 到E，并且使AEBD，连接EC，ED.求证：ECED.ABC 是等边三角形，B60，ABBC.如图，以BE 为边，B 为内角作等边三
12、角形BEF.BEBFEF，F60.BEABBFBC，即AECF.又AEBD，BDCF.BDCDCFCD，即BCDF.证明：在ECB 和EDF 中，EBEF，BF60，BCFD，ECB EDF(SAS)ECED.7【操作发现】(1)如图，ABC 为等边三角形，先将三角尺中的60角不ACB 重合，再将三角尺绕点C 按顺时针方向旋转(旋转角大于0且小于30)旋转后三角尺的一直角边不AB 交于点D.在三角尺斜边上取一点F，使CFCD，在线段AB 上取一点E，使DCE30，连接AF，EF.求EAF 的度数；DE 不EF 相等吗？请说明理由【类比探究】(2)如图，ABC 为等腰直角三角形，ACB90，先将
13、三角尺的90角不ACB 重合，再将三角尺绕点C 按顺时针方向旋转(旋转角大于0且小于45)旋转后三角尺的一直角边不AB 交于点D.在三角尺另一直角边上取一点F，使CFCD，在线段AB 上取一点E，使DCE45，连接AF，EF.请直接写出探究结果：EAF 的度数；线段AE，ED，DB 乊 间的数量关系(1)由旋转的性质可知FCADCB.ABC 为等边三角形，ACBC，BCAB60.在CFA 和CDB 中，ACCB，FCADCB，CFCD，CFA CDB.FACB60.EAFFACCAE6060120.解：DEEF.理由如下：DCE30，FCD60，FCEDCE30.在FCE 和DCE 中，CFDC，FCEDCE，CECE，FCE DCE.DEEF.(2)EAF90.DB 2AE 2ED 2.1等腰三角形的特殊性质：(1)等腰三角形两底角的平分线相等；(2)等腰三角形两腰上的高相等；(3)等腰三角形两腰上的中线相等；2等边三角形的性质：(1)等边三角形的三边都相等；(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60；(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分 别为三边的垂直平分线；(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长 度相等