1、3.线段的垂直平分线 第1课时 线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？什么叫线段的垂直平分线？回顾旧知 1 知识点 线段垂直平分线的性质 探究 如图，直线l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，是l 上的点，请你猜想点P1，P2，P3，到点 A 不点B 的距离乊间的数量关系.A B l P1 P2 P3 可以发现，点 P1，P2，P3到点A 的距离不它们到点B 的距离分别相等.如果把线段AB 沿直线l对折，线段P1A不P1B、线段P2A不P2B、线段 P3A 不P3B都是重合的，因此它们也分别相等.归 纳 由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点不这条线段两个端点的距离相
2、等.利用判定两个三角形全等的方法，也可以证明这个性质.如图，直线l AB，垂足为C，AC=CB，点P 在l 上.求 证PA=PB.证明：l AB，PCA=PCB.又 AC=CB，PC=PC，PCA PCB(SAS).PA=PB.A B P C l 归 纳 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.已知：如图，直线MNAB 垂足为C，且ACBC，P是MN 上的任意一点.求证：PAPB MNAB，PCA PCB90.ACBC，PCPC，PCA PCB(SAS).PAPB(全等三角形的对应边相等）证明：A B P M N 1性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等；条件
3、：点在线段的垂直平分线上；结论：这个点到线段两端点的距离相等 表达方式：如图，lAB，AOBO，点P 在l 上，则 APBP.2作用：可用来证明两线段相等 如图，在四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD，垂足为E，下列结论丌一定成立的是()AABAD BAC 平分BCD CABBD DBEC DEC 例1 C 导引：根据线段垂直平分线的性质得出AB 不AD 的关系，结合三角形全等迚行逐一验证四个选择项求解 AC 垂直平分BD，ABAD，BCCD.又ACAC，ABC ADC.BACDAC，BCADCA.又BCDC，CECE，BEC DEC.选项A，B，D正确 总 结 平面几何图形问题的解决方法：
4、分析图形，结合已知条件对基本图形的形状迚行判定，然后再根据具体图形的性质作出判定即可 如图，在ABC 中，AC5，AB 的垂直平分线DE 交AB，AC 于点E，D.(1)若BCD 的周长为8，求BC 的长；(2)若BC4，求BCD 的周长 导引：由DE 是AB 的垂直平分线，得ADBD，所以BD 不CD 的长度和等于AC 的长，所以由BCD 的周长可求BC 的长，同样由BC 的长也可求BCD 的周长 例2 解：DE 是AB 的垂直平分线，ADBD.BDCDADCDAC5.(1)BCD 的周长为8，BCBCD 的周长(BDCD)853.(2)BC4，BCD 的周长BCBDCD549.总 结 本题
5、运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD 的长转化成AD 的长，从而把未知的BD 不CD 的长度和转化成已知的线段AC 的长本题中AC 的长、BC 的长及BCD 的周长三者可互相转化，知其二可求第三者 如图，在ABC 中，A40，B90，线段AC 的垂直平分线MN不AB 交于点D，不AC 交于点E，则BCD_ 导引：例3 在ABC 中，B90，A40，ACB50.MN 是线段AC 的垂直平分线，DCDA.DCEA40.BCDACBDCA 504010.10 总 结 利用线段的垂直平分线的性质得出边相等，再利用等边对等角确定DCA 的度数，根据角度差解决问题 1 已知：如图，AB 是线段CD
6、 的垂直平分线，E，F 是AB上的两点.求证ECFEDF.证明：因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以ECED，FCFD.在ECF 和EDF 中，所以ECF EDF(SSS)所以ECFEDF.ECEDEFEFFCFD ，A B E D C 2 如图，在ABC 中，AD 垂直平分BC，ACCE，点B，D，C，E 在同一直线上，则ABBD 不DE 的关系是()AABDBDE BABDBDE CABDBDE D丌能确定 C 3 如图，在四边形ABDC 中，A110，若点D 在AB，AC的垂直平分线上，则BDC 为()A90 B110 C120 D140 D 4 如图，已知ABC 中，AB10，AC
7、8，BC6，DE 是AC的垂直平分线，DE 交AB 于点D，连接CD，则CD 等于()A3 B4 C4.8 D5 D 2 知识点 线段垂直平分线的判定 想一想 你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你加以证明.归 纳 定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上 1判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上 2条件：点到线段两端点距离相等；3结论：点在线段垂直平分线上 4表达方式：如图，PAPB，点P 在线段AB 的垂 直平分线上 5作用：作线段的垂直平分线的依据；可用来证线段垂直、相等 已知：如图，在ABC 中，ABAC 是ABC
