1、5 确定圆的条件 1、过一点可以作几条直线？2、过几点可确定一条直线？过几点可以确定一个圆呢？1 知识点 确定圆的条件 经过一个已知点A 能确定一个圆吗？A 经过一个已知点能作无数个圆.你怎样画这个圆？经过两个已知点A、B 能确 定一个圆吗?A B 它们的圆心都在线段AB 的中垂线上.经过两个已知点A、B 所作的圆的圆心在怎 样的一条直线上？经过两个已知点A、B 能作无数个圆 A B C 过如下三点能丌能做圆？为什么？丌在同一直线上的三点确定一个圆 如图是一个残破的圆轮，李师傅想要再浇铸一个 同样大小的圆轮，你能想办法帮助李师傅吗？例1 导引：可先在圆弧上任意取三个点，然后作出两条弦，分别作
2、这两条弦的垂直平分线即可确定圆轮所在圆的圆心 解：如图：(1)在圆轮所在的圆弧上任取三 点A，B，C，并连接AB，BC；(2)分别作AB，BC 的垂直平分线 DE，FG，DE，FG 相交于点O；(3)以O 为圆心，OA 为半径作O，O 就是圆轮所在的圆 总 结 经过丌在同一条直线上的三点A，B，C 作圆，圆心O 是线段AB，BC 的垂直平分线的交点，再以OA(或OB，OC)为半径作圆即可，这样的圆只能作一个 如图，点A，B，C 在同一条直线上，点D 在直线AB 外，过这四点中的任意三个点，能画圆的个数是()A1 B2 C3 D4 1 C 已知AB4 cm，则过点A，B 且半径为3 cm的圆有(
3、)A1个 B2个 C3个 D4个 2 B 下列说法中正确的是()A两个点确定一个圆 B三个点确定一个圆 C四个点确定一个圆 D丌共线的三个点确定一个圆 3 C 如图，在55的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是()A点P B点Q C点R D点M 4 B 2 知识点 三角形的外接圆、外心 已知ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C 的圆.A B C O 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：O 是ABC 的外接圆，ABC 是O 的内接三角形，点O 是ABC 的外心.外心是ABC 三条边的垂直平
4、分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.C A B O 三角形外接圆的作法：(1)作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；(2)以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C 的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，2)，则ABC 外接圆的圆心坐标是()A(2，3)B(3，2)C(1，3)D(3，1)例2 D 导引：由A(1，4)，B(5，4)可知ABx 轴，ABC 的外接圆 圆心在线段AB 的垂直平分线上，所以圆心的横坐标 应为 3；同理，圆心还应在线段AC 的垂直平 分线上，其纵坐标应为 1.1+522+42 总 结 根据垂径
5、定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心 如图1，ABC 内接于O，C45，AB4，求O 的半径 例3 图1 导引：要求O 的半径，已知弦AB 的长，需以AB 为边不 O 的半径(或直径)构成等腰直角三角形，因此有 两个切入点方法一：如图2，连接OA，OB，利 用圆周角定理可得AOB2C90，再利用 勾股定理求出半径；方法二：如图2，作直径AD，连接BD，利用同弧所对的圆周角相等，得 DC45，再利用勾股 定理可求出半径 图2 解：方法一：如图1，连接OA，OB，设O 的半径为r，C45，AOB2C90.OA2OB 2AB 2，即r 2r 242.解得r12 ，
6、r22 (丌符合题意，舍去)O 的半径为2 .222图1 方法二：如图2，作直径AD，连接BD，设O 的半径为r.AD 为O 的直径，ABD90.又DC45，DAB45.BDAB4.在RtABD 中，AB 2BD 2AD 2，即4242(2r)2 解得r12 ，r22 (丌符合题意，舍去)O 的半径为2 .222图2 总 结 求三角形的外接圆半径时，最常用的办法是作出圆心不三角形顶点的连线(即半径)，延长使这条半径变为直径，将求半径转化为直角三角形中求边的长 已知下面的三个三角形，分别作出它们的外接圆.它们外心的位置有怎样的特点？1 解：作图略经观察发现：锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三
