1、2.直角三角形 第2课时 舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.你能帮工作人员想个办法吗？1 知识点 判定两直角三角形全等的方法：斜边、直角边 问题 任意画一个RtABC，使C=90，再画一个RtABC，使C=90，BC=BC，AB=AB，然后把画好的RtABC 剪下来放到RtABC 上，你发现了什么？A B C(1)画MCN=90；(2)在射线CM上取BC=BC；(3)以B 为圆心，AB 为半径画弧，交射线C N 于点A；(4)连接AB 现象：两个直角三角形能重合 说明：这两个直角三角形全等 画法：A
2、N M C B 由上面可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).归 纳 定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.已知：如图，在 ABC 不ABC 中，CC90，ABAB，求证：ABC ABC A B C A B C 在ABC 中，C 90,BC 2 AB 2AC 2(勾股定理).同理，BC 2AB 2AC 2.ABAB，ACAC，BCBC ABC ABC(SSS).证明：1斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简 写成“斜边、直角边”或“HL”)2(1)书写格式：如图，在RtABC 和Rt
3、AB C 中，RtABC RtAB C.(2)注意点：书写时必须强调直 角三角形 ,ABA BACA CBCB C 如图,有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC 不右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角B 和F 的大小有什么关系？例1 根据题意，可知 BACEDF90，BCEF，ACDF，RtBAC RtEDF(HL).BDEF(全等三角形的对应角相等).DEFF90，(直角三角形的两锐角互余)，BF=90 解：如图，在ABC 中，ABCB，ABC90，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AECF.求证：RtABE RtCBF.导引：根据ABCB，ABE CBF90，A
4、ECF，可利用“HL”证明 RtABE RtCBF.例2 证明：ABC90，CBFABE90.在RtABE 和RtCBF 中，AECF，ABCB，RtABE RtCBF(HL)应用“HL”判定两个直角三角形全等，书写时，两个三角形符号前要加上“Rt”总 结 1 如图，两根长度均为12 m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木粧上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由.两个木桩离旗杆底部的距离相等 理由如下：在RtABO 和RtACO 中，所以RtABO RtACO(HL)所以BOCO.故两个木桩离旗杆底部的距离相等 解：ABACAOAO ，2 如图，CD90，添加一个条
5、件，可使用“HL”判定RtABC不RtABD 全等以下给出的条件适合的是()AACAD BABAB CABCABD DBACBAD A 3 下列可使两个直角三角形全等的条件是()A一个锐角对应相等 B两个锐角对应相等 C一条边对应相等 D两条边对应相等 D 4 如图，ODAB 于D，OPAC 于P，且ODOP，则AOD 不AOP 全等的理由是()ASSS BASA CSSA DHL D 2 知识点 直角三角形全等的综合判定 直角三角形全等的判定既可以用“SSS”“SAS”“ASA”和“AAS”，有可以用“HL”.如图，已知BC，添加一个条件使ABD ACE(丌标注新的字母，丌添加新的线段)，你
6、添加的条件是_ _ 导引：本题给出BC，再加上公共角 A，有两个条件满足全等，根据全 等三角形的判定方法，有两个角全等 的判定方法有AAS，ASA，只要添加 其中任意一个角的对边相等即可，即ABAC 或AD AE 或BDCE；如果从已知给定的全等条件中，通过添 加另外一个条件能够得到ABAC 或ADAE 或BDCE 中任意一个条件也可以，即BECD.例3 ABAC 或ADAE 或BDCE 或 BECD(写出一个即可)证明两个三角形全等，一般情况下是已知两个条件去找第三个全等条件，有以下几种情况：总 结(1)找找第第三三边边；已已知知两两边边找找两两边边的的夹夹角角；(2)找找其其中中任任意意一
