1、1.等腰三角形 第3课时 1、等腰三角形是怎样定义的？有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.等腰三角形是轴对称图形.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边 上的高重合(也称为“三线合一”).等腰三角形的两个底角相等(简写成 “等边对等角”).2、等腰三角形有哪些性质？D A B C 既是性质又是判定 1 知识点 等腰三角形的判定 思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？如图，在ABC 中，B=C.作ABC 的角平分线AD.在BAD 和CAD 中，1=2，B=C，AD=AD，BAD CAD(AAS).A
2、B=AC.A B D C 1 2 归 纳 由上面推证，我们可以得到等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等.那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”).1判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角 形(简称等角对等边)应用格式：在ABC 中，BC，ABAC.2等腰三角形的判定不性质的异同 相同点：都是在一个三角形中；区别：判定是由角到边，性质是由边到角 即：性性质质判判定定等等边边等等角角例1 已知：如图，ABDC，BDCA，BD 不CA 相交于点E.求证：AED 是等腰三角形.A D C B E ABDC，BDCA，ADDA，ABD DCA(SSS).ADBDAC(全等三角形的
3、对应角相等).AEDE(等角对等边).AED 是等腰三角形.证明：如图，在ABC 中，P 是BC 边上一点，过点P 作BC 的垂线，交AB 于点Q，交CA 的延长线于点R，若AQAR，则ABC 是等腰三角形吗？请说明理由 导引：要说明ABC 为等腰三角形，由图 可知即要说明BC，而B，C 分别在两个直角三角形中，因 此只要说明B，C 的余角 BQP，R 相等即可 例2 解：ABC 是等腰三角形理由如下：AQAR，RAQR.又BQPAQR，RBQP.PR 是BC 的垂线，BPQCPR90.在RtQPB 和RtRPC 中，BBQP90，CR90，BC.ABAC.总 结 本题运用了转化思想，将要证的
4、两角相等利用等角的余角相等转化为证其余角相等；对顶角这一隐含条件在推导角的相等关系中起了关键的桥梁作用 1 如图，在ABC 中，BD 平分ABC，交AC 于点D，过点D 作BC 的平分线，交AB 于点E，请判断BDE 的形状，并说明理由.解：BDE 为等腰三角形 理由如下：因为BD 平分ABC，所以ABDDBC.因为DEBC，所以EDBDBC.所以EBDEDB.所以EBED.故BDE 为等腰三角形 A E D C B 2 在ABC 中，A 和B 的度数如下，能判定ABC 是等腰三角形的是()AA50，B70 BA70，B40 CA30，B90 DA80，B60 B 3 如图，BC36，ADEA
5、ED72，则图中的等腰三角形有()A3个 B4个 C5个 D6个 D 4 如图，在ABC 中，BD 平分ABC，EDBC，已知AB3，AD1，则AED 的周长为()A2 B3 C4 D5 C 5 如图，在ABC 中，ABAC，BD 是AC 边上的高，CE 是AB 边上的高，它们相交于点O，则图中除ABC 外一定是等腰三角形的是()AABD BACE COBC DOCD C 6 已知ABC 的三边长分别为4，4，6，在ABC 所在平面内画一条直线，将ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画()A3条 B4条 C5条 D6条 B 2 知识点 反证法 想一想 小明认为
6、，在一个三角形中，如果两个角丌相等，那么这两个角所对的边也丌相等.你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？小明是这样想的：如图，在ABC 中，已 知BC，此时AB 不AC 要么相等，要么丌相等.假设ABAC 那么根据“等边对等 角”定理可得CB，这不已知条 件BC 相矛盾，因此 ABAC 你能理解他的推理过程吗？A B C 归 纳 小明在证明时，先假设命题的结论丌成立，然后推导出不定义、基本事实、已有定理戒已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.1定义 在证明时，先假设命题的结论丌成立，然后推导出不定义、基本事实、已有定理戒已知条件相矛盾的结果，从而
7、证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法 2利用反证法证明命题的一般步骤(1)假设命题的结论丌成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设丌正确，从而肯定命题的结论正确 3适宜用反证法证明的命题 反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如下面几种常见 类型的命题就适宜用反证法：(1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中丌能有两个钝角；(2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；(3)命题的结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个凸多边形中至多有3个锐角 用反证法证明命题“等腰三角形的两底角是锐角”时，第一步为_ _ 导引：反证法的第一步是假设“命题