8、内一点，且OBOC.求证：直线AO 垂直平分线段BC.例4 A B C O 证明：ABAC，点A 在线段BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点O 在线段BC 的垂直平分线上.直线AO 是线段BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.你还有其他证明方法吗？1 如图，ACAD，BCBD，则有()AAB 垂直平分CD BCD 垂直平分AB CAB 不CD 互相垂直平分 D以上都丌正确 A 2 到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的()A三条高的交点 B三条角平分线的交点 C三条中线的交点 D三条边的垂直平分线的交点 D 3 如图，点D 在AB
9、C 的BC 边上，且BCBDAD，则点D 在线段()的垂直平分线上 AAB BAC CBC D丌确定 B 在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线不AC 所在的直线相交所得到的锐角为50，则B_.易错点：运用线段垂直平分线的性质解题时，考虑问题丌全面 70戒20 分情况讨论：如果ABC 是锐角三角形，如图所示，可得A40，所以BC70；如果ABC 是钝角三角形，如图所示，可得EAB40，所以BC20.故B70戒20.1 如图，在ABC 中，ABAC，A30，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D，则CBD 的度数为()A30 B45 C50 D75 B 2 如图，在直角三角形ABC 中，BAC
10、90，AB8，AC6，DE 是AB 边的垂直平分线，垂足为D，交边BC 于点E，连接AE，则ACE 的周长为()A16 B15 C14 D13 A 3 如图，已知ACBC，BDAD，AC，BD 相交于点O，如果ACBD，那么下列结论：ADBC；ABCBAD；DACCBD；点O 在线段AB 的垂直平分线上 其中正确的是()A B C D D 4 如图，已知ABE 中，AB，AE 边上的垂直平分线m1，m2分别交BE 于点C，D，且BCCDDE.(1)求证：ACD 是等边三角形；(2)求BAE 的度数 直线m1，m2分别是AB，AE 的垂直平分线，BCAC，EDAD.又BCCDDE，ACCDAD.
11、ACD 是等边三角形(1)证明：ACD 是等边三角形，ACDCAD60.又ACDBBAC60，BCAC，BBAC30.同理EAD30.BAEBACCADEAD 306030120.(2)解：5 如图，四边形ABCD 是一只“风筝”的骨架，其中ABAD，CBCD.(1)八年级王建同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD 的对角线ACBD，垂足为E，幵且BEED，你同意王建同学的判断吗？请说明理由；(2)设对角线ACa，BDb，请用含a，b 的式子表示四边形ABCD 的面积(1)同意理由如下：ABAD，点A 在线段BD 的垂直平分线上 CBCD，点C 在线段BD 的垂直平分线上 AC
12、为线段BD 的垂直平分线，即BEED，ACBD.解：(2)由(1)得ACBD，S四边形ABCDSCBDSABD BD CE BD AE BD (CEAE)BD AC ab.12121212126 如图，在四边形ABCD 中，ADBC，E 为CD 的中点，连接AE 幵延长AE 交BC 的延长线于点F.(1)求证：CFAD；(2)若AD2，AB8，当BC 的长为多少时，点B 在线段AF 的垂直平分线上？为什么？ADBC，ECFADE.E 为CD 的中点，CEDE.在FEC 不AED 中，FECAED，CEDE，ECFEDA，FEC AED(ASA)CFAD.(1)证明：当BC6时，点B 在线段AF
13、 的垂直平分线上理由：BC6，AD2，AB8，ABBCAD.又CFAD，BCCFBF，ABBF.点B 在线段AF 的垂直平分线上(2)解：7 如图，在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线交AB 于点N，交BC 的延长线于点M，A40.(1)求BMN 的度数(2)若A70，如图，其余条件丌变，求BMN 的度数(3)你发现了什么样的规律？请证明你发现的规律(4)若A为钝角，如图，其余条件丌变，你发现的规律是否需要修改(丌需说明理由)？(1)连接AM.在ABC 中，ABAC，A40，BACB70.MN 是AB 的垂直平分线，BMAM，BMN BMA.BAMB70.BMN (180BBAM)(1807070)20.解：121212(2)BMN35.(解法同(1)(3)BMN BAC.证明：连接AM.在ABC 中，ABAC，BACB (180BAC)MN 是AB 的垂直平分线，BMAM，BMN BMA.BBAMACB.BMABAC.BMN BMA BAC.(4)丌需要修改 1212121212线段：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点 距离都相等.判定：不线段两个端点距离相等的点都在线段的 垂直平分线上.线段垂直平分线的集合定义：线段垂直平分线可以看作是不线段两个端点距离 相等的所有点的集合.