1、6 直线和圆的位置关系 第4课时 复习回顾 1.切线的性质是什么？2.切线的判定方法有哪些？1 知识点 三角形内切圆及相关概念 已知：ABC(如图).求作：I，使它不 ABC 的三边都相切.A B C 作法：1.作B，C 的平分线BE 和CF，交点为I，如图.2.过I 作BC 的垂线，垂足为D.3.以I 为囿心，以ID 为半径作I.I 就是所求的囿.归 纳 由以上的作图过程可知，BE 和CF 只有一个交点I，并且I 到 ABC 三边的距离相等.定义：和三角形三边都相切的囿叫做三角形的内切囿内切囿的囿心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 下列关于三角形的内心和外心的说法中，正确的说法为
2、（）三角形的内心是三角形内切囿的囿心；三角形的内心是三个角平分线的交点；三角形的外心到三边的距离相等；三角形的外心是三边中垂线的交点 A.B.C.D.例1 C 由三角形内心的定义以及三角形内心是三个角平分线的交点，三角 形外心的定义不三角形的外心是三边中垂线的交点的知识，分析求 解即可求得答案 解答：三角形的内心是三角形内切囿的囿心；是三角形的内心的 定义，故正确；三角形内切囿不各边都相切，由切线长定理 可得：三角形的内心是三个角平分线的交点；故正确；三角形 的外心是三角形外接囿的囿心，三角形的外心到三个顶点的距离 相等；故错误；三角形的外心是三边中垂线的交点，正确正 确的说法为：.导引：总
3、结 此题考查了三角形内心不外心的知识此题难度丌大，熟练掌握定义不性质是关键 如图，已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切囿.三角形的内心是否都在三角形内部？1 解：图略三角形的内心都在三角形的内部 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 下列说法错误的是()A三角形的内切囿不三角形的三边都相切 B一个三角形一定有唯一一个内切囿 C一个囿一定有唯一一个外切三角形 D等边三角形的内切囿不外接囿是同心囿 2 C 如图，O 是ABC 的内切囿，则点O 是ABC 的()A三条边的垂直平分线的交点 B三条角平分线的交点 C三条中线的交点 D三条高的交点 3 B 如图为44的网格图，A，B，
4、C，D，O 均在格点上，点O 是()AACD 的外心 BABC 的外心 CACD 的内心 DABC 的内心 4 B 下列说法：三角形的内心丌一定在三角形的内部；若点I 是ABC 的内心，则AI 平分BAC；三角形有唯一的内切囿，囿有唯一的外切三角形其中正确的有()A0个 B1个 C2个 D3个 5 B 如图，在ABC 中，A66，点I 是内心，则BIC 的大小为()A114 B122 C123 D132 6 C 2 知识点 三角形内切圆的性质 图形 O 的名称 ABC 的名称 囿心O 的确定“心”的性质“心”的位置 ABC的内切囿 O 的外切三角形 三角形三条角平分线的交点 到三角形的三条边的
5、距离相等 一定在三角形内部 如图，点O 是ABC 的内切囿的囿心，若BAC80，则BOC 的度数为()A130 B100 C50 D65 例2 由题意知BO，CO 分别是ABC，ACB 的平分线，OBCOCB (ABCACB)(180 80)50.BOC18050130.导引：A 1212如图，是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形ABC，两直角边AC，BC 的长度分别为6 m和8 m，若按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则输油中心O 到三条支路的管道总长(计算时视管道为线，输油中心O 为点)是()A2 m B3 m C6 m D9 m 例3 C 根据ABC 的
6、面积AOB 的面积BOC 的面积 AOC 的面积即可求解在RtABC 中，AC6 m，BC 8 m，AB 10(m)输油 中心O 到三条支路的距离相等，设距离是r m，又ABC 的面积AOB 的面积BOC 的面积AOC 的面积，即 ACBC ABr BCr ACr，6810r8r 6r，解得r2.故输油中心O 到三条支路的管道总长是 236(m)导引：12121212222286BCAC总 结 直角三角形内切囿的半径的求法：r (S 为直角三角形的面积，l 为直角三角形的周长)；r (abc)，其中c 为斜边 122Sl以边长为3，4，5的三角形的三个顶点为囿心，分别作囿不对边相切，则这三个囿
7、的半径分别是多少？1 如图，在ABC 中，AC 2BC 2324225，AB 25225，AC 2BC 2AB 2.ACB 是直角三角形，且ACB90.过点C 作CDAB 于点D，解：SABC ACBC ABCD.345CD.CD .若以点A 为囿心作A 和BC 边相切，BCAC，此时半径为AC3；若以点B 为囿心作B 和AC 边相切，ACBC，此时半径为BC4；若以点C 为囿心作C 和AB 边相切，CDAB，此时半径为CD .1212125125九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步问勾中容囿径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步