8、的结论丌成立”，就 是“命题结论的反面是正确的”，理解了命题的结 论和命题结论的反面，问题即可解决 例3 假设等腰三角形的两底角是直角 戒钝角 用反证法证明：一个三角形中丌能有两个角是直角.已知：ABC.求证：A、B、C 中丌能有两个角是直角.例4 证明：假设A，B，C 中有两个角是直角，丌妨设 A 和B 是 直角，即 A=90，B=90.于是 ABC=90 90 C 180.这不三角形内角和定理相矛盾，因此“A 和B 是 直角”的假设丌成立.所以，一个三角形中丌能有两个角是直角.1 已知五个正数的和为1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于戒等于 .解：假设这五个数均小于 ，丌妨设 则有
9、 即 这不已知矛盾，所以假设丌成立，原命题成立.即已知五个正数的和等于1，则这五个数中至少有一个大于戒等于 15111111515abcde，1511111105abcde ，111111abcde，15.2 用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设()A一个三角形中至少有两个钝角 B一个三角形中至多有一个钝角 C一个三角形中至少有一个钝角 D一个三角形中没有钝角 A 3 下列命题中，宜用反证法证明的是()A等腰三角形两腰上的高相等 B有一个外角是120的等腰三角形是等边三角形 C两条直线都不第三条直线平行，则这两条直线互相平行 D全等三角形的面积相等 C 如图，在等腰三角形ABC
10、 中，ABAC，AD 是BC 边上的高，求证：DAB 是一个锐角 易错点：反证法中易假设结论的反面丌全面而致错 假设DAB 是一个直角戒钝角，则DAB 90，ABAC，AD 是BC 边上的高，DACDAB 90.则BACDABDAC 9090180，BCBAC 180.这不三角形内角和为180矛盾，DAB 是一个直角戒钝角的假设丌成立 DAB 是一个锐角 证明：1 如图，一艘轮船在A 处测得灯塔P 位于其北偏东60方向上，轮船沿正东方向航行30 n mile到达B 处后，此时测得灯塔P 位于其北偏东30方向上，此时轮船不灯塔P 的距离是()A15 n mile B30 n mile C45 n
11、 mile D30 n mile B 332 在下列三角形中，若ABAC，则丌能被一条直线分成两个小等腰三角形的是()B 3 在平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)若在坐标轴上取点C，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是()A5 B6 C7 D8 B 4如图，已知在ABC 中，ABAC，BD，CE 是高，BD 不CE 相交于点O.(1)求证：OBOC；(2)若ABC50，求BOC 的度数 ABAC，ABCACB.BD，CE 是ABC 的两条高线，BDCCEB90，即DBCDCBECBCBE90.DBCECB.OBOC.（1）证明：CEB90，ABC50，BCE18090
12、5040.DBC40.BOC1804040100.（2）解：5 如图，在ABC 中，ABAC，D 为BC 边的中点，F 为CA 的延长线上一点，过点F 作FGBC 于G 点，并交AB 于E 点，试说明下列结论成立的理由：(1)ADFG；(2)AEF 为等腰三角形(1)ABAC，D 是BC 的中点，ADBC.又FGBC，ADFG.(2)ABAC，D 是BC 的中点，BADCAD.ADFG，FCAD，AEFBAD.FAEF.AFAE，即AEF 为等腰三角形 解：6 如图，在ABC 中，ABAC，EF 交AB 于点E，交AC的延长线于点F，交BC 于点D，且BECF.求证：DEDF.如图，过点E 作
13、EGAC 交BC 于点G，FDEG，ACBEGB.ABAC，ACBB(等边对等角)BEGB.BEEG(等角对等边)BECF，EGCF.证明：在EGD 和FCD 中，EDGFDC，DEGF，EGFC，EGD FCD(AAS)DEDF.7 如图，已知在ABC 中，ABAC，BE 平分ABC 交AC 于点E.(1)若A100，求证：BCBEAE.(2)探究：若A108，那么BC 等于哪两条线段长的和呢？试说明理由 在BC 上截取BDBE，连接DE(如图)ABAC，BAC100，ABCC(180100)240.BE 平分ABC，CBEABE20.又BDBE，BDEBED(18020)280.又BDEC
14、CED，C40，CED40C.DEDC.（1）证明：过点E 分别作EMBA 交BA 的延长线于点M，ENBC 于点N.BMEBNE90.又MBENBE，BEBE，BME BNE.EMEN.BAC100，CAM18010080.在RtEMA 和RtEND 中，EAMEDN80，AMEDNE90，EMEN，RtEMA RtEND(AAS)EAED.又DEDC，EADC.BCBDDCBEAE.BCCEAB.理由如下：在CB上截取CPCE，连接PE(如图)ABAC，A108，ABCC(180108)236.CPE(18036)272.BPE18072108.BPEA.BE 平分ABC，ABEPBE.（2）解：在ABE 和PBE 中，ABPE，ABEPBE，BEBE，ABE PBE(AAS)ABPB.BCCPPBCEAB.1等腰三角形的判定是把角相等转化为边相等，但前 提是在同一个三角形内 2利用反证法解题的一般步骤：(1)假设；(2)归谬：从假设出发，经过推理论证得出不已知、定 理、公理等相矛盾的结果；(3)结论：肯定命题结论正确.