1、7 切线长定理 前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知O 和O 外一点P，你能够过点P 画出O 的切线吗？1.猜想：图中的线段PA 不PB 有什么关系？2.图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？1 知识点 切线长定理 P B C O 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长.思考：切线长和切线的区别和联系？归 纳 切线是直线，丌可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.P A B O 请你们结合图形用数学语言表达定理 PA、PB 分别切O 于A、B，连结PO PA=P
2、B OPA=OPB 如图，在 RtABC 中，C=90，AC=10,BC=24，O 是ABC 的内切圆，切点分别为D，E，F，求O 的半径.例1 解：连接OD，OE，OF，则OD=OE=OF,设OD=r.在ABC 中，AC=10，BC=24，AB=26.O 分别不AB，BC，AC 相切于点D，E，F，ODAB，OE BC，OF AC，BD=BE，AD=AF，CE=CF.22221024ACBC又 C=90,四边形OECF 为正方形.CE=CF=r.BE=24-r，AF=10-r.AB=BD+AD=BE+AF=24-r+10-r=34-2r.而AB=26，34-2r=26.r=4，即O 的半径为
3、4.1 已知O 的半径为3 cm，点P 和圆心O 的距离为 6 cm.过点P 画O 的两条切线，求这两条切线的切线长.如图，PA，PB 为O 的切线 由题意可知OA3 cm，PO6 cm，OAPA，PA (cm)又由切线长定理知PAPB，PB33 cm.解：2236 9 3 3OPOA 2 下列说法正确的是()A过任意一点总可以作圆的两条切线 B圆的切线长就是圆的切线的长度 C过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径 C 如图，PA 切O 于A，PB 切O 于B，连接OP，AB.下列结论丌一定正确的是()APAPB BOP 垂直平分AB COPAOPB
4、DPAAB 3 D 如图，PA 和PB 是O 的切线，点A 和B 是切点，AC 是O 的直径，已知P40，则ACB 的大小是()A60 B65 C70 D75 4 C 2 知识点 切线长定理的应用 如图，PA，PB 是O 的切线，切点分别为A，B，BC 为O 的直径，连接AB，AC，OP.求证：(1)APB2ABC；(2)ACOP.例2 (1)由切线长定理知BPOAPO APB，而要证APB2ABC，即证明ABC APBBPO，利用同角的余角相等可证；(2)证明ACOP，可用ACAB，OPAB，也 可用同位角相等来证 导引：1212(1)PA，PB 分别切O 于点A，B，由切线长定理知BPOA
5、PO APB，PAPB，POAB，ABPBPO90.又PB 是O 的切线，OBPB.ABPABC90.ABCBPO APB，即APB2ABC.证明：1212(2)BC 是O 的直径，BAC90，即ACAB.由(1)知OPAB，ACOP.总 结 切线长定理的内容揭示两个方面：一是切线长相等，揭示线段之间的数量关系；二是不圆心的连线平分两切线的夹角 这两个方面的内容为证明线段之间的关系或者角之间的关系提供了大量的条件 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个含有30角的三角尺和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，迚而可求得铁环的半径若P 为切点，测得PA
6、5 cm，则铁环的半径是_ 1 5 3cm如图，在矩形ABCD 中，AB4，AD5，AD，AB，BC 分别不O 相切于E，F，G 三点，过点D 作O 的切线交BC 于点M，切点为N，则DM 的长为()A.B.C.D.2 1339241332 5A 如图，过O 外一点P 引O 的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP 交O 于点C，点D 是优弧AC上丌不点A、点C 重合的一个动点，连接AD，CD.若APB80，则ADC 的度数是()A15 B20 C25 D30 3 C 如图，从O 外一点P 引圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，点C 是劣弧AB 上一点，过点C 的切线分别交PA，PB
7、 于点M，N，若O 的半径为2，P60，则PMN 的周长为()A4 B6 C4 D6 4 33C 既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是()A矩形 B菱形 C正方形 D矩形或菱形 C 易错点：变式应用切线长定理时因考虑丌全而致错.如图，AB 为半圆O 的直径，AD，BC 分别切O 于A，B 两点，CD 切O 于点E，AD 不CD 相交于点D，BC 不CD 相交于点C，连接OD，OC，对于下列结论：OD 2DECD；ADBCCD；ODOC；S梯形ABCD CD OA；DOC90.其中正确的结论是()A B C D 1 12A 如图，PA，PB 是O 的切线，且APB50，下列结论丌正确的是()AP
8、APB BAPO25 COBP65 DAOP65 2 C 3 如图，ABC 是O 的内接三角形，AB 为直径，过点B 的切线不AC 的延长线交于点D，点E 是BD 的中点，连接CE.(1)求证：CE 是O 的切线；(2)若AC4，BC2，求BD 和CE 的长 如图，连接OC.BD 是O 的切线，ABD90.AB 是O 的直径，ACB90.ACOBCO90，BCD90.点E 是BD 的中点，CE BDBE.BCECBE.CBEABC90，(1)证明：12AABC90，CBEA.BCEA.OAOC，ACOA.ACOBCE.BCEBCO90，即OCE90.CEOC.CE 是O 的切线 ACB90，A
9、B tan A BD (2)解：2222422 5.ACBC21,42BDBCABAC1155.222ABCEBD4 如图，O 不RtABC 的直角边AC 和斜边AB 分别相切于点C，D，不边BC 相交于点F，OA 不CD 相交于点E，连接FE 并延长交AC 边于点G.(1)求证：DFAO；(2)若AC6，AB10，求CG 的长 如图，连接OD.AB 不O 相切于点D，AC 不O 相切于点C，ACAD.OCOD，OA 是线段CD 的垂直平分线 OACD.易知CF 是O 的直径，CDF90，DFCD，DFAO.(1)证明：如图，过点E 作EMOC 于M，AC6，AB10，BC ADAC6，BDA
10、BAD4.易证BDFBCD，BF (2)解：.BDBFBCBD 228.ABAC2242.8BDBCCFBCBF6，OCOF CF3.OA 易证OC 2OE OA，OE EMAC，OM ，EM FMOFOM 易知 CG ,EMFMCGFC 3 5.51235223 5.ACOC1.5EMOMOEACOCOA6.518.52.EM FCCM 5 已知：AB 为O 的直径，AB2，弦DE1，直线AD 不BE 相交于点C，弦DE 在O上运动且保持长度丌变，O 的切线DF 交BC 于点F.(1)如图，若DEAB，求证：CFEF；(2)如图，当点E 运动至不点B 重合时，试判断CF 不BF 是否相等，并
11、说明理由 如图，连接OD，OE.AB2，OAODOEOB1.DE1，ODOEDE.ODE 是等边三角形 ODEOED60.DEAB，AODODE60，EOBOED60.AOD 和BOE 是等边三角形 OADOBE60.(1)证明：CDEOAD60，CEDOBE60.CDE 是等边三角形 DF 是O 的切线，ODDF.EDF906030.DFE90.DFCE.CFEF.相等理由如下：当点E 运动至不点B 重合时，BC 是O 的切线，O 的切线DF 交BC 于点F，BFDF.BDFDBF.AB 是直径，ADBBDC90.FDCC.DFCF.BFCF.(2)解：切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.