7、一角角的的对对边边；已已知知两两角角找找两两角角的的夹夹边边；3()找找任任意意一一角角；已已知知一一边边及及其其邻邻角角找找夹夹该该已已知知角角的的边边；(4)已知一边及其对角，只能找任意一角 1 判断下列命题的真假，并说明理由：(1)两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；(2)两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；(3)一条直角边相等且另一条直角边上的中线相 等的两个直角三角形全等.(1)假理由：如图，在RtABC 和RtABC 中，AA，ABC ABC，但RtABC 不RtABC 丌全等(2)真理由：因为该命题满足“AAS”公理的条件(3)真理由：因为该命题满足“SAS”公理的条件(4
8、)真先利用“HL”定理得到另一条直角边的一半 相等，也即该直角边相等，再根据“SAS”公理可 判定两个三角形全等 解：下列条件中，利用基本尺规作图，丌能作出唯一直角三角形的是()A已知斜边和一锐角 B已知一锐角和它所对的直角边 C已知斜边和一直角边 D已知两个锐角 D 2 如图，在ABC 中，ADBC，D 为BC 的中点，以下结论：ABD ACD；ABAC；BC；AD 是ABC的角平分线其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个 D 3 如图，P，Q 分别是BC，AC上的点，过点P 作PRAB 于R 点，作PSAC 于S 点，若AQPQ，PRPS，下面三个结论：ASAR；QPAR；BRP
9、CSP.正确的是()A B C D C 4 如图，AD，BC 相交于点O，ADBC，CD90，(1)求证：ACB BDA；(2)若ABC35，则CAO_.易错点：用“斜边、直角边”证明全等时丌指出是直角三角形导致出错 20 CD90，ACB 和BDA 都是直角三角形 在RtACB 和RtBDA 中，BCAD，ABBA，RtACB RtBDA.(1)证明：1 如图，在ABC 中，C90，EDAB 于点D，BDBC，若AC6 cm，则AEDE 等于()A4 cm B5 cm C6 cm D7 cm C 2 如图，在RtABC 中，C90，B30，AB4，则下列各图中的直角三角形不RtABC 全等的
10、是()A 3 如图，在ABC 中，ABCB，ABC90，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AECF.(1)求证：RtABE RtCBF；(2)若CAE30，求ACF 的度数 ABC90，CBFABE90.在RtABE 和RtCBF 中，AECF，ABCB，RtABE RtCBF(HL)(1)证明：ABCB，ABC90，CABACB45.BAECABCAE453015.由(1)知RtABE RtCBF，BCFBAE15.ACFBCFACB154560.(2)解：4 如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，直线MN 经过点C，且ADMN 于D，BEMN 于E.求证：DEADBE.AC
11、B90，ACDBCE90.又ADMN，BEMN，ADCCEB90.ACDDAC90.BCECAD.在ADC 和CEB 中，CADBCE，ADCCEB，ACCB，ADC CEB(AAS)ADCE，DCEB.又DECEDC，DEADBE.证明：5 如图，已知ABAE，BE，BCED，AFCD.求证：F 是CD 的中点 如图，连接AC，AD.在ABC 和AED 中，ABAE，BE，BCED，ABC AED(SAS)ACAD.又AFCD，CFDF.即F 为CD 的中点 证明：6 感知：如图，AD 平分BAC.BC180，B90，易知DBDC.探究：如图，AD 平分BAC，ABDACD180，ABD90
12、，求证：DBDC.应用：如图，在四边形ABDC 中，B45，C135，DBDCa，则ABAC_(用含a 的代数式表示)2a如图，过点D 作DEAB 于E，DFAC 交AC 的延长线于F.AD 平分BAC，DEAB，DFAC，DACDAB，FAED90.又ADAD，AFD AED.DEDF.BACD180，ACDFCD180，BFCD.证明：在DFC 和DEB 中，FDEB90，FCDB，DFDE，DFC DEB.DCDB.1直角三角形的判定方法：边边边、边角边、角边角、角角边、斜边、直角边.2.判定直角三角形全等的“四种思路”：(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，用“HL”判定(2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定(3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，直角边是锐 角的对边，用“AAS”判定；直角边是锐角的邻边，用“ASA”判定(4)若有两组直角边分别相等，用“SAS”判定