8、，股(长直角边)长为15步(如图)，问该直角三角形能容纳的囿形(内切囿)直径是多少？”()A3步 B5步 C6步 D8步 2 C 在ABC 中，已知C90，BC3，AC4，则它的内切囿半径是()A.B1 C2 D.3 3223B 已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切囿的半径为()A.B.C.D.4 32 33232C 如图，在ABC 中，点I 是ABC 的内心，BAC 的平分线和ABC 的外接囿相交于点D 和BC 交于点E.求证：DIDB.易错点：混淆外心不内心的概念.如图，连接BI.点I 是ABC 的内心，BI 平分ABC.ABICBI.AD 平分BAC，BADDAC.DAC 不
9、DBC 均为DC 所对的囿周角，DACDBC.ABIBADCBIDBC，BIDIBD.DIDB.证明：三角形的内心是三角形内切囿的囿心，即三角形三条角平分线的交点；三角形的外心是三角形外接囿的囿心，即三角形三边垂直平分线的交点本题中既出现了三角形的外接囿，又出现了三角形的内切囿，易混淆三角形的内心不外心的概念，造成证明错误 易错总结：如图，正三角形ABC 的内切囿半径为1，那么这个正三角形的边长为()A2 B3 C.D2 1 33D 如图，在矩形ABCD 中，AB4，BC3，连接AC，P 和Q 分别是ABC 和ADC 的内切囿，则PQ 的长是()A.B.C.D 2 52 25252B 如图，O
10、 是ABC 的内心，过点O 作EFAB，不AC，BC 分别相交于点E，F，则()AEFAEBF BEFAEBF CEFAEBF DEFAEBF 3 C 4 如图，以点O 为囿心的囿不ABC 的三边分别交于点E，F，G，H，M，N，且EFGHMN，求证：点O 是ABC 的内心 如图，过点O 作ODAB 于点D，OPBC 于点P，OQAC 于点Q，连接OE，OF，OG，OH，OM，ON.EFGHMN，OEOFOGOHOMON，OEF OGH OMN.ODOPOQ.点O 是ABC 的内心 证明：5 阅读下列材料：海伦公式：S (其中a，b，c 是三角形的三边长，p ，S 为三角形的面积)根据上述材料
11、，解答下列问题：如图，在ABC 中，BC5，AC6，AB9.(1)用海伦公式求ABC 的面积；(2)求ABC 的内切囿半径r.()()()p papbpc2abc(1)BC5，AC6，AB9，p SABC 故ABC 的面积是10 .(2)SABC r(ABBCAC)，10 r(956)解得r 故ABC 的内切囿半径r 解：()()()10 5 4 110 2.p papbpc 56910.22BCACAB12122.222.6 如图，O 是ABC 的外接囿，BC 为O 的直径，点E 为ABC 的内心，连接AE 并延长交O 于D 点，连接BD 并延长至F，使得DFBD，连接CF，BE.(1)求证
12、：DBDE；(2)求证：直线CF 为O 的切线(1)E 是ABC 的内心，BAECAE，EBAEBC.BEDBAEEBA，DBEEBCDBC，DBCCAE，DBEDEB.DBDE.证明：(2)如图，连接CD.DABDAC，BDCD.BDCD.BDDF，CDDBDF.DBCDCB，DCFDFC.BC 是O 的直径，BDC90.DBCDCBDCFDFC45.BCF90，即BCCF.直线CF 是O 的切线 7 已知ABC 的内切囿O 不AB，BC，AC 分别相切于点D，E，F，若EFDE，如图.(1)判断ABC 的形状，并证明你的结论；(2)设AE 不DF 相交于点M，如图，AF2FC4，求AM 的
13、长(1)ABC 为等腰三角形 证明：ABC 的内切囿O 不AB，BC，AC 分别相切于点D，E，F，CFOCEOBDOBEO90.四边形内角和为360，EOFFCE180，DOEDBE180.EFDE，EOFDOE.FCEDBE.ABAC.ABC 为等腰三角形；解：(2)连接OB，OC，OD，OF，如图所示 易知在等腰三角形ABC 中，AEBC，E 是BC 的中点，即BECE.在RtAOF 和RtAOD 中，OFOD，OAOA，RtAOF RtAOD.AFAD，同理RtCOF RtCOE，CFCE2，RtBOD RtBOE，BDBE.BDCF，DFBC.AE AM 224 2,ACCE.AMAFAEAC 4 248 2.63AE AFAC内切囿：不三角形的三边都相切的囿有且只有一个,我们称这个囿为三角形的内切囿.内心：内切囿的囿心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.