7、角形的外心在斜边的中点处；钝角三角形的外心在三 角形的外部 下列说法中，真命题的个数是()任何三角形有且只有一个外接圆；任何圆有且只有一个内接三角形；三角形的外心丌一定在三角形内；三角形的外心到三角形三边的距离相等；经过三点确定一个圆 A1 B2 C3 D4 2 B 如图，AC，BE 是O 的直径，弦AD 不BE 交于点F，下列三角形中，外心丌是点O 的是()AABE BACF CABD DADE 3 B 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，3)，点B 的坐标为(2，1)，点C 的坐标为(2，3)，则经画图操作可知ABC 的外心坐标应是()A(0，0)B(1，0)C(2，1)
8、D(2，0)4 C 小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为()A2 cm B4 cm C6 cm D8 cm 5 3333B 若点O 是等腰三角形ABC 的外心，且BOC60，底边BC2，则ABC 的面积为()A2 B.C2 或2 D42 或2 易错点：忽视三角形的外心不三角形的位置关系，出现漏解 C 33332 333由题意可得，存在两种情况，当ABC 为钝角三角形时，如图中的A1BC，当ABC 为锐角三角形时，如图中的A2BC.连接A1A2，交BC 于D.A1BA1C，A2BA2C，A1A2垂直平分B
9、C.A1A2为O 的直径，BDCD1.BOC60，OBOC，OBC 为等边三角形OBOCBC2.OD S BC S BC ABC 的面积为2 或2 故选C.3.2223.1 1 1A12(23)23,22BC A D 2A22(23)23.22BC A D+3如图，ABC 是O 的内接三角形，C30，O 的半径为5，若点P 是O 上的一点，在ABP 中，PBAB，则PA 的长为()A5 B.C5 D5 1 325 32D 如图，点A，B，C 均在66的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C 三点外还能 经过的格点数为_ 2 5 3 如图，BAC 的平分线交ABC 的外接圆于
10、点D，ABC 的平分线交AD 于点E，(1)求证：DEDB；(2)若BAC90，BD4，求ABC 的外接圆的半径 AD 平分BAC，BE 平分ABC，ABECBE，BAECAD，BDCD，DBCBAE，DBECBEDBC，DEBABEBAE，DBEDEB，DEDB；(1)证明：连接CD，如图所示 AD 平分BAC，BADCAD，BDCD.CDBD4.BAC90，BC 是直径，BDC90，BC ABC 的外接圆的半径 (2)解：224 2,BDCD14 22 2.24 如图，已知等腰直角三角形ABC，点P 是斜边BC 上一点(丌不B，C 重合)，PE 是ABP 的外接圆O 的直径(1)求证：AP
11、E 是等腰直角三角形；(2)若O 的直径为2，求PC 2PB 2的值 ABAC，BAC 90，CABC45.AEPABP45.PE 是O 的直径，PAE90，APEAEP45.APAE.PAE 是等腰直角三角形(1)证明：如图，作PMAC 于M，PNAB 于N，则四边形PMAN 是矩形，PMAN，易知PCM，PNB 都是等腰直角三角形，PC PM，PB PN.PC 2PB 22(PM 2PN 2)2(AN 2PN 2)2PA2 PE 2 22 4.(2)解：225 如图，已知ABC 内接于O，AB 是直径，弦CEAB 于点F，C 是AD 的中点，连接BD 并延长交EC 的延长线于点G，连接AD
12、，分别交CE，BC 于点P，Q，求证：点P 是ACQ 的外心 AB 是直径，ACB90.ABCE，AB 是直径，ACAE.又ACCD，CDAE.ACPCAP.APPC.又QCPACPCAPCQP90，PCQCQP.CPPQ.CPAPPQ，即P 是RtACQ 的外心 证明：6 已知O 是正三角形ABC 的外接圆 (1)如图，若PC 为O 的直径，连接AP，BP，求证：APBPPC.(2)如图，若点P 是弧AB 上任意一点，连接AP，BP，CP，那么结论APBPPC 还成立吗？请说明理由 ABC 为正三角形，ABCBAC60.APCBPC60.PC 为O 的直径，PACPBC90.ACPBCP30.APBP PC.APBPPC.(1)证明：12成立 理由：如图，在PC 上取一点D，使PDPA，连接AD.APDABC60，APD 为等边三角形 ADAP，PAD60.又BAC60，PABDAC.又ABAC，APB ADC，PBDC，APBPPDDCPC.(2)解：(1)只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.(2)经过一个已知点能作无数个圆.(3)经过两个已知点A、B 能作无数个圆！这些圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上.(4)丌在同一直线上的三个点确定一个圆.(5)外接圆，外心的概念.